全等三角形压轴题分类解析

B A

O C

E

图

2

三角形全等综合题归类

一、 双等边三角形模型

1. （1）如图1，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图2，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

2、 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

3. 如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点

（1）△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD BE 是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

C B

O D

图

A E

4、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接

5. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ． （1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．

6.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．

C

F G

E D

B

A

H

C

G

A

E

D

B F

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）

考点1：利用垂直证明角相等

1、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12 cm，求BD的长．

2、如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 。

(1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3) 若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 说明理由。3. 直线CD经过BCA

∠的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFAα

∠=∠=∠．

（1）若直线CD经过BCA

∠的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若

90,90

BCAα

∠=∠=，则EF B E A F

-

（填“>”，“<”或“=”号）；

②如图2，若0180

B C A

<∠<，若使①中的结论仍然成立，则α

∠与BCA

∠应满足的关系；（2）如图3，若直线CD经过BCA

∠的外部，BCA

α

∠=∠，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

B

E

F D

D

B

C

E F

A

C

E

B

考点2：利用角相等证明垂直

1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：CD=BF ；(2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.

2、如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

3. 如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC . （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使E 点落在BC 边上，如图2，连接AE 和GC .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

.

A

B

C D

E

F

图9

4.如图1，ABC ?的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ?的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

（2）将EFP ?沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将EFP ?沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

三、 等腰三角形（中考重难点之一）

l

(1) A B (F) (E) C P A B E C F P Q (2) l A B E C

F P l

(3Q A B

C

D

E F

考点1：等腰三角形性质的应用

1. 如图，ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求

证：BE AF =，AE CF =．

2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，

取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ?的形状，并说明理由．

3、已知Rt ABC ?中，AC BC =，90C ∠=?，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=?，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证

1

2

DEF CEF ABC S S S ???+=．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ?，CEF S ?，ABC S ?又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．

F E

D

C

B

A

图1

A

E

C

F B

D

图2

A

E

C

F

B

D

图3

4、已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥

AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。(1) BF =AC (2) CE =1

2

BF (3)CE 与BC 的大小关系如何。

M

E

D C

B

A

考点2：等腰直角三角形（45度的联想）

1、如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F . ⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：

① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系并证明

2. 在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 的中点，DG ⊥AC 交AB 于点G.

（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ． ①求证：DG=DC

②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．

（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

3、 已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边与∠ACM 的平分线CF 交于点

F

图

G H

F

E

D

C

B

A

图

（1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时 ○1猜想AE 与EF 满足的数量关系是 . ○2连结点E

○3请证明你的上述猜想；

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和EF 有

怎样的数量关系，并说明你的理由？

四、 角平分线问题

1. 如图：E 在线段CD 上，EA 、EB 分别平分∠DAB 和∠CBA, ∠AEB=90°,设AD ＝x , BC ＝y ，且,x y 满足2

2

68250x y x y +--+= （1）求AD 和BC 的长；（2）你认为AD 和BC 还有什么关系？并验证你的结论； （3）你能求出AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.

2. 如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

图（1）

图（2）

A

C

B

D E

O

P A

M

N E B C D F A C E F B

D 图图图

3.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB ⊥于E ，并且1

()

2AE AB AD =+，则A B C A D C

∠+∠等于多少？

4. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .

（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.

五、中点问题

1. 在△ABC 中, D 为BC 的中点， 过D 点的直线GF 交AC 于F , 交AC 的平行线

BG 于点G 。DE GF ⊥, 并交AB 于点E . 连结EG .

（1）求证: BG CF =；

（2）请猜想BE CF +与EF 的大小关系, 并加以证明

E D G

F C B

A E

D

C

B

A

2、已知ABC ?中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ?的AB 边上的中线．求证2CD CE =

E

D

C

B A

3、以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90BAD CAE ∠=∠=?.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ； ⑵将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转θ?(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

图①

N

M E

D

C

B A

图②

N M

E

D

C

B

A

3、已知：如图，矩形ABCD 中点G 为BC 延长线上一点，连接,DG BH DG H ⊥于，且G H D H =，点,E F 分别在,AB BC 上，且//EF DG 。 （1）若3,2AD CG ==，求DG 的长；

（2）若GF AD BE =+，求证：

12EF DG =

。

4、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13+时，求正方形的边长.

B