初二数学培优之多边形的边与角(1)

初二数学培优之多边形的边与角

阅读与思考

主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．

多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．

多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．

例题与求解

【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出

(3)

m m-

，

(3)

n n-

条对角线，由此得m，

n方程组．

【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．

【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．

（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．

【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．（全国通讯赛试题）

解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．

【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？

解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．

能力训练

A 级

1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．

（重庆市竞赛试题）

2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．

A B

D E

F G

M A B C

D E F

第1题

第2题

3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．

4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.

5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）

A ．9条

B ．8条

C ．7条

D ．6条

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（）

（全国初中联赛试题）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

7．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（）个角． A ．5个

B ．5个或3个

C ．5个或3个或4个

D ．4个

8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（） A ．15

B ．16

C ．17

D ．不能确定

9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．

10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

A B

E F G

第3题

B C

24x

第4题

第7题

B C

11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．

（江苏省竞赛试题）

12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：

（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？

（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．

（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．

（安徽省中考试题）

B 级

1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．

2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．

（北京市竞赛试题）

3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．

第1题

A B

D E

F 第2题

1A 1

B 2

A 2

B 3

B 4

B 5

B 3

A 4

A 5A 第3题

（第十二届“希望杯”邀请赛试题）

4．如图，在四边形ABCD 中，AB

＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（） A ．60°

B ．67.5°

C ．75°

D ．不能确定

（重庆市竞赛试题）

5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（）

A ．70°

B ．110°

C ．140°

D ．150°

6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（） A ．12

B ．12或13

C ．14

D ．14或15

（江苏省竞赛试题）

7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．

（全国通讯赛试题）

8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．

（上海市竞赛试题）

第4题

第5题

9．设有一个边长为1的正三角形，记作A 1如下左图，将A 1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A 2（如下中图）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如下右图）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 4，求A 4的周长．

（全国初中数学联赛试题）

10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：

（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．

（陕西省中考试题）

A 2A 3