组合数学与图论复习题及参考答案

组合数学与图论复习题及答案

1. Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then

there are always two which differ by at most 2.

从{1,2, … ,2n} 中选出n+1 个数，在这n+1 个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。

任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到2n 之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2°L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k 大的另一个数。

2. Showthat for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or

else difference, is divisible 100.

设52个整数a1，比，…，a52被100除的余数分别是「订2,…,r 52，而任意一个数被100除余数为0，1, 2,…，99, 一共100个。他们可以分为51个类

{0},{1,99},{2,98}, …,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将

r1,r 2,…,r 52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri = rj，要么有ri + rj = 100，也就是说ai —aj|1OO 或者ai + aj|1OO。

3. 从1，2，3,…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互

质。

鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质

4. Prove that Ramsey number R(p,q) < R(p,q-1)+R(p-1,q).

令N= R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。

在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q) —2+ 1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p

个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)

W R(p,q-1)+R(p-1,q)

5. There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are

acqua in ted, or there are 4 each pair of whom are un acqua in ted 。

从10人中随意选一个人p, F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F

中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识, 则加上p有

3人相识，也满足题设。

若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。

6. In how manyways can six menand six ladies be seated at round table if the

men and ladies to sit in alter nate seats

6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。

7. In how manyways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit n

ext to A What if B only refuses to sit on A right

A. 15个人进行圆排列，减去ab组成一个元素的14人的圆排列，然后减去

ba组成一个元素的14人的圆排列。

B. 15个人进行圆排列，减去ab组成一个元素的14人的圆排列。

8. Determine the number of 10-combinations of the multiset

S={ *a,,5*c,7*d}。

(1+x+x2+x3+???)( 1+x+x 2+…+x4) ( 1+x+x 2+…+x5) ( 1+x+x 2+…+x7)展开

9. 把n个有编号的球放入m个有编号的盒子中，不允许有空盒子，有多少种

放法

先假设，盒子没有编号，然后乘上组合与排列的关系：m!* S2 (n, m) 10. 证明在n (n 2)个人中总有两个人，他们在这群人中所认识的人数目相同。

当n=2时，如果两个人相互认识，则每个人认识的人只有一个；如果不认

识，则每个人认识的人为0个。

当n>2时，设X i (x=1,2,…,n)表示，第i个人认识的人的数目。(每个人最多

只能认识n-1个人。)

A. 如果每个人都有熟人

那么由鸽子洞原理知道至少有两个人i和j认识的人数相同即X i二

X j

B. 如果只有一个人没有认识的人

那么对于剩下的n—1个人来说能认识的人对多只有n —2个，由鸽

子洞原理知道，这n-1个人中至少有两个人i和j认识的人数一样即X i

= X j

C. 如果至少有两个人都没有熟人，则满足题设。

11. 一个剧团演出11周，为保证收入和不至于太累，规定每天至少演出一场，

每周不超过12场。证明存在连续的若干天，恰好演出21场。

设a1为第一天该剧团的演出的次数，a i表示前i天一共的演出次数。可知道

a i是单调递增的。且有a1>=1,a77<=132。于是有a +

21(i=1,2,…,77)，也是单调递增的。而a77+ 21<=153则有154个在1 到153之间，所以由鸽子洞原理知道，至少存在两个数a i和a j有a = a j

+ 21 即a i-a j = 21

12. 在边长为1的正三角形中任选5个点，证明必有两个点的距离不超过

1/2。

如上图所示，将这个正三角形分割成4个小的正三角形，有每个小正三角

形的边长为1/2。将5个点放入这4个小三角形内，由鸽子洞原理有一个三

角形内部有2个点，因为小三角形的边长为1/2，所以这两个点的最大距离

为1/2。

13. 设a i，a2，a s，，a n是1，2，3，，n的一个排列，证明当n是奇数时，

乘积(a1-1 ) (a2-2) (a s-3) (a n-n )是偶数。

假设，当n为奇数时A=(a1-1 ) (a2-2 ) (a s-3) (&初)是奇数，贝U:

(a i -i )均为奇数，否则A为偶数。也就是说当i为奇数时a i必须为偶数；因

为n为奇数，所以从1到n的偶数数目为(n-1 ) /2，奇数数目为(n+1) /2，所以由鸽子洞原理可以知道当i为奇数时，至少有一个(a -i )为

偶数，所以A=( a1-1 ) (a2-2 ) (a3-3) (a n-n )是奇数。

14. 有100个人的舞会，每个人的舞伴数都是偶数，证明必有3个人有相同的

舞伴数。

由于每个人的舞伴数是偶数个，所以可能有的舞伴数为0,2, 4, 6, 8,…,

98。共有50种可能。

A.如果每个人都有舞伴，可能的舞伴数为2, 4,…，98。共49种可能,

相当于把100个球放入49个篮子中，由鸽子洞原理知道至少有一个篮子有3个球以上，也就是说有3个人有相同的舞伴数。

B.如果只有一个人没有舞伴，剩下的人可能的舞伴数为2, 4,…，98 共

49种可能，相当于把99个球放入49个篮子中，由鸽子洞原理知道至少有

一个篮子有3个球，也就是说有3个人有相同的舞伴数。

C?如果有两个人没有舞伴，剩下的人可能的舞伴数为2, 4, 6,…，96 共

48中可能。相当于把98个球放入48个篮子中，由鸽子洞原理知道至少6

有一个篮子有3个球以上，也就是说有3个人有相同的舞伴数。

D. 如果有至少3个人没有舞伴，则有3个人的舞伴数为0

15. N个质点排成一列，涂以红、白、黑三种色，每点涂一色，要求同色的点为偶

数，有多少种

(1+x2+x4+…)3=( ^y)3= C(3 r 1, r)x2r

1 x r 0

16. 有两堆石块，每一石块的重量都小于

nkg(Z)，每一堆中的石块重量互不相同(规定石块重量为整数)。证明，如果两堆石块的总数不少于n,那么总

可以从两堆中分别选出一块，使两者的总重量是n kg。

石块按重量可以分成这样几类：

{1,n-1},{2,n-2},{3,n-3}, …,{ n/2 , n/2 }，共n/2 个集合。

假定第一堆石头有p块，第二堆有q块，由题意有p+q>=no两堆石头关系

等价，所以下面以第一堆为参照。