湖南省长沙市师大附中教育集团2020年“攀登杯”竞赛七年级学生学科素养综合评价数学试卷
2020年湖南师大附中教育集团初中七年级学生学科素养综合评价
数 学
总分：150分 时量：120分钟
第一试(100分)
一、选择题(每小题3分，共27分) 1.下列等式变形；①若a b =，则
a b x x =；②若a b x x =，则a b =；(③若47a b =，则74a b =；④若74
a b =则74a b =.其中一定正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF 是折痕，若32EFB ∠=，则FGC ∠为( )
A.32
B.48
C.52
D.64
3.不等式50x --<的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
4.设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是( )
A.▲▲▲▲
B.▲▲▲▲▲
C.●●▲
D.●▲▲▲
5.方程组2,3.x y M x y +=??+=?的解为1,
.x y N =??=?
则被遮盖的两个数M 、N 分别为( )
A.4，2
B.1，3
C.2，3
D.2，4
6.元旦那天，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节.圆桌半径为60cm ，每人离圆桌的距离均为10cm ，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.设每人向后挪动的距离为x ，根据题意，可列方程( )
A.
()()
260102601068
x ππ+++=
B.
()260260
86
x ππ+?=
C.()()2601062608πππ+?=+?
D.()()26082606x x ππ-?=+?
7.如图，点()6,0A -和点()0,4B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当
PC PD +最小时，点P 的坐标为( )
A.()3,0-
B.()
6,0-
C.3,02??-
???
D.5,02??
-
???
8.关于x 的方程
()1
6326
x x a x ?=--无解，则a 的值是( ) A.1
B.1-
C.1±
D.1a ≠
9.如图，45AOB ∠=，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，6MN =，OMN ?的面积为12，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为1P ，点P 关于OB 对称的点为2P ，当点P 在直线NM 上运动时，12OPP ?的面积最小值为( )
A.6
B.8
C.12
D.18
第7题图 第9题图 第11题图
二、填空题(共9小题，27分)
10.()2
24x -互为相反数，那么2x y -的平方根是________.
11.如图，ABC ACB ∠=∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC ?的外角EAC ∠、内角ABC ∠、外角ACF ∠.以下结论：①//AD BC ；②2ACB ADB ∠=∠，③90ADC ABD ∠=-∠；④1
2
BDC BAC ∠=∠.其中正确的结论有________.(填序号) 12.若5
33m x
y +与21n y y +是同类项，则()
2017
m n mn ++=________.
13.找出下列各个图形中数的规律，依此，a 的值为________.
14.我们知道下面的结论：若m n a a =(0a >，且1a ≠)，则m n =.利用这个结论解决下列问题：设23m =，
26n =，212p =.现给出m ，n ，p 三者之间的三个关系式：①2m p n +=，②23m n p +=-，③
22n mp -=.其中正确的是________.(填编号)
15.如图，把ABC ?沿EF 翻折，叠合后的图形如图.若60A ∠=，180∠=，则2∠的度数为________.
16.如果a ，b 为定值，关于x 的一次方程
2236
kx a x bk
+--=，
无论k 为何值时，它的解总是1，则2a b +=________.
17.如图，长方形ABCD 中，6AB CD ==，10BC AD ==，E 为CD 边上，且3CD CE =，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且2PQ =，当BP =________时，四边形APQE 的周长最小.
第15题图 第17题图
18.我们称使
2323
a b a b
++=
+成立的一对数a 、b 为“相伴数对”，记为(),a b .如：当0a b ==时，等式成立，记为()0,0，若(),3a 是“相伴数对”，则a 的值为________. 三、解答题(本大题共4小题，共46分，10，12，12，12分) 19.如图，在33?的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等.
(1)求x ，y 的值；
(2)在备用图中完成此方阵图.
20.某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A 、B 、
C 三种不同价格的彩票，进价分别是A 彩票每张1.5元，B 彩票每张2元，C 彩票每张2.5元.
(1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
(2)若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 型彩票一张获手续费0.5元。在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
(3)若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案.
0,b且
21.如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(),0a，点C的坐标为()
a、b满足460
a b
-+-=，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着----的线路移动.
O C B A O
(Ⅰ)点B的坐标为________；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为________；
(Ⅱ)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间；
?的面积是10时，求点P移动的时间.
(Ⅲ)在移动过程中，当OBP
22.如图，//MN PQ ，A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，且60BAN ∠=，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是/a 秒，射线BP 转动的速度是/b 秒，且a ，b 满足方程组235,
37.
a b a b -=??
+=?
(1)求a ，b 的值.
(2)若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？
(3)若射线AN 绕点A 逆时针先转动6秒，射线BP 才开始绕点B 顺时针旋转，在射线BP 到达BA 之前，射线AN 再转动多少秒，射线AN 和射线BP 互相平行？
备用图
第二试(50分)
一、填空题(每小题7分，5小题，共35分)
1.不等式组()5131,121,3
x x x x ?->+?
?+≥-??
，并求出它的整数解为________.
2.如图，在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，AE BC ⊥于点E .若80C ∠=，50B ∠=，则DAE ∠的度数为________.
3.小方手里有一副扑克，他拆开包装后发现扑克是按小王，大王，黑桃A 、2、3、4、5、6、7、8、9、
10、J 、Q 、K ，红桃A 、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J 、Q 、K ，梅花…，方块…的顺序
排列.现在他开始丢掉第1，2张牌，将第3张牌放最后，再丢掉第4，5张牌，将第6张牌放最后这样一直操作下去直到手里剩下最后一张牌，那么这张牌是________.
4.如图，在直角坐标系中，已知点()3,0A -，()0,4B ，对OAB ?连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)…，则三角形()2019的直角顶点的坐标为________.
第2题图 第4题图
5.设n 是正整数，且是15的倍数，15n m =，已知m 是完全平方数，120n ?是完全立方数，36n ?是完全5次方数，则n 的最小值是________. 二、解答题(本大题共1小题，共15分)
6.有一项工程，甲单独做a 天完成，乙单独做b 天完成(a ，b 是整数)现在由甲先做4天，余下的由甲，乙合作3天完成，求a ，b .
2019-2020学年湖南师大附中教育集团“攀登杯”七年级（下）竞赛数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列等式变形：①若a＝b，则；②若，则a＝b；③若4a＝7b，则；④若，则7a＝4b．其中一定正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据等式的性质对四个式子进行逐一判断即可．
【解答】解：①当x＝0时，无意义，故此小题错误；
②符合等式的性质2，即等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，故此小题正确；
③当a、b不等于0时，该等式才成立，故此小题错误；
④若，则4a＝7b，故此小题错误．
故选：A．
2．把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠FGC为（）
A．32°B．48°C．52°D．64°
【分析】由折叠EF得∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，根据直线AC'∥BD'得∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，最后由对顶角的性质求得∠FGC＝64°．
【解答】解：如图所示：
∵EF是折痕
∴∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，
∵AC'∥BD'，
∴∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，
又∵∠EFB＝32°，
∴∠1＝32°，
∴∠3＝64°，
又∵∠FGC＝∠3，
∴∠FGC＝64°，
故选：D．
3．不等式﹣x﹣5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式﹣x﹣5≤0的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，﹣x≤5，
系数化为1得，x≥﹣5，
在数轴上表示为：
故选：B．
4．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．
【解答】解：根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
5．方程组的解为，则被遮盖的两个数M、N分别为（）
A．4，2B．1，3C．2，3D．2，4
【分析】本题主要将x＝1代入x+y＝3得出y和N，再将x，y的值代入方程组即可．
【解答】解：将x＝1代入x+y＝3得
y＝2，
∵y＝N
∴N＝2，
将y＝2，x＝1代入2x+y＝M得
M＝4．
故选：A．
6．元旦那天，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节．圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（）
A．
B．
C．2π（60+10）×6＝2π（60+π）×8
D．2π（60﹣x）×8＝2π（60+x）×6
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：8人之间的距离＝原来6人之间的距离，根据等量关系列方程即可．
【解答】解：设每人向后挪动的距离为x，则这8个人之间的距离是：，6人之间的距离是：，
根据等量关系列方程得：＝．
故选：A．
7．如图，点A（﹣6，0）和点B（0，4），点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为（）
A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．D．
【分析】由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．【解答】解：如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，
∵点A（﹣6，0），点B（0，4），点O（0，0），点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
∴，解得，
∴直线CD′的解析式为y＝﹣x﹣2．
令y＝﹣x﹣2中y＝0，则0＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，
∴点P的坐标为（﹣，0），
故选：C．
8．关于x的方程无解，则a的值是（）
A．1B．﹣1C．±1D．a≠1
【分析】若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．
【解答】解：，
原式可化为：（2a﹣2）x﹣6＝0，
∵方程无解，
∴2a﹣2＝0，
解得a＝1．
故选：A．
9．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝6，△OMN的面积为12，P是直线MN 上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为（）
A．6B．8C．12D．18
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．
【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．
＝?MN?OH＝12，MN＝6，
∵S
△OMN
∴OH＝4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2
∵∠AOB＝45°，
∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，
∴△OP1P2是等腰直角三角形，
∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴△OP1P2的面积的最小值＝×4×4＝8，
故选：B．
二．填空题（共9小题）
10．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是±1．
【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵与（2x﹣4）2互为相反数，
∴y﹣3＝0，2x﹣4＝0，
解得：y＝3，x＝2，
∴2x﹣y＝1，
∴2x﹣y的平方根是：±1．
故答案为：±1．
11．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABC；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有①②④（填序号）．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°﹣（180°﹣∠ABC）
＝90°﹣∠ABC，∴③错误；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠BAC＝2∠BDC，∴④正确；
故答案为：①②④
12．若3x m+5y3与x2y n+1是同类项，则（m+n）2017+mn＝﹣7．
【分析】依据相同字母的指数相同列出关于m、n的方程，求得m、n的值，然后代入计算即可．【解答】解：3x m+5y3与x2y n+1是同类项，
∴m+5＝2，n+1＝3，
∴m＝﹣3，n＝2．
∴m+n＝﹣1．
∴（m+n）2017+mn＝﹣1+（﹣3）×2＝﹣7．
故答案为：﹣7．
13．找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为226．
【分析】由0+2＝1×2，2+10＝3×4，4+26＝5×6，6+50＝7×8，得出规律：左下和右下的两数和等于另外两数的积，即可得出a的值．
【解答】解：根据题意得出规律：14+a＝15×16，
解得：a＝226．
故答案为：226．
14．我们知道下面的结论：若a m＝a n（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：设2m ＝3，2n＝6，2p＝12．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①m+p＝2n，②m+n＝2p﹣3，③n2﹣mp＝2．其中正确的是①②．（填编号）
【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．
【解答】解：∵2n＝6＝2×3＝2×2m＝21+m，
∵2p＝12＝22×3＝22+m，
∴p＝2+m，
∴p＝n+1，
①m+p＝n﹣1+n+1＝2n，故此结论正确；
②m+n＝p﹣2+p﹣1＝2p﹣3，故此结论正确；
③n2﹣mp＝（1+m）2﹣m（2+m）
＝1+m2+2m﹣2m﹣m2
＝1，故此结论错误；
故正确的有：①②．
故答案为：①②．
15．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A＝60°，∠1＝80°，则∠2的度数为40°．
【分析】先根据折叠的性质得到∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，再根据邻补角的定义得到180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，则可计算出∠AEF＝50°，再根据三角形内角和定理计算出∠AFE＝70°，然后把∠AFE＝70°代入180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE即可得到∠2的度数．【解答】解：如图，∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∴∠AEF＝（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴180°﹣70＝∠2+70°，
∴∠2＝40°．
故答案为40°．
16．如果a，b为定值，关于x的一次方程﹣＝2，无论k为何值时，它的解总是1，则a+2b ＝．
【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：将x＝1代入方程﹣＝2，
∴，
∴4k+2a﹣1+bk＝12，
∴4k+bk＝13﹣2a，
∴k（4+b）＝13﹣2a，
由题意可知：b+4＝0，13﹣2a＝0，
∴a＝，b＝﹣4，
∴a+2b＝．
故答案为：
17．如图，长方形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，E在CD边上，且CD＝3CE，点P、Q为BC
边上两个动点，且线段PQ＝2，当BP＝6时，四边形APQE的周长最小．
【分析】四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点A作AP ∥FQ，过G作GH∥BC交DC延长线于点H，根据题意可得＝，即可求出CQ，则BP＝BC﹣PQ﹣CQ即可求解；
【解答】解：∵四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；
在AD上截取AF＝PQ＝2，作点F关于BC的对称点G连接GE与BC交于点Q，过点A作AP∥FQ，过G作GH∥BC交CD于点H，
∴GQ＝FQ＝AP，
∵AB＝6，BC＝10，PQ＝2，CD＝3CE，
∴EC＝2，CH＝6，GH＝8，
∴EH＝8，
∴＝，
∴＝，