组合数学复习总结

第五章

1、任意一个由数字1，2，3组成的30位数，从中任意截取相邻的三位，证明在各种不同位置的截取中，至少有两个三位数是相同的。数的位数30还可以再减少吗，为什么？

（证）设该数字为3021a a a a =，其任意的截法可有28种可能，即

a 1a 2a 3，a 2a 3a 4，a 3a 4a 5，…，a 28a 29a 30

但是，由1，2，3组成的3位数最多只有27个（即3个相异元素取3个的所有重复排列），故由抽屉原理，至少由两段是相同的。

由上面的证明过程可以看出，位数30不能再少，否则，不能保证有两段相同。

若改为截取相邻的5位，首先可知元素1、2、3的5－可重排列共有24335=个。其次，由问题的性质可知至少要能截取出不同的244段才能保证结论成立，从而知该数至少应该有248位。

问题的一般描述是：任意一个由数字1，2，…，m 组成的n ＝k m k +位数，从中任意截取相邻的k 位，则在各种不同位置的截取中，至少有两个k 位数是相同的。若希望至少有r 个k 位数是相同的，则应有n ＝()k m r k +-1。 第六章

1. 一张卡片分成4×2个方格，每格用红蓝两色涂染，可有多少种方法？

（解）如图6.2.1，给每个方格标上号：1,2,…,8，相应的置换为（设卡片只能旋转，不能翻转）

1 2 3 4 5

6

7

8

图6.2.1 卡片染色 ()()()8211 =p ，

()()()()4536271812345678876543212=???

?

??=p

由P ólya 定理知，不同的染色方法数为

1L ＝

()

136222

148

=+ 若卡片还能翻转，但同一个格子对应的正反面要求同色，则除了上述两个置换外，还有沿着横、竖两个对称轴翻转的置换

()()()()

46352817p 3=，

()()()()78563412p 4=

从而可知不同的染色方法数为

2L ＝()

3224

1

48?+＝76

若同一个格子对应的正反面不要求同色，且卡片既能旋转，又能翻转，则相应的置换为

()()()()()()H B A p 8211=，()()()()()()()()DE CF BG AH p 453627182=，

()()()()()()()()B A D C F E H G p 876543213=，

()()()()()()()()

G H E F C D A B p 876543214=

其中A ，B ，…，H 是卡片的背面分别依序与1，2，…，8对应的格子。那么，此时的染色方法数为

3L ＝

()

3224

1816

?+＝16 576

2. 正五角星的五个顶点各镶

嵌一个宝石，若有m 种颜色的宝石可供选择，问可以有多少种方案？

（解）设正五角星的5个顶点

分别依次为1,2,…,5，因正五角

星是可以翻转的，故相应于正五角星的五个顶点的变换有两类，第一类是绕其几何中心的5个平面旋转变换i p （即旋转72×i 度），第二类是以某个顶点与其几何中心的连线为轴的翻转变换，对应的10个置换是

()()()()()

54321p 1=，

()12345p 2=，()13524p 3=，()14253p 4=，()54321p 5=

()()()

34251q 1=，

()()()452131=q ，()()()32415q 1=，()()()43512q 1=，()()()52314q 1=

由P ólya 定理，不同的镶嵌方案数为

L ＝

()

355410

1

m m m ++ 3. 有一个正方形木筐，用漆

刷4边。现有三种不同颜色的漆，

可有多少种不同的涂法？

（解）将正方形木筐的4条边

依次记为1，2，3，4（见图6.2.3），

由题意知木筐既可以旋转，又可以

翻转。对应的置换为

绕正方形中心逆时针旋转

90?i （3210,,,=i ）的置换

()()()()43211=q ，()12342=q ，()()24133=q ，()43214=q

以1-3、2-4两组对边的中心的连线为轴的翻转

()()()32415=q ，()()()42136=q

以A-C 、B-D 两组对角线为轴的翻转

()()23147=q ，()()34128=q

A 1 B

4 2

D 3 C

图6.2.3 木筐染色 由P ólya 定理知，不同涂法总数为

L ＝()

32333238

1

234?+?+?+＝

21

第四章

4.某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次，问该人共参加几次会议？

（解）设S 为该人参加的所有

会议组成的集合。

i A 为他遇见第i 个朋友的所有会议构成的S 的子

集，则由题意知公共数

121==i A R ， 6

2==j i A A R ，

43==k j i A A A R ,

3

4==l k j i A A A A R

，

25==m l k j i A A A A A R ，

16543216==A A A A A A R ，

61≤<<<<≤m l k j i ，

6

54321A A A A A A +++++＝654321A A A A A A ?????＝5。 由容斥原理

6

54321A A A A A A +++++ ＝

()()i i i R

i R R R ???

? ??-=????

??-++???? ??-???? ??-=∑6166126161616521

＝1662563464366261216????? ??-????? ??+????? ??-????? ??+????? ??-????? ??

＝28

所以，该人参加的会议次数为

S

＝6

54321A A A A A A +++++＋

654321A A A A A A +++++

＝28＋5

＝33

5.n 位的四进制数中，数字1，2，3各自至少出现一次的数有多少个？

（解）设不含数字i 的四进制数组成的的集合为i A ()321,,=i ，则公共数

n

R 40=，n

i A R 31==，

n j i A A R 22==，

13213==A A A R

由逐步淘汰原理（4.1.2）知

所求的四进制数的个数为

[]0N ＝321A A A ??＝

3210332313R R R R ???

?

??-???? ??+???? ??-＝123341-?+-+n n n

6.某照相馆给n 个人分别照相后，

装入每人的纸袋里，问出现以下情况有多少种可能：

（1） 没有任何一个人得到自己的相片；

（2） 至少有一人得到自己的

相片；

（3） 至少有两人得到自己的相片。 （解）以任一装法为元素构成的集合记为S ，则!n S =。设i A 是

第i 个人的相片装对了纸袋的所

有装法组成的集合。则公共数

k R ＝k i i i A A A 21＝)!(k n - （1）设所求为 1L ，则由问题的性质知这是一个错排问题，故

1L ＝[]0N ＝n D ，即

1L ＝()???

??-+-+-!!

!!n n n 1121111

（2）方法一 设所求为 2L ，由对称公式（4.1.1＇）知所求为

2

L ＝n

A A A +++ 21＝

()n n R n n R n R n ???

? ??-++???? ??-???? ??-121121

＝

()??

? ??-+-+--!!!!!n n n 113121111 方法二 问题（1）和（2）所对应的装法构成的集合是互为对立的，故

2L ＝1L S -＝

()??

? ??-+-+--!!!!!n n n 113121111 （3）设所求为 3L ，由保位问题知恰有一人得到自己相片的不

同装法有[]1n D ＝11

-n n

D C 种，所以 3L ＝[]12n D L -

＝

()??? ??-+-+--!!

!!!n n n 113121111

－()???

? ??--+-+---)!(!!)!(1112111111

n n n n

＝

()()???? ??-+--+-+---!)!(!!!!n n n n n 1112132221112

7.设有4个元素的排列，其中要求第1个元素不能排在第1个位置，第2个元素不能在1、4号位置，元素3不能在2号、元素4不能在3号位置。问共有多少排列方案数？

解 所提排列问题对应有禁区的棋盘C （见图 4.4.3 (a)），其禁区A （见图4.4.3 (b)）可分离为两个小棋盘A 1和A 2（见图4.4.3 (c)）。

显见

R(A 1)＝1＋3x ＋x 2， R(A 2) ＝1

＋2x ＋x 2

（a ）

（b ） （c ）

图4.4.3 有禁区的排列

由公式(4.4.7)可得到

R(A)＝( 1＋3x ＋x 2)( 1＋2x ＋x 2)

＝1＋5x ＋8 x 2＋5x 3＋x 4 由定理4.4.2，所求排列数应为

N[B]＝4!－r 1(A) 3!＋

r 2(A)2!－r 3(A)1!＋r 4(A)0!

＝4!－5×3!＋8

×2!－5×1!＋1×0!

＝6

这6个满足条件的排列是

2314 2341 3214 3241

4231 4312

第三章

1、求递推关系32164----=+-n n n n a a a a 的

通解。

（解）特征方程为

0642

3=++-x x x ，解之

得特征根

1q ＝-1， 2q ＝2，3q ＝3

∴ 通解为

()n n n

n C B A a 321++-=

其中，A 、B 、C 为任意常数。 2

、

求

递

推

关

系0

4421=+---n n n a a a 的

通解。 （解）特征方程为0442

=+-x x ，特征根是

二重根221==q q ，若按单根情形

处理，有通解

n

n n n A A A a 22221=+=，即一个待定常数。要满足两个初始条件1100,d a d a ==，

一

般是不可能的。其实质在于按特征根确定的两个解

()n

n a 21=和()n n a 22=是线性相关

的，即

()()()()2

2

22110

2111

20

10===

a a a a D 。现在的问题就是要找两个线性无关的解()1n

a 和()

2n a ，使得

()

()

()

()

021

11

2010≠=

a a a a D .

若令()

n n n a 22=，可以

验证()

2n a 是（3.2.1）的解，

且与()

n n

a 21=线性无关。同

时，仿照单根情形，可以证明通解

为

n n n n A A a 2221+=

一般情况下，设q 是（3.2.1）的k 重根，则（3.2.1）的通解为

(

k

k n n A n A A a 21+++= (3.2.5)

更一般的情形，若式（3.2.1）有t 个根，其中i q 为i k 重根

???

?

?

?==∑=k k t i t

i i 1,,,2,1 ，那么，通解应为

∑∑==-=t

i k j j ij n i

n A a 11

1

(

+++=k

k n A n A A 112111

()

n t k tk t t q n A n A A t t 121-++++

(3.2.

6) 3、上楼梯问题：某人欲登上n 级楼梯，若每次只能跨一级或两级，问他从地面上到第n 级楼梯，共有多少种不同的方法？

（解）设上到第n 级楼梯的方法数为a n ．那么，第一步无非有两种可能：

（1） 跨一级，则余下的

n －1级有a n －1种上法；

（2） 跨两级，则余下的n －2级有a n －2种上法。由加法原理

21--+=n n n a a a ．且有11=a ，22=a （10=a ）。 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6

1 1

2

3 5 8 ……

a 1

a 2

a 3 a 4 A 5

???

????

?

???

?

??--????

??+==+++111

25125151n n n n F a

第二章

1、有18张戏票分给甲、乙、丙、丁4个班（不考虑座位号），其中甲、乙两班最少1张，甲班最多5张，乙班最多6张，丙班最少2张，最多7张，丁班最少4张，最多10张，问有多少种不同的分配方案？

解 （1）问题分析：这实质上是由甲、乙、丙、丁四类共28个元素中可重复地取18个元素的组合问题。其中{}

432110,7,6,5e e e e S ????=，

m ＝4，n ＝n 1＋n 2＋n 3＋n 4＝5＋6＋

7＋10＝28，k ＝

4321k k k k +++＝ 1＋1＋2

＋4＝8，r ＝18。

（2）求解：由推论6知相应的母函数为

G (x )＝

???

? ?????? ?????? ?????? ??∑∑∑∑====104726151i i i i i i i i x x x x ＝x 8＋…＋140 x 18＋…+x 28

所以，共有140种分配方案。

2、五个数字1，1，2，2，3

能组成多少个四位数？

解 用r a 表示组成r 位数的个数，{r a }的指母函数

为

()???? ??++=!2!112

x x x G e ???? ??++!2!112x x ???? ??+!11x ＝5

43241453431x x x x x +++++ ＝1＋3

!

1x ＋8!22x ＋18!33x ＋30!44

x ＋

30!

55x 由a 4＝30知能组成30个四位数。同时还知道能组成3个一位数，8个两位数，18个三位数等。 3、求1，3，5，7，9五个数字组成的n 位数的个数（每个数字可重复出现），要求其中3，7出现的次数为偶数，1，5，9出现的次数不加限制。

解 设满足条件的n 位数的个数为n a ，则数列{}

n a 对应的指母函数为

()2

42!4!21???

? ??+++= x x x G e 332!3!2!11???? ??++++ x x x

＝

x

x

x e e e 32

2???

? ?

?+-＝

()

x x x

e e e ++3524

1 ＝

??++∑∑∑∞

=∞=∞=000!32!541n n n n n n n n x n x

＝

∑∞=+?+0!41325n n n n n x ∴ ()

132541+?+=n n n a 第

一章

1、求(a ＋b ＋c ＋d )3的展开式。

解 n ＝3，t ＝4，共有RC(∞，3)＝C (3＋4－1，3) ＝20（项）

所以 (a ＋b ＋c ＋d )3

＝

3

00033a ???

? ??＋

3

00303b ???? ??＋

303003c ???? ??＋

303003d ???? ??＋

b a 200123???

? ??＋

c a 2

01023???

? ??＋

d a 2

10023???

? ??＋

2

00213ab ???? ??＋

202013ac ???

? ??＋

220013ad ???

? ??＋

c b 2

01203???? ??＋

d b 210203???? ??＋

202103bc ???? ??＋

220103bd ???? ??＋

d c 212003???? ??＋

221003cd ???? ??＋

abc ???

? ??01113＋

abd ????

??10113＋

acd ???? ??11013＋

bcd ???

? ??11103 ＝3

a ＋3

b ＋3

c ＋3

d ＋3b

a 2

＋3c a 2＋3d a 2＋32ab ＋32

ac ＋32ad ＋3c b 2＋3d b 2＋32bc ＋32bd ＋3d c 2＋32cd ＋6abc ＋

6abd ＋6acd ＋6bcd

2、(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)7的展开式中，项53

432

1a a a a 的系数是

!1!3!1!0!2!7031027????=???? ??

＝420

3、在(2x 1－3x 2＋5x 3)6的展开式

中，项23231x x x 的系数是什么？

解 令a 1＝2x 1，a 2＝－3x 2，

a 3＝5x 3，则(a 1＋a 2＋a 3)6的展开式中

2

3

231a a a 的系数为???

? ??

2136，即(2x 1

－3x 2

＋5x 3

)6

中()()()2

323

1532x x x -的系数。

因此2

3231x x x 的系数是

()2353221

36-???

? ?

?＝()2538!

2!1!3!

6?-????＝－

36000

4、求证

()()()11,10

=+-∑=-n

k k n k

k x x k n C ， n ≥1 （1.5.3） 证 在二项式定理中取a ＝－x ，b ＝1＋x ，则

1＝n

1＝

()()[]n x x ++-1

＝

()()()

∑=-+-n

k k

n k

x x k n C 0

1,

整理即得式（1.5.3）。

5、在2n 个球中，有n 个相同。求从这2n 个球中选取n 个的方案数。 （b ）在3n ＋1个球中，有n 个相同。求从这3n ＋1个球中选取n 个的方案数。

（解）（a ）视为从集合

{}n e e e e n S ,,,, 210?=中选取n 个元素，分类统计，共有n ＋1类

取法：设第k 类取法是指所取的n 个元素中含有k 个0e ，k n -个其它的i e ()n i ≤≤1（每个i e 最多取

一次），则此类取法共有k

n n

C 1-?种()n 10k ,,, =。所以，总的方案数

为

n n

k k

n n

k k

n n

C C

20

==∑∑==- （b ）与（a ）类似，方案数＝

∑=-+n

k k

n n C

1

2＝∑=+n

k k

n C 0

12 6、试求n 个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案？

（解）问题等价于计算从6类相异元素集

{}621?∞?∞?∞=,,, S 中可重复

地选取n 个元素的n-重组合数，

故方案数为

()()!

521516++=???

?

??+=???? ?

?-+n n n n n

n

7、若某两人拒绝相邻而坐，问12

个人围圆桌就坐有多少种方式？

答 11！－2×10！＝9×10！