二次函数的应用-求图形的最大面积

二次函数的应用-求图形的最大面积导学案

班级：九年级学生姓名：使用时间：12月16日

【学习目标】1. 经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验。

2.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养分析判断能力。

【重点】会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题 . 【难点】从几何背景及实际情景中抽象出函数模型.

【学法指导】合作交流，自主探究

【课时安排】 1 课时总第18时

二次函数与几何图形结合练习

3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点．（1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2

3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由． 2 y ax bx c a b 5 4

二次函数与图形面积

二次函数与图形面积涉及图形：三角形、不规则四边形。考查设问：（1）首先求出不规则三角形或者四边形的面积；（2）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积；（3）通过未知三角形的面积求点坐标。例1：（2009陕西24题10分）如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标(12)-，．（1）求点B 的坐标；（2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式；（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 24．（本题满分10分）解：（1）过点A 作AF x ⊥轴，垂足为点F ，过点B 作则21AF OF ==，． OA OB ⊥， 90AOF BOE ∴∠+∠=°．又 90BOE OBE ∠+∠=°， AOF OBE ∴∠=∠． Rt Rt AFO OEB ∴△∽△． 2BE OE OB OF AF OA ∴ ===．（第24题）

24BE OE ∴==，． (42)B ∴，． ················································································· （2分）（2）设过点(12)A -，，(42)B ，，(00)O ，的抛物线为2y ax bx c =++． 216420.a b c a b c c -+=??∴++=??=?，，解之，得12320a b c ? =?? ? =-?? =??? ，，． ∴所求抛物线的表达式为213 22 y x x = -． ············································ （5分）（3）由题意，知AB x ∥轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，则11 22 ABP S AB d AB AF = =△． 2d ∴=． ∴点P 的纵坐标只能是0，或4． ····················································· （7分）令0y =，得 213 022 x x -=．解之，得0x =，或3x =． ∴符合条件的点1(00)P ，，2(30)P ，．令4y =，得 213 4 22 x x -=．解之，得32 x ±= ． ∴符合条件的点33 ( 4)2P ，43(4)2 P +． ∴综上，符合题意的点有四个： 1(00)P ，，2(30)P ，，33 (4)2P ，43(4)2 P +． ···························· （10分）（评卷时，无1(00)P ，不扣分） 1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。

二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)．假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x

2020二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-）抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ．〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1

二次函数与几何图形综合题(可编辑修改word版)

二次函数与几何图形综合题类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．

(1)求抛物线的解析式； (2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D

二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，，将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-，第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△

(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc

二次函数与几何图形综合题类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．

3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

九年级数学：二次函数与图形面积

二次函数与图形面积练习题基础题知识点二次函数与平面面积 1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( ) A ．60 m 2 B ．63 m 2 C ．64 m 2 D ．66 m 2 2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( ) A ．20 B ．40 C ．100 D ．120 3．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A.6425 m 2 B.43 m 2 C.83 m 2 D ．4 m 2 4．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( ) 5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩形场地．当AD ＝________时，矩形场地的面积最大，最大值为________． 6．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间t 为________s.

7．将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2. 8．已知直角三角形两条直角边的和等于20，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 9．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)

二次函数与几何图形动点问题--答案

二次函数与几何图形模式1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 1、本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.

2、如图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 3、已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线 x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与图形面积教案

课题：二次函数与图形面积撰写：陈天灵审核：______ 授课日期：__月__日教学课时：第 6 周第 1 课教学目标知识与技能目标通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。过程与方法目标通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。情感、态度与价值观目标通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。教学重点利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用教学过程环节教学内容调整意见复习旧知导入新课1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是 (h，k) 。 2.二次函数的一般式是，它的图像的对称轴是，顶点坐标是 . 当a>0时，开口向向上，有最低点，函数有最小值，是；.当a<0时，开口向向下，有最高点，函数有最大值，是。 3.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是直线x=3, 顶点坐标是 (3 ，5) 。当x= 3时，y有最小值，是 5 . 4.5详见课件。自学指导阅读教材P49“问题”，解决下面问题。 1、问题1中是通过什么方法来求出小球在运动中的最大高度？ 2.归纳：一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的的顶点是最低 ( 高_)点,当x=________时，二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值________. 阅读教材P49-P50“探究1”，解决下面问题 1.“探究1”中，场地面积S与边长l之间是什么关系？你能写出它们的关系式 c bx ax y+ + =2 a b x 2 - = 直线) 4 4 , 2 ( 2 a b ac a b- - a b ac 4 42 - a b ac 4 42 -

二次函数与几何图形面积

专题3: 二次函数中的面积计算问题例1. 如图，二次函数图象与轴交于A,B两点(A在B的左边)，与轴交于点C，顶点为M ，为直角三角形, 图象的对称轴为直线，点是抛物线上位于两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（） A． B． C． D．

练习：1、如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．例2.如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S△PAB＝ S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 练习：2、如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

专题二次函数与几何图形

y A x B O C D 专题：二次函数与几何图形一、二次函数与平行四边形 1．已知抛物线c bx ax y ++=2 )0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式； (2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值； (3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标. 2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2 y x bx c =++的图像都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积；（3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标. 二、二次函数与相似三角形 3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】 1 2345 -1 -1-2 123456 x y O 图8

x y O O N C M B A 4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线 21 ()2 y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区）（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。三、二次函数与特殊三角形（Rt △ 等腰△ 等腰Rt △） 5．如图，已知二次函数y=-x 2 +bx+c （c>0）的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。（1）求二次函数的解析式。（2）线段BM 上是否存在点N ，使得△NMC 为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说理。 6.已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图像经过点 (1)求此函数的解析式和对称轴. (2)试探索该抛物线在x 轴下方的对称轴上存在几个点P, 使△PAB 是直角三角形,并求出这些点的坐标.

二次函数与几何图形综合题

二次函数与几何图形综合题类型1二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P为线段BC上的一个动点，过P作PE垂直于x轴与抛物线交于点E，设P点横坐标为m，PE长度为y，请写出y与m的函数关系式，并求出PE的最大值； (3)D为抛物线上一动点，是否存在点D使以A、B、D为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

3．(2015·襄阳)边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD 于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？ (3)点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与几何图形综合教案

第三章 8 二次函数与几何图形综合题一、教学目标 1、能利用二次函数的图像和性质解决综合数学问题。 2、经历探究利用函数式的模型表示线段长（或面积）等的过程，了解和体验特殊与一般互相联系和转化以及数形结合等数学思想方法的具体体现和运用。 3、经历探究面积的最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。二、教学过程【例1】如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于 A，B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，连接CB. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△ ABP，求点P的坐标；练习. (2016安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a，b的值； (2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2

中考数学解答专项二次函数与图形面积练习(九大专题)

二次函数与图形面积 1. 已知抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)、B (1，3)． (1)求抛物线的表达式； (2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标； (3)抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于x 轴的对称点为F ，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，求m 、n 的值．解：(1)将点A (4，0)、B (1，3)代入抛物线y ＝－x 2 ＋bx ＋c 得???=++-=++-3 10 416c b c b ，解得 ???==0 4 c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2 ＋4x ； (2)对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－ () 124 -? ＝2，顶点坐标为(2，4)； (3)抛物线的对称轴为直线x ＝2，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，则点P 关于直线l 的对称点为E (4－m ，n )，点E 关于x 轴的对称点为F (4－m ，－n )，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，则S 四边形OPAF ＝S △AOF ＋S △AOP ＝12×4×(－n )＋1 2×4×(－n )＝－4n ＝20，得n ＝－5，将(m ，－5) 代入y ＝－x 2 ＋4x ，解得m ＝5或m ＝－1. ∵点P (m ，n )在第四象限， ∴m ＝5，n ＝－5. 2. 抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过原点O 、B (1，3)、C (2，2)，与x 轴交于另一点N . (1)求抛物线的表达式； (2)连接BC ，若点A 为BC 所在直线与y 轴的交点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △OAP ＝ 8 15 S △ONP ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)将0(0，0)、B (1，3)、C (2，2)三点的坐标分别代入抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c ，可得?????==++=++02243c c b a c b a ，解得?? ? ??==-=052c b a ， ∴所求抛物线的表达式为y ＝－2x 2 ＋5x ； (2)存在，

二次函数与几何图形的综合问题

一师一优课教学设计【教学目标】 1．知识与能力：一要熟练掌握二次函数和平面几何的基础知识；二要利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，充分挖掘题目中的隐含条件，达到解题的目的。 2．过程与方法：一要通过综合题的训练要求学生熟练掌握待定系数法、分类讨论、数形结合的数学思想方法；二要经历探究利用函数的模型表示线段长或面积的过程。 3．情感态度与价值观：一要通过探究，互相讨论，发表意见等学习过程，培养合作精神和认真倾听的习惯，二要经历探究面积的最值问题体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。【学情分析】二次函数综合题知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此在解决此类综合题时，要求学生，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的解题技能，三要掌握常用的解题策略。【教学重点难点】二次函数与几何图形相结合的综合问题【教学过程】一：探究问题，交流讨论 1：问题一：如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点。（1）求该抛物线的表达式; （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。 2：合作交流; 分类讨论;

情况一、二情况三二：师生互动：（1）设该抛物线的表达式为y=ax 2+bx+c 根据题意，得 a- b+c=0 a=1 3 9a+3b+c=0 解之，得 b=2 3 - c=-1 c=-1 ∴所求抛物线的表达式为y=13x 2-2 3 -x-1 （2）①AB 为边时，只要PQ ∥AB 且PQ=AB=4即可。又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P 1,P 2 . 而当x=4时，y=5 3；当x=-4时，y=7，此时P 1（4，5 3 ）P 2（-4,7） ②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可又知点Q 在Y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 ∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P 3 而且当x=2时y=-1 ，此时P 3（2，-1）综上，满足条件的P 为P 1（4，5 3）P 2（-4,7）P 3（2，-1）三：解决问题：问题2：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （-4，0），B （0，-4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；

二次函数与几何图形结合

二次函数与几何图形结合类型一图形面积有关 1、已知抛物线y ax22x c的图象与x轴交与点A（3,0 ）和点C,与y轴交与点B（0， 3）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B C的距离之和最小，并求出点D 的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P,使得△ ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2、已知抛物线y x bx c的图象与x轴的一个交点为B (5,0 )，另一个交点为A,且与y轴交与点 C( 0,5 )。 (1)求直线BC与抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN/ y轴交直线BC 于点N,求MN勺最大值； (3)在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ设平行四边形CBPQ勺面积为$,△ ABN的面积为S2, 且S=6S，求点P的坐标.

3、如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A B两点，交y轴于点C,抛物线的对称轴交x 轴于点E,点B的坐标为（-1 , 0）. （1 ）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P,与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D,在抛物线上是否存在点M使得直线CM把四边形 DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由.

4、如图1,已知抛物线y= ax2+ bx + c 经过A( —3, 0) , B(1 , 0), C(0, 3)三点, 其顶点为D,对称轴是直线l , l与x轴交于点H. (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴丨上的一个动点，求△ PBC周长的最小值； ⑶如图2,若E是线段AD上的一个动点(E与A D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m △ ADF的面积为S. ①求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

初三二次函数与几何图形面积(有答案)

在动点变化过程中，会产生的几何图形的形状发生改变，由此可引出求该图形的面积，建立面积与动点坐标，或动点的运动时间的函数关系。面积的求法主要有两种：①直接求面积；②割补法求面积；无论哪种求法，都需要用参数表示线段的长度。【例1】（改编题）如图，抛物线233y mx mx =+-（0m >）与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，且1 tan 3OCB ∠=． ⑴求此抛物线的解析式； ⑵如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，ACD ?的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时，点D 的坐标；【答案】⑴239 344 y x x = +- ⑵方法一：如图，连接OD ，可求(40)A -，设点239 (3)44D x x x +-，，则ACD AOD DOC AOC S S S S ????=+- 2139 4(3)244OAD S x x ?=??--+ 1 3()2 OCD S x ?=??- 1 4362 AOC S ?=??= ∴23 62S x x =--，当2x =-时，S 取得最大值为6 此时点D 的坐标为9(2)2 --，方法二：过点D 作DN x ⊥轴于点N ，交AC 于点M 转化：ACD AMD DMC S S S ???=+，下略【注意】本题由综合题改编而来，去掉了平行四边形的存在性问题，就 “三角形的面积与动点之间的关系” 例题精讲二次函数与几何图形面积

的问题，本题具有一定的代表性，给出的两种解法，都是采用的割补法，如果学生程度不怎么好，建议只讲第二种方法。转化的目的：构造水平和竖直方向上的底和高，使求解更方便，更简单【例2】已知：如图，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A 、点B ，与直线3 4 y x b =-+相交于点B 、点C ，直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E ． ⑴求直线BC 的解析式． ⑵若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A ，B 重合），同时，点 N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB ?的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB ?的面积最大，最大面积是多少？【答案】⑴33 42 y x =-+ ⑵过点N 作NP ⊥MB 于点P ∵EO ⊥MB ， ∴NP ∥EO ∴△BNP ∽△BEO ∴ BE BN ＝ EO NP 由直线y ＝－43x ＋23可得：E （0，23 ）在△BEO 中，∵OB ＝2，EO ＝23，∴BE ＝2 5 ∴ 252t ＝ 2 3NP ，∴NP ＝56 t ∴S ＝ 21·(4－t )·56t ＝－53t 2＋5 12t ＝－ 53( t －2)2＋5 12 （0＜t ＜4） ∵此抛物线开口向下，∴当t ＝2时，S 最大＝ 5 12 ∴当点M 运动2秒时，△MNB 的面积最大，最大面积是 5 12 【注意】构造在求解三角形面积的时候，如果需要构造三角形的高，应优先考虑，水平和竖直方向进行构造，求高的途径可以有：①相似三角形对边成比例；②锐角三角函数；③勾股定理【例3】如图①，梯形ABCD 中，90C ∠=?．动点E 、F 同时从点B 出发，点E 沿折线BA AD DC --运动到点C 时停止运动，点F 沿BC 运动到点C 时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s ．设E 、 F 出发t s 时，EBF ?的面积为y 2cm ．已知y 与t 的函数图象如图②所示，其中曲线OM 为抛物线的一部分，MN 、NP 为线段．请根据图中的信息，解答下列问题： ⑴梯形上底的长______AD =cm ，梯形ABCD 的面积＝__________cm 2；

二次函数与几何图形的综合题

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20XX年03月03日光辉职业的初中数学组卷一．解答题（共30小题） 1．（2015?崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=﹣+1与坐标轴的两个交点A、B，点 C为抛物线上的一点，且∠ABC=90°．（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；（3）直线y=﹣x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015?三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 3．（2015?金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H．当FG=GH时，求点H的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当△AEM 与△BCM相似时，求点M的坐标．

二次函数与几何综合压轴题题型归纳

、二次函数和特殊多边形形状、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总两点间的距离公式：AB= ￡ (y A -y B f + (X A —x B f ,解题步骤如下： ① 用厶和参数的其他要求确定参数的取值范围; ②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于X 的一元二次方程X 2—2 m 1 x m 2=0有两个整数根， m v 5且m 为整数，求 m 的值。 4、二次函数与X 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线 y = mχ2 3m 1 X 3与X 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 2 已知关于X 的方程mx -3（mT ）x ? 2m -3=0（ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总 1、 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为: 直线 y = k 1 x b 1 （ k 1 = O ）与（1）两直线平行 y k 1 （3）两直线重合 k ι X A X B y A y B =k 2x b 2 ( k 2 =k 2 且 b ∣ = =k 2 且 b ∣ = b 2 -0）的位置关系：（2）两直线相交（4）两直线垂直 3、元二次方程有整数根问题

有一个固定的根。解：当 m = O 时，X =1; 当 m = 0 时,.? = m -3 $ _ 0 , X = 3m ^_, x 1 = 2 -色、X 2 = 1 ； 2m m 综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。 6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y =χ2 -mx ? m -2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于 m 的方程y -X 2 ? 2 = m1 -X ；抛物线总经过一个固定的点（1，- 1 ）。（题目要求等价于：关于 m 的方程y-x 2 ?2 = m1-x 不论m 为何值，方程恒成立）小结：关于X 的方程ax =b 有无数解= 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线∣1、∣2 ,点A 在∣2上，分别在∣1、∣2上确定两点M 、N ,使得AM MN 之和最小。（2）如图，直线∣1、∣2相交，两个固定点 A 、B ,分别在∣1、J 上确定两点M 、N ,使得 BM MN AN 之和最小。 Z y —X 2 2 1 —x =0 ,解得: y - -1 X =1