离散数学等价关系
离散数学等价关系
一、离散数学是一门什么样的学科？
与数学的主流分支不同，离散数学看上去似乎没有一个确定的中心话题，内容很庞杂。我曾做过一个粗略的统计，离散数学的内容涉及大约43个左右大大小小不同的话题，从集合、函数、关系、命题逻辑、谓词逻辑，到算法、计数、数据结构、递归、图论、概率、数论、形式语言与自动机，布尔代数、向量与矩阵，线性规划、抽象代数，编码理论、信息论，博弈论、运筹学、理论计算机科学等，真是那句俗话，XXXX是个筐，什么都可以往里装。由于离散数学的内容包括面很广，一本通常意义上的教科书不可能全部涵盖，因此我们看到的教科书基本是上述内容集合的不同子集。
那么到底应当如何定义「离散数学」这门学科呢？如果我们使用集合的语言表达就是：
（1）离散数学= {x∈数学| 离散结构(x)}
其中，「离散数学」是「数学」的一个子集，「离散结构」是一个谓词，x代表任意数学学科。
现在来详细考察一下这个「离散数学」的定义式。我们的考察，从为什么会出现这样一个学科开始。
首先，离散数学和其它数学分支不同，它并没有开辟数学的新领域，而是在既有的数学领域划出一个范围，以「离散结构」这个性质为标准，若某个数学内容具有「离散结构」的属性就划入。
那为什么会出现「离散数学」这门学科呢？回答是——是因为计算机的出现！！！因为计算机只能处理「离散」对象。生活中「离散」对象和「连续」对象的例子是大米和水，前者是离散的，后者是连续的，因为米粒是可列举的、可数的，英语属于可数名词，中文可以用单位量词「粒」等表示，水是无法列举的、也是不可数的，因而在英语中属于不可数名词，中文则不可直接用单位量词表示。形象地说，
计算机可以处理像米粒这样的离散对象而无法直接处理像水这样的连续对象。
例如，我们在计算机屏幕上看到一条光滑的曲线。按照微积分定义，一条光滑曲线在某个区间一定是连续的，因而一定可以找到区间内任意一点的极限。换句话说，在这个区间内你是无法确定一个离散点的确切位置的，因为在这个区间内，所有的点都是无穷小，而这些无穷小的点的数量是无穷多。但是在计算机的屏幕上就不是那么回事了，一条曲线无论看上去多么精细、平滑，一定是由一组固定的、确定的、有限数量的「点」（像素）构成的，否则要是按照极限定义，那条曲线是永远画不出来的。也就是说，如果我们要在计算机上处理、表达连续性数据，必须先要把它「离散化」——把无穷小量变成有固定、确定的数值，把连续变成可列举的、把无穷数量的元素转换成有限数量的元素。仍然拿「水」作例子，我们需要把「水」这个连续对象变成像「水滴」这样的离散对象。
如果你是个程序员，那我们把上述的思想变成一个编程任务：在一个实数直角坐标系的闭区间[a, b]上定义一条处处连续的曲线，你的任
务是写一段代码，列举该区间内所有点的坐标值，亦即，列举下列集合的所有元素
（2）{(x, y)∈ R2| 2 ≤ x ≤ 3 ∧ y ∈ R }
你将如何做呢？当然是先确定一个循环，从实数2.0到实数3.0。然后找到递增的台阶。这时你遇到了麻烦，下一个点是什么？为什么？当你脑子里冒出「下一个」的念头时，你已经输了，因为根据极限定义连续曲线根本就没有「下一个」这个概念，因为我永远可以在你设定的「下一个」之前找到离当前数更近的「下一个」使得你定义的那个「下一个」不再是「下一个」。为什么你会有「下一个」这样的概念，是因为计算机给你「洗脑」了。
你编写这段代码的下一个困难是不知道这个循环什么时候结束，因为在[2,3]区间内，有无穷多个实数，换句话说，你的这个循环体永远不会结束。你的幸运在于你所给定的实数区间是闭区间，如果是开区间，你连从哪里开始到哪里结束都无法确定，理由一样，我永远可以找到一个比你设定的开始的那个实数更靠近2.0、比你设定的结束的那个
实数更靠近3.0的实数。这个任务是无法完成的，因为这不是一个「可计算的」任务。问题的根源，就在于「离散」与「连续」的矛盾——你试图用离散的手段解决连续的问题，用有穷的方法解决无穷的问题；其中「无穷」（无穷小量与无穷大的个数）这个概念是阻碍你解决这个问题的「元凶」。
我们知道，历史上许多数学悖论都是因「无穷」这样的概念而引发的，因此，希尔伯特曾试图在自己公理系统中排除「无穷」的概念，而代之以所谓“finitary”【注】的概念，亦即用一个有穷输入的概念代替「无穷」这个概念，以便在公理系统中彻底排除悖论的干扰，并将基于这个理念建立的数学公理体系称作“finitary mathematics”。这是将数学中连续对象离散化的首次理论尝试，也是「离散数学」这个概念产生的最基本动机。
上世纪1930年代，布尔巴基学派将整个数学理论进行了重构和形式化，并试图以「结构」这个概念统一所有的数学分支。自此，「什么是数学」的定义发生了变化，数学的本质就是对「结构」的研究，而「数」与「形」不过是「结构」概念下的两个实例而已。
到了现代由于计算机的出现，「离散」的概念从学术走向现实，从科学走向技术，数学对象的离散化成为刻不容缓的任务。数学家对这一新挑战的回答是：第一、将现有数学对象根据「结构」的概念以「离散结构」为标准一分为二，将具有「离散结构」的对象合称为「离散数学」；第二、将划分的另一半，不属于「离散结构」的数学对象离散化，由此而产生了一个新的数学分支——计算数学（国内又称「数值计算方法」）。这就是为什么计算机专业的重要课程之二就是离散数学与计算数学。
那么，什么样的数学对象是「离散结构」呢？，按照我们直观的理解，自然数、整数当然是，除此之外，函数、多项式、向量与矩阵等众多数学对象也是离散结构，个中缘由当你掌握了离散数学中的相关内容自然理解。
通过上面的讨论，我们就可以大致了解（1）的真正含义：在「结构」
这个概念下，我们对所有数学对象进行分类，属于离散结构的数学对象就划为「离散数学」。因此，「离散数学」并不是一个独立的数学分支，而是对数学对象「横切」、提取公因式所得的一个数学对象集合。这些数学对象本来分属于它们各自的数学分支，只是由于都具有「离散结构」这个属性才走到了一起。由此可知，「离散数学」是个开放集，任何具有「离散结构」属性的数学对象都可以归为「离散数学」。
有了上面讨论的铺垫，我们现在心里对「离散数学到底是什么」这个问题应当有了明确的答案——研究「离散结构」数学对象的学科。
那到底什么是「结构」？为什么所有数学学科都可以统一在「结构」这个概念下？这就是代数特别是抽象代数要讨论的问题。如果你浏览过一些数学著作、特别是国外出版的数学著作就会发现，许多严肃的作者都会把群、环、域放在其正文内容的前面，根本原因，是使读者建立「结构」的概念。因为只有理解了「结构」的概念，才能理解所有数学对象的共性。
因此从理论上说，学习离散数学应当从什么是数学结构开始，因为这个概念不仅是统御离散数学而且是理解所有数学内容的总纲。但是要理解什么是数学结构，就要先理解描述数学结构的语言——逻辑、集合、函数、关系。从数理逻辑的角度看，整个数学是由两个部分组成：数学知识的形式化表示——数学结构，与表达数学命题、数学证明的标准语言——一阶语言；而表达数学结构、一阶语言的基本构件就是集合、函数、关系、命题逻辑与谓词逻辑语言。用这些构件描述「结构」的基本框架是这样的：
1. 给出一个数学对象的【集合】，通常是【有限集合】，并描述这个【集合】的基本性质；
2. 定义在这个集合之上元素之间的【关系】，对这些【关系】的表达既可以使用集合意义上的有序「元组」(tuple) 也可以使用逻辑的「谓词」(predicate)；
3. 定义在这个集合上的【运算】以及参加【运算】的元素的个数（又称作「元」：ary），这就是函数；
4. 定义陈述这个结构公理、定义、定理的【语言】，这就是【一阶语言】；
因此我们从「离散数学」入门数理逻辑的中心概念就是：【结构】、【语言】，而学习的最基础内容是【逻辑】、【集合】、【关系】、【函数】。
数学的标准语言是一阶语言，而一阶语言本身，也可以当做具有离散结构的数学对象，这就是我们在任何一本离散数学教科书中看到的「命题逻辑」和「谓词逻辑」的真实面貌。换句话说，离散数学中的逻辑，不是研究推理论证，而是这个逻辑形式化后（弗雷格、罗素）的数学形式。这样的逻辑，我们关注的不是什么「思维能力的提高」，而是作为一种离散的数学结构、它与其它具有离散结构的数学对象的
异同，我们都可以用群环域的概念对这种结构进行研究。作为初学者，我们所学到的，不是什么推理论证，而是逻辑式的代数属性、性质和特征。因此，我们获得的知识，是纯形式化的知识，没有语义、只有句法、只有代数。学到这样的逻辑当然不完整，充其量就是和我们在中学所学的关于自然数、整数和有理数运算规律基本相同的另一种代数，只不过运算对象不再是数而是命题真值而已。
因此归纳而言，离散数学的内容，大致可以分为三类：
语言类、理论类、实例类。集合、函数、关系、逻辑属于语言类，因为这些内容相当数学元语言的基本构件——它们提供了描述数学对象的基本词汇和语法。群环域相当于理论归纳，我们通过这部分内容认识、熟悉、掌握关于「结构」——「数学结构」——「代数结构」的概念。由此理解为什么所有的数学对象，自己已知的、未知的，都可以用「结构」的概念归纳，形式化。在这个过程中，所有数学对象都可以用逻辑、集合、函数、关系这四个工具在「结构」的概念下得到统一，所有的数学对象、数学分支都不过是「结构」的概念下的具体实例。因此离散数学教科书中的其它内容，都是在讲「结
构」这个概念下各种不同的实例。对这部分你完全有取舍的自由，可根据你对需要进行选择。把上面这些归纳一下，离散数学的主要内容包括：
* 语言类：逻辑、集合、关系、函数
* 理论类：代数结构，群、环、域，同构、同态
* 实例类：剩余的其它内容。
不过需要注意的是，语言类的内容同样也是代数结构的实例，亦即，描述数学的语言，亦可以用被描述的数学描述，大部分数学悖论往往产生于这种【元语言】与【对象语言】的混乱中。