离散数学-命题逻辑的推理理论习题
第三章作业
在自然推理系统P中构造下列证明:
要求: 直接证明法, 附加前提证明法, 归谬法各至少使用一次. 格式参照第三章幻灯片
1. 若你发给我电子邮件信息, 则我将完成编写程序. 若你不发给我电子邮件信息, 则我将早早地去睡觉. 若我早早地去睡觉, 则我将感觉精力充沛地醒来. 所以, 若我不完成编写程序, 则我将感觉精力充沛地醒来.
2. 今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷. 只有今天下午出太阳, 我们才去游泳. 若我们不去游泳, 则我们将乘独木舟游览. 若我们乘独木舟游览, 则我们将在黄昏时回家. 所以, 我们将在黄昏时回家.
3. 前提: q→p, q?s, s?t, t∧r
结论: p∧q
4. 前提: ?p∨r, ?q∨s, p∧q
结论: t→(r∧s)
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习
第3章命题逻辑的推理理论 主要内容 1. 推理的形式结构： ①推理的前提 ②推理的结论 ③推理正确 ④有效结论 2. 判断推理是否正确的方法： ①真值表法 ②等值演算法 ③主析取范式法 3. 对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明 4. ①自然推理系统P的定义 ②自然推理系统P的推理规则： 前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。 ③附加前提证明法 ④归谬法 学习要求 1. 理解并记住推理的形式结构的三种等价形式，即 ①{A1,A2,…,A k}├B ②A1∧A2∧…∧A k→B ③前提与结论分开写： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 在判断推理是否正确时，用②；在P系统中构造证明时用③。 2. 熟练掌握判断推理是否正确的三种方法（真值表法，等值演算法，主析取范式法）。 3. 牢记P系统中的各条推理规则。 4. 对于给定的正确推理，要求在P系统中给出严谨的证明序列。 5. 会用附加前提证明法和归谬法。 3.1 推理的形式结构 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理 定理3.1命题公式A1,A2,…,A k推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧A k )→B 为重言式。 A k为假，或者A1∧A2∧…∧A k和B同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义。 由此定理知，推理形式： 前提：A1,A2,…,A k 结论：B 是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧A k)→B为重言式。(A1∧A2∧…∧A k)→B称为上述推理的形式结构。从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。于是，推理正确 {A1,A2,…,A k} B 可记为 A1∧A2∧…∧A k B 其中同一样是一种元语言符号，用来表示蕴涵式为重言式。 而判断命题公式永真性有三个方法： 1．真值表法 2．等值演算法 3．主析取范式法 三、重言蕴涵式 由上一个小节可以看出：形如A→B的重言式在推理中十分重要。
命题逻辑的推理理论(牛连强)
1.7 推 理 理 论 从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。 1.7.1 蕴含与论证 1．推理的含义与形式 [定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ?，或p q 。此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。得出此逻辑关系的过程称为论证。 [辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ?，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。因此，p q ?也称为“永真蕴含” ，即p 永真蕴含q 。 [延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。 所有逻辑推理的实质就是证明p q ?，也就是证明p q →为永真式。例如，以下是一个简单的初等数学证明题目： 已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。 如果记 p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+ 则上述论证要求可描述为： p q r ∧? 证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。 通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作： 12n H H H C ∧∧∧? ，或12,...,n H H H C ?，，或 12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C 可见，论证A C 、A C ?或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如
逻辑判断推理中常用的逻辑公式
逻辑判断推理中常用的 逻辑公式 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP
六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】 不相容选言命题公式：要么p要么q
离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论
第3章命题逻辑的推理理论 3.1 推理的形式结构 一、有效推理 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程，而前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。 定义3.1设A1,A2,…,A k和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,A k和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1∧A2∧…∧A k为假，或者当A1∧A2∧…∧A k为真时，B 也为真，则称由前提A1,A2,…,A k推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。 关于定义3.1还需要做以下几点说明： 1．由前提A1,A2,…,A k推结论B的推理是否正确与诸前提的排列次序无关。因而前提的公式不一定是序列，而是一个有限的公式集合，若将这个集合记为Г，可将由Г推B 的推理记为Г├B。若推理是正确的，则记为ГB，否则记为ГB。这里，可以称Г├B和{ A1,A2,…,A k}├B 为推理的形式结构。 2．设A1,A2,…,A k，B中共出现n个命题变项，对于任何一组赋值α1,α2,…,αn(αi =0或者1，i=1,2,…,n)，前提和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2∧…∧A k为0，B为0. (2) A1∧A2∧…∧A k为0，B为1. (3) A1∧A2∧…∧A k为1，B为0. (4) A1∧A2∧…∧A k为1，B为1. 由定义3.1可知，只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。 3．由以上的讨论可知，推理正确，并不能保证结论B一定为真，这与数学中的推理是不同的。
命题逻辑中几种常见的推理证明方法
ljlj 逻 辑 学 论 文 数学科学学院 09级3班 吴洁琼 学号2009040288
命题逻辑中几种常见的推理证明方法 吴洁琼 哈尔滨师范大学 （黑龙江·哈尔滨 150025） 【摘 要】：命题逻辑的推理证明是《离散数学》课程的重点难点内容，其主要原因有两个： 一是内容比较抽象且方法较独特，其灵活性很大, 故很难掌握；二是题型以证明题居多, 大多数题的知识面涉及较广, 故习题较难。而命题逻辑又是数理逻辑的基础, 熟练而灵活地掌握好命题逻辑中推理证明的方法既是学习命题逻辑的重点, 又会为进一步学习谓词逻辑打下良好的基础。本文结合适当的例题讲解，总结了命题逻辑中几种常见的推理证明方法，并进行了分析和探讨,以加深学生的理解，以及知识的灵活使用。 以期在帮助学生掌握命题逻辑的推理证明方法的同时, 又能对学生进行逻辑思维能力的训练,培养学生分析问题和解决问题的能力。 【关键词】：命题逻辑；推理；证明方法 数理逻辑是《离散数学》课程的主要内容之一，它主要包括命题逻辑和谓词逻辑两大部分, 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础,其中的内容也比较抽象，所以学好命题逻辑又是学好数理逻辑的关键。学好数理逻辑既能加强学生的逻辑思维能力，又同时能够帮助同学学习数字电路和人工智能等其它课程。数理逻辑中关于命题逻辑证明题比较多，学好数理逻辑的关键是能不能很好的掌握这些证明题。 一、命题逻辑中推理的相关概念 定义1：一个命题公式序列1α，2α， ，n α；β，即βααα→ΛΛΛ)(21n 称为推理形式，其中序列最后一项β称为推理的结论，1α，2α， ，n α称为推理的条件。 定义2：对于命题公式序列1α，2α， ，n α；β的命题变元组);,,,(21p p p p n 的任意指派);,,,(21t t t t n 存在使n αααΛΛΛ 21为真，而β为假，则称此推理为无效推理，否则是有效推理。 证明命题公式β为有效结论的过程就是命题逻辑推理证明的过程。而证明推理形式1α， 2α， ，n α；β是有效的充要条件是βααα→ΛΛΛ)(21n 为重言式。 二、常见证明方法 命题逻辑的推理证明有六种常用证明方法，分别是直接证明法，真值表法,范式法，间接证明法。其中间接证明法里面常见的是CP 规则证明法和反证法，本文就这几种方法进行论述。
离散数学答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案 1.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 2.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 4.因为p与q不能同时为真. 5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 4. .将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0
判断推理——逻辑判断
、必然性推理 概念间关系 直言命题的对当关系 直言命题的变形推理 三段论推理 联言命题与选言命题 假言命题 模态命题 智力推理 ? 概念间关系（概念，是构成命题与推理的基础，只有表达了一类事物的词语才是概念） 直言命题（简单命题），是断定对象是否具有某种性质的单句 ? 直言命题的对当关系（不同直言命题之间在真假方面所存在的制约关系） 所有 A 是 B 反对 ........... 所有 A 不是 B 推出 推出 有的 A 是 B. “所有A 是B ” 与“有的A 不是B ”、“.所有A 不是B ”与“有的A 是 B ”必有一真一假 “所有A 是B ”与“.所有A 不是 B ” 必有一假（可以同假） “有的 A 不是B ”与“有的 A 是 B ” 必有一真（可以同真） 一个命题前面+“并非”=这个命题的矛盾命题 所有与有的互换，有“不”的去掉，没“不”的加上 ? 直言命题的变形推理（通过改变前提中直言命题的联项或主项与谓项的关系 结论） ①换质推理 双重否定表示肯定 将“不是”改为“是”或将“是”改为“不是” ②换位推理（倒过来说） 所有A 是B 有些B 是 A 所有 A 不是 B 所有 B 不是 A 有些 A 是 B 有些 B 是 A 有些 A 不是 B 特殊词量（少数，大部分，一半）作为量项引导命题，不能换位 ? 三段论推理（两个直言命题作为前提/ 一个直言命题作为结论） （两个前提包含三个概念/ 前提和结论中，每个概念都出现两次） 两条常用规则 一特得特：两个前提不能都是特称命题（含有“有的”命题） 只有一个前提是特称，结论也是特称 一否得否：两个前反对 矛盾 . 有的A 不是 B 下反对
离散数学 数理逻辑 课后答案
第一章命题逻辑基本概念 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 8.p:2<1，q:3<2 （1）p→q， （2）p→┐q， （3）┐q→p， （4）┐q→p， （5）┐q→p， （6）p→q， 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 16.设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1
逻辑判断推理中常用的逻辑公式
逻辑命题与推理 必然性推理（演绎推理）：对当关系推理、三段论、复合命题推理、关系推理和模态推理 可能性推理：归纳推理（枚举归纳、科学归纳）、类比推理 命题 直言命题的种类：（AEIOae） ⑴全称肯定命题：所有S是P（SAP） ⑵全称否定命题：所有S不是P（SEP） ⑶特称肯定命题：有的S是P（SIP） ⑷特称否定命题：有的S不是P（SOP） ⑸单称肯定命题：某个S是P（SaP） ⑹单称否定命题：某个S不是P（SeP） 直言命题间的真假对当关系： 矛盾关系、（上）反对关系、（下）反对关系、从属关系 矛盾关系：具有矛盾关系的两个命题之间不能同真同假。主要有三组： SAP与SOP之间。“所有同学考试都及格了”与“有些同学考试不及格” SEP与SIP之间。“所有同学考试不及格”与“有些同学考试及格” SaP与SeP之间。“张三考试及格”与“张三考试不及格” 上反对关系：具有上反对关系的两个命题不能同真（必有一假），但是可以同假。即要么一个是假的，要么都是假的。存在于SAP与SEP、SAP与SeP、SEP与SaP之间。 下反对关系：具有下反对关系的两个命题不能同假（必有一真），但是可以同真。即要么一个是真的，要么两个都是真的。存在于SIP与SOP、SeP与SIP、SaP与SOP之间。 从属关系（可推出关系）：存在于SAP与SIP、SEP与SOP、SAP与SaP、SEP与SeP、SaP与SIP、SeP与SOP 六种直言命题之间存在的对当关系可以用一个六角图形来表示，“逻辑方阵图” SAP SEP SaP SeP
SIP SOP 直言命题的真假包含关系 全同关系、真包含于关系、真包含关系、交叉关系、全异关系 复合命题：负命题、联言命题、选言命题、假言命题 负命题的一般公式：并非P 联言命题公式：p并且q “并且、…和…、既…又…、不但…而且、虽然…但是…” 选言命题：相容的选言命题、不相容的选言命题 相容的选言命题公式：p或者q“或、或者…或者…、也许…也许…、可能…可能…” 【一个相容的选言命题是真的，只有一个选言支是真的即可。只有当全部选言支都假时，相容的选言命题才是假的】不相容选言命题公式：要么p要么q “要么…要么…、不是…就是…、或者…或者…二者必居其一、或者…或者…二者不可兼得” 【一个不相容的选言命题是真的，有且只有一个选言支是真的。当选言支全真或全假时，此命题为假】 假言命题：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题 充分条件假言命题公式：如果p，那么q“如果…就…、有…就有…、倘若…就…、哪里有…哪里有…、一旦…就…、假若…、只要…就…” 【有前件必然有后件。如果有前件却没有后件，这个充分条件假言命题就是假的。因此，对于一个充分条件的假言命题来说，只有当其前件真而后件假时，命题才假。】 必要条件假言命题公式：只有p，才q “没有…就没有…、不…不…、除非…不…、除非…才…” 【没有前件必然没有后件。如果没有前件也有后件，这个必要假言命题为假。对于一个必要条件的假言命题来说，只有当其前件假而后件真时，命题才假。】 充要条件假言命题公式：当且仅当p，才q 【有前件必然有后件，没有前件必然没有后件。充要条件假言命题在前件与后件等值即前件真并且后件真，或者前件假并且后件假时，命题为真，在前件与后件不等值即前真后假，或前假后真时，命题为假】
逻辑学版答案复合命题及其推理
第五章复合命题及其推理 一、分析下列语句各表达什么复合命题？请写出其逻辑式。 1.书山有路巧为径，学海无涯乐作舟。 答：这是一个二支联言命题，可表示为：p∧q 2．只有发展外向型经济，才能打入国际市场。 答：这是一个必要条件假言命题，可表示为：p←q 3．但凡家庭之事，不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。 答：这是一个二支不相容选言命题，可表示为：p q 4．并不是每一个科学家都是上过大学的。 答：这是个负A 命题，它等值一个O 命题：?(SAP) ←→ SOP 5．足球的进攻方式，主要是中路突破，此外或边线进攻，或长传短切，或单刀直入。 答：这是一个四支不相容选言命题：p q r s 6．法律如果并且只有推开特权的大门，才能跨进人民的心。 答：这是一个充分必要条件假言命题：p←→ q 二、下列语句是否表达选言命题？如表达，各表达什么选言命题？请 写出逻辑式。 1．身体不好，或者是由于有病，或者是由于锻炼差，或者是由于营养 不良。 答：表达一个三支相容选言命题：p∨q∨r 2．这堂课是你上，还是我上？ 答：表达一个二支不相容选言命题：p q 3．这次围棋名人赛，要么小林光一取得胜利，要么马晓春取得胜利。答：表达一个二支不相容选言命题：p q 4．雇用的女工大抵非馋即懒，或者馋而且懒。 答：表达一个二支相容选言命题，用p 表示“女工馋”，用q 表示“女 工懒”，其逻辑式为：p∨q，也可理解为三支不相容选言命题：（?p∧q）(p∧?q) (p∧q),二者等值。 三、下列语句是否表达假言命题？如表达，各表达哪种假言命题？请 写出它们的逻辑式。 1．一人抽烟，大家受害。 答：表达一个充分条件假言命题：如果一人抽烟，那么大家受害，p →q 2．人们首先必须吃、喝、住、穿，然后才能从事政治、科学、艺术、 宗教等等。 答：表达一个必要条件假言命题：p←q 3．如果说幼年时期的无知是天真的表现的话，那么，成年以后还满足 于自己的无知就是愚蠢的表现了。 答：这个假设句不表达假言命题，而表达转折联言命题。 4．人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 答：表达一个充分必要条件假言命题，用p 表示"人犯我"，用q 表示 “我犯人”：p←→q 5．没有共产党，就没有新中国。 答：可有两种理解：一是充分条件假言命题，一是必要条件假言命题。
逻辑学复合命题及其推理附加习题Ⅰ参考答案
复合命题及其推理附加习题Ⅰ参考答案 一、单选题 1．两个假言命题的逻辑形式相同，其相同的是（ D ） A．前件和后件B．前件和联结词 C．后件和联结词D．联结词【主联结词】 2．如果一个包含两个选言支的不相容选言命题为真，则其两个选言支（ D ）A．可同真且可同假B．可同真但不可同假 C．不可同真但可同假D．不可同真不可同假 3．下列命题形式中，与pq既不同真又不同假的是（ C ） A．p→q B．p←q C．p?q D．p∨q 4．若“如果某甲掌握两门外语，那么他精通逻辑”为假，则下列为真的是（ B ）A．某甲掌握两门外语并且精通逻辑B．某甲掌握两门外语但不精通逻辑C．某甲没掌握两门外语但精通逻辑D．某甲没掌握两门外语也不精通逻辑5．以“A并且B”和“非B或者C”为前提进行演绎推理，可得出的结论是（ C ）A．A并且非B B．B并且非C C．B并且C D．A并且非C 6．在下列表达式中，正确表达直言命题中的A命题与O命题之间真假关系的是（ D ）A．A→﹁O B．﹁A→O C．A∨O D．AO 7．命题“老赵、老钱、老孙三人至少有一人是复员军人”可表示为（ C ）
A．(p∧q)∨r B．pqr C．p∨q∨r D．p→(q∧r) 8．“不是在保守中落后，就是在改革中进步”与“不是在保守中落后，而是在改革中进步” 这两个命题（ D ） A．都是选言命题 B．都是联言命题 C．前者为联言命题，后者为选言命题 D．前者为充分条件命题，后者为联言命题 注意，“不是在保守中落后，就是在改革中进步”的意思是“如果不是在保守中落后，那么就是在改革中进步”，是充分条件命题；也可以看作选言命题。 9．“这部作品或者思想性不强，或者艺术性不高，或者既思想性不强又艺术性不高”这一命题应符号化为（ C ） A．p∨q∨r B．pqr C．p∨q D．pq 解析：不相容析取命题为真，当且仅当，一个析取支为真。选项B和D显然不符合不相容析取命题的特征。 相同命题表示为相同符号，这是符号化的一个基本原则。如果以p表示“思想性不强”，以q表示“艺术性不高”，那么这个符合命题应当符号化为：p∨q∨(p∧q)。 由合取对析取的分配律，即A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)可得， p∨q∨(p∧q)=(p∨q∨p)∧(p∨q∨q) 由析取结合律可得， (p∨q∨p)∧(p∨q∨q)=(p∨p∨q)∧(p∨q∨q)
命题逻辑的推理结构
计算机科学MOOC课程群 离散数学基础 ?推理的形式结构 ?例： ?前提1: 如果今天是周五，那么我们有数理逻辑课。 ?前提2: 今天是周五。 ?结论: 今天我们有数理逻辑课。 ?形式化：P：今天是周五。Q：今天我们有数理逻辑课。 ?前提1：P→Q ?前提2：P ?结论：Q ?定义：条件式推理结构 ?将例子中的两个前提记为 (P→Q)∧P，结论记为 Q，上述推理过程可表述为： (P→Q)∧P|→ Q 或 (P→Q)∧P├ Q 称为条件式推理结构。 ?记号 ”├” 读成 ”推出” ?(P→Q)∧P├ Q 经常写成 (P→Q), P├ Q ?定义：推理结构的有效性 ?设命题公式 H、C，若当 H 为真时，C 必为真，则称推理结构 H├ C 是有效的（或是正确的） 推理形式。否则，称推理结构 H├ C 不是有效的（或是无效的）推理形式。 ?H├ C 有效，即在 H 上的任何令 H 的真值为 T 的解释下，C 的真值均 为 T。 ?H├ C 无效，即至少存在一个令 H 的真值为 T 而 C的真值为 F 的解释。 ?推广到有 n 个前提 H1, H2, …, H n 的情形，可令 H= H1∧H2∧ …∧H n 将推理的形式结构写成 H├ C； 如果定义 Γ = {H1, H2, …, H n}，可写成 Γ├ C。 ?例： P, (P→Q)├ Q 是有效的推理结构。 ?由下面的真值表可见，穷尽所有的解释，只有第4行令 P∧(P→Q)=T。而对
应此解释，Q=T。 P Q P→Q P∧(P→Q) F F T F F T T F T F F F T T T T ?例： ?Q, (P→Q)├ ?P 是有效的推理结构。 ?由真值表可见，只有第1行解释令 ?Q∧(P→Q)=T。而对应此解释， ?P =T 。 P Q?Q P→Q?Q ∧(P→Q)?P F F T T T T F T F T F T T F T F F F T T F T F F ?例： ?P, (P→Q)├?Q 不是有效的推理结构。 ?由其真值表可见，存在第2行解释令 ?P∧(P→Q)=T。而对应此解释，?Q =F 。 P Q?Q P→Q?Q ∧(P→Q)?P F F T T T T F T F T F T T F T F F F T T F T F F ?定义：逻辑推出/重言蕴涵 ?当 H├ C 有效时，可写成 H ?C，称 H 逻辑推出 C，或说 C 是 H 的逻辑推论（有效结论），或 H 重言蕴涵 C。 ?注意到 H ?C 描述了公式 H 和 C 之间的一种真值联系，但 ”?” 不是连接词，”H ?C” 也不是合式公式。 ?重言蕴涵的若干性质： ?若 A ?B，且 A 为重言式，则 B 也为重言式。 ?若 A ?B，且 B ?A，则 A?B。 ?若 A ?B，且 B ?C，则 A ?C。 ?若 A ?B，且 A ?C，则 A ?B∧C。 ?若 A ?C，且 B ?C，则 A∨B ?C。 ?性质的证明：从重言蕴涵的定义可以直接对上述性质进行验证。
命题逻辑命题自然推理
11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则 什么是自然推理 自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。因此，自然推理不是一种能行方法。 自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。 本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。 命题自然推理的基本规则 命题白然推理包括三条基本规则： 规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。 规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A ，则可以在该推导中引人A 。 规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A 能推出B ，则从该前提集能推出A →B 。 所谓A 重言地蕴涵B ，就是指A →B 是重言式；自然，所谓n A A ,,1Λ的合取重言地蕴涵B ，就是指→∧∧n A A Λ1B 是重言式。在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T 的运用，同样以这些常用重言式为基础。 不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。 下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。 [例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。如果人民遭受损失，改革就会失去人心 (u)。国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。因此，物价不会提高。 构造上述推理的自然推理如下： (1) { }1 ()r q p →∨ P (2) {}2 ()t s r ∨→ P (3) {}3 u t → P (4) {}4 u s ?∧? P (5) {}4 s ? T(4) (6) {}4 u ? T(4) (7) {}4,3 t ? T(3)（6） (8) {}4,3 t s ?∧? T(5)（7）