2019考研数学复习高等数学第七章无穷级数 (1)-30页word资料

第七章无穷级数【数学1要求，3傅里叶系数之前内容要求】

2013考试内容

常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet ）定理函数在[－l ，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数 2013考试要求

理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6. 了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8.

了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握,sin ,cos ,ln(1)(1)

e x x x x α

++及的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一

些简单函数间接展开为幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正

弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。一、三基层面及其拓展

1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞

→∞

==∑存在，称级数收敛。

2. 级数的本质：级数就是限项求和，记为121

n n n u u u u ∞

==++++∑L L ，虽然在形式上是

用加法依次连成，但在意义上与有限项求和形式121

n m n u u u u ==+++∑L 完全不同。

从有限到无限发生了本质的变化，如级数一般不满足结合律（可任意加括号）和交换律（可任意变换相加顺序），只有当级数收敛时才满足结合律，当级数绝对数收敛时才满足交换律。所以，无穷级数不能看成是有限项相加，121n n n u u u u ∞

==++++∑L L

只是形式上的记号而已。

无穷级数的特征就是收敛性，收敛性的定义就是部分和极限存在，只有在收敛时，才能讨论无穷级数的性质。研考数学需要掌握的级数对象分为三类：常数项级数（正项、负项、交错和任意项），函数项级数（只要求掌握幂级数），傅里叶级数。研究常数项级数首先是研究正项级数（又称不变号级数，因为正项级数的全部收敛性质也代表负项级数）分为收敛和发散两种；任意项级数（又称变号级数，包含交错级数）如分为绝对收敛与发散，条件收敛与发散两组，若任意项级数1

n n u ∞

=∑收敛，1

n n u ∞

=∑发散，

则称1

n n u ∞=∑条件收敛，若1

n n u ∞=∑收敛，则称级数1

n n u ∞

=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条

件收敛。任意项级数（如

n ∞

=-）加上绝对值后就是正项级数，交错级数（如

n ∞=-性，这时，所有正项级数的判敛法都能使用。如果任意项级数不绝对收敛，原级数不一定发散，需要用其他方法判别，如对交错级数使用莱布尼茨定理判敛。而其它不绝对收敛的任意项级数类型一般使用拆项法或定义法，更复杂的类型不是考研数学的大纲范畴，。级数收敛时，去掉有限个项不影响其收敛性，如去掉奇次项或偶次项（无限次），则会影响收敛性，如1

(1)n n a n

=-，则n a ∑收，2n a ∑发，。

3. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞

这是因为部分和 11

lim n n k n k n k k S u S u S ∞

→∞

===?==∑∑

4．若有两个级数1

n n u ∞=∑和1

n n v ∞

=∑，1

,n n n n u s v σ∞∞

====∑∑

则 ①1()n n n u v s σ∞

=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==????

?=? ? ?????

∑∑。

②1

n n u ∞=∑收敛，1

n n v ∞=∑发散，则1

()n n n u v ∞

=+∑发散。

③若二者都发散，则1

()n n n u v ∞=+∑不确定，如()1

1, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1

110k ∞

=-=∑收敛。

【例1】已知级数()

211

12, 5, n n n n n n n a a a ∞

∞∞

--===-==∑∑∑求。

解：

5．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：

b) P 级数：

c) 对数级数：

6．斯特定公式：

【例2】 12!lim lim

n n n

n n n n n n e n e

e e n n

θ-→∞→∞

?==→+∞ 7．下面三个重要结论及其证明方法具有代表性，请读者反复历练。

证明：

无此结论。证明：

证明：

【例3】设0n a >，{}n a 单调递减，()11n

n n a ∞

=-∑发散，试证明：111n

n n a ∞

=??

?+??

∑收敛。

证明：因为0n a >，{}n a 单调递减，则lim n n a →∞

必存在，设lim n n a A →∞

=，

由于()1

n n a ∞

=-∑发散，可推出0

lim 00n

a n n a A A >→∞

=≠???

→>（否则，由莱布尼茨定理判定()1

n n a ∞

=-∑必收敛。）

又， {}lim 0, 0,n n n n a A a N n N a A →∞

=>??>>>单调递减使当时，有，

【例4】设1111

2, ()2n n n a a a a +==+ 证明： ①lim n n a →∞? ②11

(1)n n n a a ∞

=+-∑收

证明：① 如lim n n a →∞

? 则 11()12a a a a

=+?=

有界性：而2111111()1(1)012

2n n n n n n

a a a a a a ++-=+

-=-≥?≥ 即{}n a 有下界1；单调性： 21111()(1)02

2n n n n n n n

a a a a a a a +-=+

-=-≤ 故{}n a 单调不增由单调有界性定理lim n n a →∞

?? 且lim 1n n a →∞

②由于1

111

11n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-≥?

-=≤- 根据重要结论1： 11

lim ()n n n n n a a a ∞

-→∞

=??-∑ 收敛，

由比较法知 111

11(

1)n n n n n n n a a a

a a ∞

∞

+=-++--=∑∑收敛。【例5】设1

n n b ∞

=∑收敛正项，11

()n n n a a ∞

+=-∑收敛，试讨论1

n n n a b ∞

=∑的敛散性。

解：不知道1

n n a ∞

=∑是正项还是正负相间的交错级数？或是正负任意项级数，所以

应首先讨论其绝对收敛性。

因为11()n n n a a ∞

+=-∑收敛，根据重要结论1： lim n n a →∞

?，则n a 有界，不妨设n a M ≤

则n n n a b Mb ≤ 1

(0)n n n n b a b ∞

=≥?∑Q 绝对收敛。

8．常用收敛快慢

正整数

由慢到快

连续型由慢到快

例如根据上面的规律可以快速判断 lim 0n

n n a n

→∞=等等。

二、正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧

11,lim

1,lim 0)

1,n n n n n

n l u l l u l μμ+→∞→+∞

=>≠??=??收

发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）

2. 1,1,1,n n l l l n l μ

=>??=?

收发（当为某次方时）单独讨论

① 代数式 1

n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞

====≤???∑∑∑∑收敛收敛，发散发散

② 极限式 lim n

n n

u A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞

=∑都是正项级数。

大收小收，小发大发，同阶同敛散。只有大收小发情形下，比较法才

可判敛。

● 判别正项级数收敛的一般思路：先看lim 0n n u →∞

=是否成立，如不成立，则发散，如收

敛，则根据级数通项的特点考虑比值法或根值法，如果比值法或根值法的极限不易求出或等于1，则使用比较法或其极限形式。

● 比阶法的极限形式是核心方法，必须熟谙陈氏第17技，否则读者在做题时会糊涂。比较法中最常用的技巧是找到合适的基准级数，主要技巧有3算术平均≥几何平均等常用不等式） ● 凡是由达朗贝尔比值法给出的收敛性结论，由柯西根值法必可以给出相同的结论；反之却不一定。

【例6】讨论级数()

212n

n ∞

=+-∑的收敛性。解：根据达朗贝尔比值法，有根据柯西根值法，有

【例7】R θ∈，试讨论级数的敛散性1

cos n n n θ

∞

=∑。

解：

()()111111cos cos 1 cos cos 1lim cos cos 12 1cos 1cos cos 121 n n n n n n n n n n n n k n n k n n n k n n θ

θθπθθθθθπθθθθπ∞=+∞∞→∞==∞∞

==?<→≠??

?===→==?+?

?-?=-→=+=??

∑∑∑∑∑时，

绝对收敛；时，发散；时，条件收敛

【例8】判别（1）5

ln n n n

∞

=∑

和（2）1

1cos n n

λ∞=?

?- ???

∑ 的敛散性。

解：(1) 51

ln n n n

∞

=∑

根据只有大收小发才可判敛的原则，无法判断51

ln n n n

∞

=∑

的敛散性；显然，要想办法让比

较极限为零。

故我们另选参考级数

根据大收小收，小发大发， 54

ln lim

n n n

→∞

得收敛。

(2)对 11cos n n λ∞

?- ???∑选比较基准级数211n n

∞

=∑

故原级数收敛。

如能利用等价无穷小等手段估计出级数一般项的阶次，

选用的比较基准级数形式就很容易确定。

如级数322

1122

1~~111n n n n u n n n n ∞

=++???==+ ?---??

，可直接选用基

准级数3

1n n

∞

=∑

就可知原级数收敛。

又如级数113220

2210113n n n n dx u dx x x n ∞

=?≤=≤=?++∑?

?，也可选用基准级数31

1n n ∞

=∑就可知原级数收敛。

【例9】判别级数1

11[ln(1)]n n n

∞

=-+∑的敛散性

解方法一：试探比阶法

2k ?= 上述极限=12

，故原级数收敛。方法二：泰勒展开法

三、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧

●

①lim 0n n u →∞

= ②1n n u u +≥?0

(1)n n n u ∞

=-∑收敛。这是一个必要条件，如果①不满足，则0

(1)n

n u ∞

=-∑必发散，若只有②不满足，则

不一定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。

● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。

● 任意项级数判敛的两个重要技巧：

()a 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。

()b k 阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，见【例10】判别级数()1

(0 n

n a a ∞

=>∑的敛散性。

【例10】设()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，求证：()()11

n n f n f x dx ∞

-=??-????∑?收敛。

证明：

又题知()f x 在[)0, +∞上单调增加有界，故()lim n f n →∞

存在，则()()1

1n f n f n ∞

=--????∑收敛，由正项级数的比较法知：()()11

n n f n f x dx ∞

-=??-????∑?收敛。

【例11】设()f x 在（0，1）内可导，且导数()f x '有界，证明：（1）1111[(

)()]22n n n f f ∞

+=-∑绝对收敛（2）1

lim ()2n

n f →∞?

证明：（1）'()f x 有界，则?常数M>0'()f x M ?≤ 由拉格朗日中值定理有由比较法知 1111

[(

)()]22

n n n f f ∞

+=-∑绝对收敛。（2）证 11

1111[()(

)]()()2222n

n i i n i s f f f f ++==-=-∑ 0

lim n n s →?Q 而1

()2f 为常数。故1lim (

)2n

n f →∞

? 【例12

】设1

0,(1)n

n λ∞

=≠-∑的收敛性

解： n →∞Q n 比ln n

0→，由莱布尼茨判据知原级数收敛。

>（n 很大时）

，故发散。

即原级数条件收敛。

【例13

】讨论(1sin n π∞

=∑的敛散性

解：

故，原级数条件收敛。

【例14

】判别级数()1

1(0 n

n a a ∞

=>∑的敛散性

解：令1

x n

，考察x a 0x +→时是x 是几阶无穷小？先用k 阶试探，则：

当1k =时，由于1

x n =，此时比较基准为发散级数11n n ∞

=∑；

当2k =时，由于1

x n =，此时比较基准为收敛级数211n n

∞

=∑；

根据大收小收，小发大发，同阶同敛散原则，判断如下：

?当1ln 2

a =

时 1）取1k = 1ln 02

I a =-=

，无法判断敛散性n

；

2）取2k =，2111[(ln )]244I a =+=，则原级数211

，故收敛； ?当1ln 2

a ≠

时 1）取1k =，1ln 02I a =-≠，显见原级数收敛性与1n

∑敛散性相同，故发散； 2）取2k =，虽然211[(ln )]02

I a =+≠，但极限不唯一，无法判断。

综上所述，1ln 2a = 原级数收敛

ln 2

a ≠ 原级数发散

【例15】 111

sin ln(2)

n n n ∞

=+∑

的敛散性解：利用第三个比较基准，容易得到：

11sin

ln(2)11ln n n

n n

+= 故原级数发散。【例16】设()f x 在0x =的某一邻域内具有不为零的二阶连续导数，且0

()

lim

0x f x x

→=，证明1

1()n f n

∞

=∑绝对收敛。

证明（一）：

而''()f x 在x=0某邻域内连续，则0M ?>，在某一小邻域内''()f x M ≤ 211

()()2M f n

≤ 收，故原命题成立证明（二）：

令1

x n

=代入上式即得结论。

【例17】 11

(3)(1)(32)n

n n n n n n u n ∞

∞

==-=-+∑∑的敛散性。

解 312(32)[1()]3

n n n n n u n n ==++ 命()(1)x f x b x =+ 2

b =

'()1(1ln )1x x f x b x b →+∞

=++???

→，故'()f x >0，1

2[1()]

n n n

u =+单调减少；由莱布尼茨定理知 1(3)(32)

n n n n ∞

=-+∑收敛。

又：1

2n u n

，1n ∑发，故n u ∑发

∴原级数条件收敛。

【例18】 1(2)[2(1)]n

n n

∞

=-+-∑的敛散性解： (1)n

n u -∑形式中，命211

1[2(1)]2[1()]2

n n n n

n u n n n ==>+-+-发，绝对不收敛；显然n u 不单调减少，莱布尼茨判剧失效。但 lim 0n n u →∞

= 原级数不一定发散

折项法 (1)1

[2(1)]n n n n u n n

-=-+- (1)n

n -∑收，11[2(1)]21n n n n <+--，而11

121lim

112

n n n

+→∞-=<-，收故原级数条件收敛。

【例19】已知 lim 0n n nu →∞

=，1(1)()n n n u u ++-∑收，证明：n u ∑收

证明：用定义法证明之：

设1(1)()n n n u u ++-∑部分和为n s ，则

n →∞时， 1lim 0lim(1)0n n n n nu n u +→∞

→∞

=?+=

11lim 2

n n s u →∞

=- ，由级数收敛定义知n u ∑收敛

【例20】判别下列命题的正误（1）1n n a ∞

=∑发（n a >0）1

n a n

?≥

()n N ≥ (2) 2121()n n n a a ∞

-=+∑收 1

n n a ∞

=?∑收

(3) 1

n n a ∞

=∑收 21

n n a ∞

=?∑收

(4) lim

n n

u l v →∞=≠ 则n u ∑和n v ∑有相同的敛散性 (5) 1

,n n n n a b ∞

∞

==∑∑至少一个发，则()n n a b +∑发

(6) n n a b ∑收22,n n a b ?∑∑均收 (7) 若n a ∑为正项级数，

1n n n

a a a +

1n a n

；（2）错误。如反例：()1n

n a =-；（3）错误。如反例：()

11n

n a n

=-；（4）错误。因为只对不变号级数才成立，否则极限可能不唯一，无法判断，见【例

10】；

（5）正确，反证如下：

因为 , n n n n n n a a b b a b ≤+≤+

() n n n n a b a b +?∑∑∑如收敛和都收敛，与条件矛盾。

（6）错误，如反例：21

, 1n n a b n =

=；（7）错误，如反例：1

n a n

=；

（8）正确，证明如下：

因为 0n n n n u w v w <-<-，而：,n n w v ∑∑收敛()(),n n n n u w v w ?--∑∑都收敛，但 ()n n n n n u u w w u =-+?∑收敛收敛。

【例21】设级数1n n u ∞

=∑收敛，下列必收敛的级数是（）。

（A ）()11n

n u n ∞

=-∑ （B ） 21

n n u ∞

=∑

（C ）()21

n n n u u ∞

=-∑ （D ） ()11

n n n u u ∞

+=+∑

解：（A ）取()1ln n

n u n

，则命题错误；

（B ）取

n u -=

（C ）取

n u -=

（D ）

()1122334111

n n n n n n u

u u u u u u u u u u u ∞

+-+=+=+++++++++++∑L L

，

112

22n n u u u S ∞

==+=+∑，收敛，则命题正确。

【例22】设级数1

0n n na ∞==∑，且()11

n n n n a a ∞-=-∑收敛，则级数1

n n a ∞

=∑（）。

（A ）收敛（B ）发散

（C ）不定（D ）与n a 有关

解：取()11

k n n n S n a a -==-∑

则命题（A ）正确。

【例23】设函数()f x 在(), -∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）。 ()A 若{}n x 收敛，则(){}n f x 收敛。 ()B 若{}n x 单调，则(){}n f x 收敛。 ()C 若(){}n f x 收敛，则{}n x 收敛。 ()D 若(){}n f x 单调，则{}n x 收敛。解：因为()f x 在(), -∞+∞内单调有界，如{}n x 单调，则(){}n f x 单调有界，故(){}n f x 收敛。 ()B 正确。

【例24】举例说明： 1）级数条件收敛?结合性成立，交换性不一定成立，如级数不

收敛，则结合性和交换性都不一定成立。

2）级数绝对收敛?结合性成立，交换性也成立。解：1）如 11(1)n n ∞

+=-∑发散，

而 1

(11)(11)(11)0n n n

n ∞

=--+-++-+==∑L L ，故收 ()

()1

(1-1+1)-(1-1+1)++11n n n n n n n n ∞

∞++==-+=-=-∑∑L L 结果可能为1或零，故发散。

2）又如1

11(1)

n n n ∞

+=-∑条件收敛，11

1lim (1)n n n n s s n ∞

+→∞===-∑

但交换位置后 1

1111111

(1)()()2436821424n n n

--+--++--+--L L 故交换律不成立。四、幂级数 00()n n n a x x ∞

=-∑

1．阿贝尔（Abel ）定理

如果级数0n

n n a x ∞

=∑当20001 0, =00n n x x x x a x ∞

=??

=≠?= ???∑因为显然收敛点收敛，则级数在

圆域0x x <内绝对收敛；如果级数0

n n n a x ∞

=∑当1 x x =点发散，则级数在圆域1x x >外发散。

由阿贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除()00 0x x x =≠外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如

推论：如果0n n n a x ∞

=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有

一个确定的正数R 存在，使得：

如果所给级数为()()0

n n a x a a ∞

=-≠∑在()00 x x x a =≠点收敛，则相当于0n n n a t ∞

=∑在

1t x a =-处收敛，显然0n n n a t ∞

=∑的收敛半径0R x a ≥-。如果所给级数为()()

0 0n

n n a x a a ∞

=-≠∑在()01 x x x a =≠点发散，则相当于0

n n n a t ∞

=∑在1t x a =-处发散，显然0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径

1R x a ≤-。

2．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知00()n n

n a x x ∞

=-∑，若1

lim

n n n n

a a ρρ+→∞

==或；则根据比值判敛法有：

1000+1

lim

1=lim n n n n n n a a x x x x x x R a a ρρ+→∞

→∞-=-

●收敛半径R ：11lim , 000, n

n n a a R R R x ρρρρ→∞+?=≠???

==+∞???=?==+∞???

全平面收敛, =0只有一个收敛点。

●收敛区间()00, x R x R -+：级数在()000, x x R x x R x R -

()n

n n a x x ∞

=-∑至少在0x x =处收敛，对0

n n n a x ∞

=∑至少在0x =处收敛。

由阿贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。

●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R 上）收敛性待定，故收敛域是

()00, x R x R -+、[)00, x R x R -+、(]00, x R x R -+或[]00, x R x R -+四种情况之一。

3．在收敛区域内的性质

(1) 0n n n a x ∞

=∑的和函数()f x 连续并有任意阶导数；

(2) 0

n ∞=∑可逐项微分 10

'()()n

n n n n n f x a x na x ∞∞

-=='==∑∑

(3) 0n ∞

=∑可逐项积分 1

000

()()1x

n n n n n a f x dx a x dx x n ∞

∞

+====+∑∑

?? (4) 0

n n n a x ∞

=∑绝对收敛。

4．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数

展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。 5. 幂级数求和方法 ● 函数项级数求和方法

一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 ● 数项级数求和方法

构造辅助幂级数法。

【例25】已知级数()1

n x a n

∞=-∑

在2x =收敛，试确定a 的取值范围。

解：()

n x a n

∞

=-∑

的收敛半径为：1

lim 11

n n R n →∞==+

【例26】设幂级数()

()01ln 2n

n x a n ∞

=-+∑在12x =-条件收敛，证明：幂级数()()2

012n n x a n ∞

=-+∑

在214

x =发散。

解：显然两个级数有相同的收敛半径1R =。且收敛区间的中点相同，都为0x a =。因为()

()01ln 2n

n x a n ∞

=-+∑

在12x =-条件收敛，根据阿贝尔定理：绝对收敛区间为

2131a a --

而214x =不在收敛域内，故幂级数()

()2

012n

n x a n ∞

=-+∑在214x =发散。【例27】设幂级数()0

n n a x ∞

=+∑在2x =-时条件收敛，则在2x =处的收敛性如何？

解：()0

n n a x ∞

=+∑在2x =-时条件收敛，相当于0

n n n a t ∞

=∑在1t =-条件收敛，

又由阿贝尔定理知：对应的级数0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径为1

lim

n n a R a ρ

→∞+=

==，

而()0

n n a x ∞

=+∑的收敛半径与0

n n n a t ∞

=∑相等，故收敛区间为 1120x x +

2x =不在收敛区间内，故发散。

【例28】已知幂级数()02n

n n a x ∞

=+∑在0x =处收敛，则在4x =-处发散，求幂级数

()0

n n a x ∞

=+∑的收敛性域。

解：幂级数()0

n n a x ∞

=+∑在0x =处收敛，相当于0

n n n a t ∞

=∑在2t =收敛，

由阿贝尔定理知：0

n n n a t ∞

=∑的收敛半径为2R ≥；

幂级数()0

n n a x ∞

=+∑在4x =-处发散，相当于0

n n n a t ∞

=∑在2t =-处发散，

由阿贝尔定理知：对应的级数n n a t ∞

∑的收敛半径为2R ≤，

所以，0

n n n a t ∞

=∑收敛半径也1R =；收敛区间为(]2, 2-。

要使()0

n n a x ∞

=+∑收敛，则必须满足：2225x x -<+≤?<≤得其收敛域为 1。

【例29】设幂级数()0

n n a x ∞

=-∑在3x =时条件收敛，则2

112n n n a n ∞

=??

???

∑的收敛性如何？解：()0

n n a x ∞

=-∑对应的级数0

n n n a x ∞

=∑的收敛半径为03312R x =-=-=。

而1

n a ∞

=∑是相当于幂级数()1

n n a x ∞

=-∑

在1x =

处的)

11n

n n a ∞

?-??

∑正数项级

数形式，又因为()11, 3x =∈-

，故1

n a ∞

=∑绝对收敛，因此2

112n n n a n ∞

=??

???

∑收敛。【例30】设幂级数()0

n n a x ∞

=+∑在1x =处收敛，则(

)()0

10n

n a b ∞

=->∑的收敛性如何？

解：()0

n n a x ∞=+∑在1x =处收敛0

2lim 2lim 012n n n

n n n n n n

a a a ∞

→∞→∞

=???????

→==∑由收敛的必要条件

收敛【例31】设()()0, 0f f '''存在，且()()00, 00f f '=≠，讨论级数()1

1sin n

p n f n ∞

=??

- ? ??

∑

的收敛性。解：利用佩亚诺余项麦克劳林形式把()(

)1 sin n

p f x x n ??-= ? ???

这里泰勒展开，得：

【例32】试确定()

()1

321n

n n

n x n ∞

=+-+∑

的收敛半径、收敛区间和收敛区域。

解：令()

32n

n n a n

+-=

收敛半径：

3n k

R ==

=???→=

=令；

收敛区间：1421333

x x +

()()()()11

12113~11

32441

1111333221132322

2331333n

n n n n n n n

n n

n n n n

n n n n n x n n n x n n n n ∞∞∞

===??

+- ???∞

∞

∞∞

====+-????=-?-+=-+ ? ?????????+-+- ? ?+-+-??????=-?-+==????→ ????∑∑∑∑∑∑∑当收敛；

当发散。

故收敛区域为42, 33

--???

。

【例33】试确定()

11x

n n ln n ∞

=+∑的收敛区域。

解：令 ()()

n n u x ln n =+，没有幂级数形式，所以不能讨论收敛半径，但可视为“数

项级数”讨论。

可见，尽管()1x ρ<时原级数收敛，但本题()1, x x R ρ=∈，()1x ρ<这种情况并不存在，

我们只要讨论()1, x x R ρ=∈情形下x 的取值范围对原级数收敛性的影响。

【例34】将()1arctan 1x

f x x +=-展开成x 的幂级数，并求()0121

n n ∞

=-+∑

。解:

【例35】将()2

ln 2

x f x x -=+展开为1x +的幂级数。解：

【例36】将函数()21

f x x =在1x =处展开为幂级数，并求11

(1)2n n

n n -∞

=-∑ 解：

【例37】设21()arctan x f x x x

?+=?? 0x ≠ 试将()f x 展开成x 的幂级数，并求2

1(1)14n

n n ∞

=--∑的和。

解：22

1(1)1n n

n x x ∞

==-+∑

令 ()2

(1)11

11[(1)1][2]21424n n x f f n π

π∞

=-=?=?=-=--∑ 【例38】求21(1)(1)n n x x n n ∞

=+++∑的收敛域及1

(1)n n n ∞

=+∑。

解：令2

1()(1)

n n u x x S u u n n ∞

==++→=+∑

收敛区间 221

lim ()110(1,0)n n

n u x x x x x x u ρ+→∞

==++<→+<→∈-；由于0x =或1x =- 原级数1

(1)n n n ∞

==+∑

也收敛，故收敛域为 [1,0]x ∈-；

而0u >恒成立（与x 无关），又10x =-或时? u=1, 故 (0,1)u ∈；其中：[1,0]x ∈-

【例39】求0(1)(2)n n n n x ∞

=++∑的和函数。

解：0

(1)(2)n

n n n x ∞=++∑2

32n

n n n n n x nx x ∞∞∞

====++∑∑∑

【例40】求和函数 21

(1)

(21)

n n x n n ∞

-=--∑

解：

收敛域[-1，1]，2112()(1)21n n

n S x x n n ∞

=??=--

?-??

∑ 【例41】设有幂级数 2112n n

n x n

n ∞

=??+ ???∑，求

（1）收敛半径与收敛域

（2）和函数在收敛区间内的导函数

解：（1）将2112n n n x n

n ∞

=??+ ???∑ 化成二个级数 21112, n n

n n n x x n n ∞

∞==∑∑之和

在12x =±时，它们都收敛，故收敛域为11,22??

-????

2019年考研数学(二)真题及解析

2019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()2 2 y x x x x π π =+- << 的拐点是（）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ - （D ）33(,)22 ππ - 3．下列反常积分发散的是（）（A ） x xe dx +∞ -? （B ）2 x xe dx +∞ -? (C ）20 arctan 1x dx x +∞ +? （D ）201x dx x +∞+? 4．已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 5．已知平面区域{(,)|}2 D x y x y π =+≤ ，记1D I =，2D I =??， 3(1D I dxdy =-?? ，则（）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2 ()() lim 0() x a f x g x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（）（A ）充分不必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 7．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若2 2A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222 123y y y --- 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．( ) 20 lim 2 x x x x →+= ．

2018-2019年考研数学一真题及答案

2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos 0(),0x x f x b x ?->? =?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到()()22 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 3．函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】 22,,2f f f xy x z x y z ???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 ()01 4,1,0(1,2,2)23f gradf n n ?=?=?=?应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（）（A ）010t = （B ）01520t <<

考研数学高等数学强化习题-不定积分

模块五不定积分 Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?

（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9） ()() 2 2 1 21---?dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式（ 6、计算下列不定积分（1） ()1sin sin 1cos ++?x dx x x （2）3sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）211cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）22221 sin cos +?dx a x b x （7） () ()2 1 0sin cos ≠+?dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 . （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +?

2019年考研数学二考试题完整版

2019考研数学二考试真题（完整版）来源：文都教育一、选择题1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当x →0时，tan k x x x -与同阶，求k （） A.1 B.2 C.3 D.4 2.sin 2cos y x x x =+3(,)22x ππ? ?∈-???? 的拐点坐标 A.2,22π?? ??? B.()0,2 C.(),2π- D.33(,)22 ππ- 3.下列反常积分收敛的是 A. 0x xe dx +∞-? B. 20x xe dx +∞-? C.20tan 1arc x dx x +∞ +? D.201x dx x +∞+? 4.已知微分方程x y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e =++，则a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域{(,)|||||}2D x y x y π =+≤， 222222123d ,d ,(1)d d D D D I x y x y I x y x y I x y x y =+=+=-+????，试比较123,,I I I 的大

小 A.321I I I << B.123I I I << C.213I I I << D.231I I I << 6.已知(),()f x g x 二阶导数且在x =a 处连续，请问f (x ), g (x )相切于a 且曲率相等是 2 ()()lim 0()x a f x g x x a →-=-的什么条件？ A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设A 是四阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若线性方程Ax =0的基础解系中只有2个向量，则A *的秩是（） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22.A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 规范形为 A.222123y y y ++ B.222123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分. 9.()20lim 2x x x x →+= . 10.曲线sin 1cos x t t y t =-??=-?在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为 . 11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z x y x y ??+=?? . 12.设函数lncos (0)6 y x x π =≤≤的弧长为 .

2019年考研数学真题(数学一)共15页word资料

2019年考研数学试题（数学一）一、选择题 1、曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（）（A ）（1，0）（B ）（2，0）（C ）（3，0）（D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（）（A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）

2019年考研数学一高等数学考试大纲附录10页

2012年考研数学一高等数学考试大纲一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限: 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则.

7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

考研数学2019完整版附参考答案

考研数学2019完整版附参考答案仅供参考一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（） (A) 0d y y <

2020考研数学常考证明题答题技巧

2020考研数学常考证明题答题技巧 2018考研数学常考证明题答题技巧考研数学必考证明题，证明题都会怎么出?怎么证?下面整理了一些常出的证明题，同时分享一些好的方法，18考生注意学习和掌握。 ☆题目篇☆ 考试难题一般出现在高等数学，对高等数学一定要抓住重难点进行复习。高等数学题目中比较困难的是证明题，在整个高等数学，容易出证明题的地方如下：数列极限的证明数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。微分中值定理的相关证明微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理： 1.零点定理和介质定理; 2.微分中值定理; 包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。 3.微分中值定理积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。

方程根的问题包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。定积分等式和不等式的证明主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。积分与路径无关的五个等价条件这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。 ☆方法篇☆ 以上是容易出证明题的地方，同学们在复习的时候重点归纳这类题目的解法。那么，遇到这类的证明题，我们应该用什么方法解题呢? 结合几何意义记住基本原理重要的定理主要包括零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16 题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

考研数学高等数学强化习题-不定积分

考研数学高等数学强化习题-不定积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

模块五不定积分 Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?

（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）()() 2 2 1 21---? dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 6、计算下列不定积分（1）()1sin sin 1cos ++? x dx x x （2）3 sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）21 1cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）2222 1 sin cos +?dx a x b x （7）() ()2 1 0sin cos ≠+? dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分（1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +? 四．根式的处理

(完整版)2019考研数学三真题及参考答案解析

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题 1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k x x x x k tan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2. 的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D. ），（44- 3. c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（） A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 4.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞ =∞ =11n n n n n v nu A. 条件收敛n n n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞ =1n n n v u C. ）收敛（n n n v u +∑ ∞ =1 D.）发散（n n n v u +∑∞ =1 5个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204* =Ax A A A 线性无关的解，则 ) ()(=* A r A.0 B.1 C.2 D.3 6.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22 =+，且4=A ，则二次型 Ax x T 的规范形为 A.232221y y y ++. B.232221y y y -+. C.232221y y y --. D.2 32221y y y ---. 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是

A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P = 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2 σμN ，则{} 1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2 ,σμ都有关. D.与2,σμ都无关. 二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分. 9. ()=???? ? ?+++?+?∞→n n n n 11321211lim Λ 10. 曲线?? ? ??-+=232 cos 2sin ππ ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f x d 11 4? += ，则()=?x x f x d 10 2 12. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为 2 22500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)= 13. 设????? ??---=11011 11012a A ，??? ? ? ??=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为?????<<=，其他， 02 0,2)(x x x f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题

2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有() (),,0C P x y d x Q x y d y +=?，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则

2019考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)-7页精选文档

第 1 页钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六）万学海文在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形．【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞=0，则可直接利用公式，由||lim 1n n n a a +∞→=ρ，得收敛半径为ρ1 =R ，收敛区间为),(R R -．【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120220,++∞ =∞=∑∑n n n n n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数)(1x u n n ∑∞=，由比值判别法，先求|) ()(| lim )(1x u x u x n n n +∞→=ρ，再令1)(

第 2 页求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是：（1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性．（2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变．【例1】下面有四个命题： ①若n n n x a ∑∞=0的收敛域为],[R R -，则幂级数10 -∞=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -． ②设幂级数n n n x a ∑∞ =0在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ． ③设幂级数n n n n n n x b x a ∑∑∞=∞=00,的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0+∑∞ =的收敛半径为},min{21R R R =．

(绝密)2019考研数学完整版及参考答案

2019考研数学完整版及参考答案一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（） (A) 0d y y <

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

2017-2019年(近三年)3套考研数学一真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则 (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > () s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆

（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 210020001B ????=??????100020002C ????=?????? ，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则() () P A B P A B >的充分必要条件是（） A.() () P B A P B A > B () () P B A P B A < C. () ( ) P P B A B A > D. () ( ) P P B A B A < （8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体 (,1)N μ的简单随机样本，记1 1n i i X X n ==∑ 则下列结论中不正确的是： (A) 2 ()i X μ∑-服从2 χ分布 (B) 2 12()n X X -服从2 χ分布 (C) 21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2 ()n X μ- 服从2 χ分布二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。（9）已知函数 21 ()1f x x = + ,则(3) (0)f =__________ （10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分 22dy 1L xdx ay x y -+-?在区域(){} 2 2D ,1x y x y =+<内与路径无关，则a = （12）幂级数 () 1 11 1n n n nx ∞ --=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x = （13）设矩阵101112011A ?? ??=?????? ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组

考研高等数学复习重点与典型题型

研究生入学考试数学试题难度较大，平均分不到40分，而高等数学又是考研数学的重中之重。根据笔者多年的辅导经验，在重点复习阶段，备考高等数学要特别注意以下3个方面。第一，按照大纲准确把握数学的基本概念、基本方法、基本定理。数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有深入理解基本概念，牢牢记住基本定理和公式，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。2001年数学（一）的填空题与选择题满分共30分，考生平均得分较低，客观地讲，这些题不是难题。数学的概念和定理是组成数学试题的基本元件，数学思维过程离不开数学概念和定理，因此，正确理解和掌握好数学概念、定理和方法是取得好成绩的基础和前提。第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。综合题的考查内容可以是同一学科的不同章节，也可以是不同学科的内容。近几年试卷中常见的综合题有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；线性代数与空间解析几何的综合题；以及微积分与微分方程在几何上、物理上、经济上的应用题等等。在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关的数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。第三，重视历年试题的强化训练。统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50％左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。所以希望考生一是要注意年年考到的内容，对往年考题要全部消化巩固；二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。这样，通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提炼题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。数学（一）为主总结高等数学各部分常见的题型。一、函数、极限与连续1．求分段函数的复合函数；2．求极限或已知极限确定原式中的常数；3．讨论函数的连续性，判断间断点的类型；4．无穷小阶的比较；5．讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。二、一元函数微分学 1．求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论； 2．利用洛比达法则求不定式极限； 3．讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式； 4．利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数； 5．几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函

2019考研数学三真题及答案

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线 b x a x y +-=2 33与x 轴相切，则2 b 可以通过a 表示为 =2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤?? ?==而 D 表示全平面，则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=_______. （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 ] T E A αα-=，T a E B αα 1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ，则 Y 与Z 的相关系数为________. （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时， ∑==n i i n X n Y 1 2 1依概率收敛于______. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(= [] (A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0. (C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0. 》（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是[] (A)),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C)),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D)),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2 n n n a a p += ， 2 n n n a a q -= ， ,2,1=n ，则下列命题正确的是[] (A)若∑∞ =1 n n a 条件收敛，则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (B)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则∑∞ =1 n n p 与∑∞ =1 n n q 都收敛. (C)若∑∞ =1n n a 条件收敛，则∑∞ =1n n p 与∑∞ =1n n q 敛散性都不定. (D)若∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. 【（4）设三阶矩阵 ?? ??? ?????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有[] (A)a=b 或a+2b=0.(B)a=b 或a+2b ≠0. (C)a ≠b 且a+2b=0.(D)a ≠b 且a+2b ≠0. （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是[]