材料力学第7章应力状态和强度理论习题解
第七章应力状态和强度理论习题解
[习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。
[习题7-1（a）]
解：A点处于单向压应力状态。
2
2
4
4
1
2
d
F
d
F
F
A
N
Aπ
π
σ-
=
-
=
=
[习题7-1（b）]
解：A点处于纯剪切应力状态。
3
3
16
16
1d
T
d
T
W
T
P
Aπ
π
τ-
=
=
=
MPa
mm
mm
N
618
.
79
80
14
.3
10
8
16
3
3
6
=
?
?
?
?
=
[习题7-1（b）]
解：A点处于纯剪切应力状态。
=
∑A M
4.0
2
8.0
2.1=
?
-
-
?
B
R
)
(
333
.1kN
R
B
=
A
σ
A
τ
)(333.1kN R Q B A -=-=
MPa mm
N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=?
=τ
B 点处于平面应力状态
MPa
mm mm mm N I y M z
B B 083.21204012
130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm
N b I QS z z
B 312.0401204012
145)3040(13334
33
*-=??????-==
τ
[习题7-1（d ）]
解：A 点处于平面应力状态
MPa mm mm N W M z
A A 064.502014.332
1103.39333=????==σ
MPa mm mm N W T P
A 064.502014.316
1106.78333
=????==
τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0
45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A
F
x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2
0x y
x τσστ+-=
A F 20
45=
τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，
15020
45≤=
A
F
τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002
2
==??==
[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0
60
~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3
，且这一拉杆
的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F ，试问α角的值应取多大？ 解：A
F
x =σ；0=y σ；0=x τ ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x y
x y
x --+
+=
][22cos 12cos 22σαασα≤+=+=
A F A F A F ][22cos 1σα
≤+A F
][cos 2σα≤A
F
α
σ2cos ][A
F ≤
α
σ2max,cos ][A
F N =
ατασστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
][43
][2sin 2στατα=≤=
A F ασ2sin ][5.1A
F ≤
α
σ2sin ][5.1max,A
F T =
α（0
）
0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60
N F m ax,（A ][σ） 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000 T F m ax,（A ][σ）
47.754 4.386 2.334 1.732 1.562
1.523 1.523 1.732
最大荷载随角度变化曲线
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.0000
10
20
304050
60
斜面倾角(度)
Fmax,N,Fmax,T
Fmax,N
Fmax,T
由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当0
60=α时，杆能承受最大荷载，该荷载为：
A F ][732.1max σ=
[习题7-4] 若上题中拉杆胶合缝的许用应力][5.0][στ=，而MPa 7][=τ，MPa 14][=σ，则α值应取多大？若杆的横截面面积为2
1000mm ，试确定其最大许可荷载。 解： 由上题计算得：α
σ2
max,cos ][A
F N = ατασστα2cos 2sin 2
x y
x +-=
][5.0][2sin 2στατα=≤=
A F
α
σ2sin ][A
F ≤
σ][max,A
F T =
由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当0
565051.26=α时，杆能承受最大荷载，
该荷载为： kN N mm mm N A F 5.17175001000/1425.1][25.12
2max ==??==σ
[习题7-5] 试根据相应的应力圆上的关系，写出图示单元体任一斜面n m -上正应力及切应力的计算公式。设截面n m -的法线与x 轴成α角如图所示（作图时可设||||x y σσ>）。 解：坐标面应力：X （x σ，0）；Y （y σ，0）
设n m -斜面的应力为M （ασ，ατ）。X 、Y 点 作出如图所示的应力圆。
由图中的几何关系可知：
)(11N O O O NO --=-=ασ
)2cos 2
2
|(|ασσσσσy
x y
x x --
-+
-=
)2cos 22
(ασσσσσy
x y
x x --
-+
--=
)2cos 2
22(
ασσσσσy
x y
x x --
-+--=
ασσσσ2cos 2
2
y
x y
x -+
+=
ασσατα2sin 2
2sin y
x OM -=
=
[习题7-6] 某建筑物地基中的一单元体如图所示，MPa y 2.0-=σ（压应力），
MPa x 05.0-=σ（压应力）。试用应力圆求法线与x 轴成顺时针060夹角且垂直于纸面的
斜面上的正应力及切应力，并利用习题7-5中得到的公式进行校核。 解：坐标面应力：X （-0.05，0）；Y （-0.2，0）
060-=α。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 05.0。 按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 1625.00
60-=-σ
MPa 065.00
60-=-τ
按习题7-5得到的公式计算如下：
ασσσσσα2cos 2
2
y
x y
x -+
+=
MPa 1625.0)120
cos(2
2
.005.022.005.00600
-=-+-+--=
-σ
ασστα2sin 2
y
x -=
MPa 065.0)120sin(2
2
.005.00600
-=-+-=
-τ
作图法（应力圆法）与解析法（公式法）的结果一致。
[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m 72.0的截面上，在顶面以下mm 40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x 轴之间的夹角。
解：（1）求计算点的正应力与切应力
MPa mm
mm
mm N bh My I My z 55.1016080401072.01012124
363=??????===σ MPa mm mm mm N b
I QS z z 88.0801608012
160)4080(1010433
3*-=???????-==
τ （2）写出坐标面应力 X （10.55，-0.88）
Y （0，0.88）
(3) 作应力圆求最大与最小主应力，
并求最大主应力与x 轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按
比例尺量得：
MPa 66.101=σ MPa 06.03-=σ 0075.4=α
[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；
（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。
[习题7-8（a ）]
解：坐标面应力：X （20，0）；Y （-40，0）0
60=α。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 10。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 250
120-=σ， MPa 260
120=τ；MPa 201=σ，MPa 403-=σ；000=α。
[习题7-8（b ）]
解：坐标面应力：X （0，30）；Y （0，-30）0
30=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 10。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 260
60-=σ ，MPa 150
60=τ；MPa 301=σ，MPa 303-=σ； 0045-=α。
[习题7-8（c ）]
解：坐标面应力：X （-50，0）；Y （-50，0）0
30=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 500
60-=σ ，00
60=τ；MPa 502-=σ，MPa 503-=σ。
单元体图 应力圆（O.Mohr 圆） 主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
1
σ3
σ
[习题7-8（d ）]
解：坐标面应力：X （0，-50）；Y （-20，50）0
0=α。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 400
45=σ ，100
45=τ；MPa 411=σ,MPa 02=σ，MPa 613-=σ；'003539=α。
[习题7-9] 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）主应力的数值；
（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 [习题7-9（a ）]
解：坐标面应力：X （130，70）；Y （0，-70）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 5.1601=σ,MPa 02=σ，MPa 5.303-=σ；'005623-=α。
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
2σ
3
σ
[习题7-9（b ）]
解：坐标面应力：X （-140，-80）；Y （0，80）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 40。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 0.361=σ,MPa 02=σ，MPa 1763-=σ；006.65=α。
[习题7-9（c ）]
解：坐标面应力：X （-20，-10）；Y （-50，10）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 10。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 01=σ,MPa 25.162-=σ，MPa 75.533-=σ；001.16=α。
[习题7-9（d ）]
解：坐标面应力：X （80，30）；Y （160，-30）。根据以上数据作出如图所示的应
力圆。图中比例尺为cm 1代表MPa 20。按比例尺量得斜面的应力为：
MPa 1701=σ,MPa 702=σ，MPa 03=σ；006.71-=α。
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
单元体图
应力圆（O.Mohr 圆）
主单元体图
[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角α值。
平面应力状态下的两斜面应力
应力圆
解：两斜面上的坐标面应力为：
A （38，28），
B （114，-48）
由以上上两点作出的直线AB 是应力圆上的一条弦， 如图所示。作AB 的垂直平分线交水平坐标轴于C
点，则C 为应力圆的圆心。设圆心坐标为C （0,x ） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：
2222)480()114()280()38(++-=-+-x x
解以上方程得：86=x 。即圆心坐标为C （86，0） 应力圆的半径：
570.55)280()3886(22=-+-=r
主应力为：
MPa r x 57.14157.55861=+=+=σ
MPa r x 43.3057.55862=-=-=σ 03=σ
（2）主方向角
（上斜面A 与中间主应力平面之间的夹角）
（上斜面A 与最大主应力平面之间的夹角）
（3）两截面间夹角：
[习题7-11] 某点处的应力如图所示，设αατσ,及y σ值为已知，试考虑如何根据已知数据直接作出应力圆。 解：
0=∑X
0sin cos =+-ατασσααx (1)
0=∑Y
0cos sin =--ατασσααy (2)
(1)、（2）联立，可解得x σ和α。
至此，三个面的应力均为已知：X （x σ，0），Y （y σ，0）（x σ，y σ均为负值）；
α（αατσ,）。由X ，Y 面的应力就可以作出应力圆。
[习题7-12] 一焊接钢板梁的尺寸及受力情况如图所示，梁的自重略去不计。试示m m -上
c b a ,,三点处的主应力。
解：（1）求
a 点的主应力
)(7.3314666620011012
1
2201201211214333mm bh I z =??-??==∑
)(3336.301333110
7.331466663max mm y I W z z ===
MPa mm mm
N W M z a 390.2123336.301333104.01603
6=???==σ
因a 点处于单向拉伸状态，故MPa 39.2121==ασσ，032==σσ。 （2）求b 点的主应力
MPa mm mm
mm N I My z b 081.1937.33146666100104.01603
6=????==σ
在m m -的左邻截面上，kN
Q 160=
MPa mm
mm mm N d I QS z z b 821.60107.33146666105)10120(101604
3
3*=?????==τ 即坐标面应力为X （193.081,60.821）,Y(0,-60.821). 2
214)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+-+
+=
MPa 64.210821.604081.1932
1
2081.19322=?++=
02=σ
2
234)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+--
+= MPa 56.17821.604081.1932
1
2081.19322-=?+-=
（3）求c 点的主应力
0=c σ
MPa mm
mm mm N d I QS z z c 956.84107.33146666)501001*********(101604
3
3*=???+????==τ 即坐标面应力为X （0,84.956）,Y(0,-84.956). 2
214)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+-+
+=
MPa 956.84956.8442
1
2=?=
02=σ
2
234)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+--
+=
MPa 956.84956.8442
1
2-=?-
= [习题7-13] 在一块钢板上先画上直径mm d 300=的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性模量GPa E 206=，28.0=ν。
解：坐标面应力X （70，21），Y （14，-21）
所画的圆变成椭圆，其中
（长轴） （短轴）
[习题7-14] 已知一受力构件表面上某点处的MPa x 80=σ，MPa y 160-=σ，0=z σ，单元体的三个面上都没有切应力。试求该点处的最大正应力和最大切应力。 解：最大正应力为MPa x 801==σσ。最小正应力是MPa y 1603-==σσ。
最大切应力是)(1202
)
160(802
3
1max MPa =--=
-=σστ
[习题7-15] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。
[习题7-15（a）]
解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）
由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交轴得圆心C（50，0）
应力圆半径：
单元体图应力圆
[习题7-15（b）]
解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）
由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）应力圆半径：
[习题7-15（c）]
解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）
由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得
单元体图应力圆
单元体图应力圆
[习题7-16] 已知一点处应力状态的应力圆如图所示。试用单元体示出该点处的应力状态，并在该单元体上绘出应力圆上A点所代表的截面。
[习题7-16(a)]
解：该点处于三向应力状态：MPa
70
1
=
σ，MPa
50
2
=
σ，MPa
10
3
=
σ。A点所
代表的截面平行于
1
σ的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。
[习题7-16(b)]
解：该点处于三向应力状态：MPa
50
1
=
σ，MPa
10
2
=
σ，MPa
10
3
-
=
σ。A点所
代表的截面平行于
3
σ的方向。据此，可画出如图所示的单元体图和A截的位置。
应力圆主单元体图与A截面的位置
1
σ
2
σ
3
σ
A
[习题7-17] 有一厚度为mm 6的钢板，在两个垂直方向受拉，拉应力分别为150MPa 及55MPa 。钢材的弹性常数为GPa E 210=，25.0=ν。试求钢板厚度的减小值。 解：4
3
1044.2)55150(1021025.0)(-?-=+?=
+-
=MPa MPa MPa
E
y x z σσν
ε 钢板厚度的减小值为：
)(10464.11044.26||34mm z --?=??==?εδδ
[习题7-18] 边长为mm 20的钢立方体置于钢模中，在顶面上均匀地受力kN F 14=作用。已知3.0=ν，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。
解：
（1）
（2）
联解式（1），（2）得
应力圆
主单元体图与A 截面的位置
1σ
2σ
3σ
A
030
[习题7-19] 在矩形截面钢拉伸试样的轴向拉力kN F 20=时，测得试样中段B 点处与其轴线成0
30方向的线应变为4301025.30-?=ε。已知材料的弹性模量GPa E 210=，
试求泊松比ν。
解：平面应力状态下的广义虎克定律)(1
y x x E
νσσε-=适用于任意两互相垂直的y x ,方向，故有：)(1
0006030
30--=
νσσεE 。钢杆处于单向拉应力状态： 拉杆横截面上的正应力 MPa 10010
2010203
=??=σ
斜截面上的应力 ()
MPa 7530cos 2
30=σ=σοο
(
)()
MPa 2560cos 2
60=-=-οοσσ
由广义虎克定律 []
οοο6030
301
-νσ-σ=
εE []25751021011025.33
4?ν-?=
?-
解得： 27.0=ν
[习题7-20] D =120mm ，d =80mm 的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如图所示。在轴的中部表面A 点处，测得与其母线成 方向的线应变为
。已知材料的
弹性常数
，
，试求扭转力偶矩
。
解：
方向如图
[习题7-21] 在受集中力偶e M 作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k 点处沿0
45方向的线应变为045ε。已知材料的弹性常数ν,E 和梁的横截面及长度尺寸l d a h b ,,,,。试求集中力偶矩e M 。
解：支座反力： l M R e A =
（↑）；l
M R e
B = （↓） K 截面的弯矩与剪力： l aM a R M e A k =
=；l
M R Q e
A k == K 点的正应力与切应力： 0=σ；Al
M A Q e
k 235.1=?
=τ 故坐标面应力为：X （τ，0），Y （0，-τ）
Al
M e x y x y
z 234)(212
221==+-+
+=
ττσσσσσ
02=σ
Al
M e x y x y
z 234)(212
2
23-=-=+--
+=
ττσσσσσ ∞=--=
y
x x
σστα22tan 0
0045=α （最大正应力1σ的方向与x 正向的夹角），故
)(1
311450
νσσεε-=
=E
)1(23)]23(23[(10
45ννε+=--=
EAl M Al M Al M E e e e
004545)
1(32)
1(32εννε+=
+=
Ebhl
EAl M e
[习题7-22] 一直径为mm 25的实心钢球承受静水压力，压强为MPa 14。设钢球的GPa E 210=，3.0=ν。试问其体积减小多少？
解：体积应变
=
[习题7-23] 已知图示单元体材料的弹性常数GPa E 200=，3.0=ν。试求该单元体的形状改变能密度。
解：坐标面应力：X （70，-40），Y （30，40），Z （50，0） 在XY 面内，求出最大与最小应力：
2
2max 4)(2
12
x y x y
z τσσσσσ+-+
+=
第7章-应力状态和强度理论03.
西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破 坏有两种形式： 塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建 互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态： 图示纯剪应力狀态，材料的破 坏有两 种形式： 塑性屈服：极限应力为 腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件:
前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如 图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向 应力状态，有： 「niu 依照切应力强度条件，有： 4）材料破坏的形式 常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型： 例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型： 例如：低碳钢：拉伸、扭转寻； 铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有： 旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V； 下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论. 作出图中AB杆的受力图。 A处固定铰支座 B处可动铰支座 作出图中AB、AC杆及整体的受力图。 B、C光滑面约束 A处铰链约束 DE柔性约束 作图示物系中各物体及整体的受力图。 AB杆：二力杆 E处固定端 C处铰链约束 （1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。 （2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。 3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。 4、力的表示方法： （1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！） （2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。 5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。 6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。 约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。 约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处 7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。 8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。 (1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。 (2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。（） 9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。 （1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。 （2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。（） 10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。 约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。（）11、固定铰支座 （1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。 土体应力计算 补充一、力学基础知识 材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。 二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性 三、基本假设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。） 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设 四、杆件变形的基本形式 五、内力?截面法?轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。 （1）截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 截面法 7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ 7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()113 1 1E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ= +V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60 方向上的正应变4 60101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN 第一章 包申格效应：指原先经过少量塑性变形，卸载后同向加载，弹性极限（σP）或屈服强度（σS）增加；反向加载时弹性极限（σP）或屈服强度（σS）降低的现象。 解理断裂：沿一定的晶体学平面产生的快速穿晶断裂。晶体学平面－－解理面，一般是低指数，表面能低的晶面。 解理面：在解理断裂中具有低指数，表面能低的晶体学平面。 韧脆转变：材料力学性能从韧性状态转变到脆性状态的现象（冲击吸收功明显下降，断裂机理由微孔聚集型转变微穿晶断裂，断口特征由纤维状转变为结晶状）。 静力韧度：材料在静拉伸时单位体积材料从变形到断裂所消耗的功叫做静力韧度。是一个强度与塑性的综合指标，是表示静载下材料强度与塑性的最佳配合。 可以从河流花样的反“河流”方向去寻找裂纹源。 解理断裂是典型的脆性断裂的代表，微孔聚集断裂是典型的塑性断裂。 5.影响屈服强度的因素 与以下三个方面相联系的因素都会影响到屈服强度 位错增值和运动 晶粒、晶界、第二相等 外界影响位错运动的因素 主要从内因和外因两个方面考虑 （一）影响屈服强度的内因素 1．金属本性和晶格类型（结合键、晶体结构） 单晶的屈服强度从理论上说是使位错开始运动的临界切应力，其值与位错运动所受到的阻力（晶格阻力－－派拉力、位错运动交互作用产生的阻力）决定。 派拉力： 位错交互作用力 （a是与晶体本性、位错结构分布相关的比例系数，L是位错间距。）2．晶粒大小和亚结构 晶粒小→晶界多（阻碍位错运动）→位错塞积→提供应力→位错开动→产生宏观塑性变形。 晶粒减小将增加位错运动阻碍的数目，减小晶粒内位错塞积群的长度，使屈服强度降低（细晶强化）。 屈服强度与晶粒大小的关系： 霍尔－派奇（Hall-Petch) σs= σi+kyd-1/2 3．溶质元素 加入溶质原子→（间隙或置换型）固溶体→（溶质原子与溶剂原子半径不一样）产生晶格畸变→产生畸变应力场→与位错应力场交互运动→使位错受阻→提高屈服强度（固溶强化）。 4．第二相（弥散强化，沉淀强化） 不可变形第二相 材料力学应力状态 关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。 特别还要记住，这个公式里的夹角α是斜截面的外法线与σx 作用平 σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取； 材料力学 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中 第一节 拉压杆的内力、应力分析 1、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应 变沿横截面均匀分布N F A σ= 2、 材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：const ε=即变形关系②物理方程：E σε=即应力应变 关系③静力学方程：N A F σ?=即内力构成关系 3、 N F A σ= 适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域 4、 圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的 轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸 5、 拉压杆斜截面上的应力：0c o s /c o s N N F F p A A αασαα= ==；2 0cos cos p αασασα==， sin sin 22 p αασταα==；0o α=， max 0σσ=；45o α=，0 max 2 στ= 第二节 材料拉伸时的力学性能 1、 材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段 2、 线（弹）性阶段：E σε=；变形很小，弹性；p σ为比例极限，e σ为弹 性极限 3、 屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是出 α p α α τα 第七章 应力状态和强度理论 习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a ）] 解：A 点处于单向压应力状态。 2244 12d F d F F A N A ππσ-=-== [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 331616 1d T d T W T P A ππτ-=== MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R )(333.1kN R B = A σ A τ )(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa m m m m m m N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa m m m m m m N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa m m m m N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa m m m m N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x = σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 A τ B τ B σA τA σ 《材料力学》第五版 刘鸿文 主编 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能 力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22 αστα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ=≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ=≤ 一定要有结论 2.设计截面[],max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε?=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA ?= 注意当杆件伸长时l ?为正，缩短时l ?为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服 第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ (2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa 由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e 已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x MPa ασσσσσατα+-= + -= sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）2 2max 261.82 2x y x y x MPa σσσσστ+-??= += ??? 2 2 min 38.222x y x y x MPa σσσσστ+-??=+= ??? MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 100100 200 60T α A 2 σ1 στ τ 用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变 4100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递 的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60方向上的正应变460101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P= 45A 80120 60 A P 《工程力学》第7次作业（应力状态与强度理论） 2009－2010学年第2学期3系、5系各班 班级学号姓名成绩 一、填空题 1．过构件内某点各个截面中的最大正应力和最小正应力就是该点处的。 2．最大切应力作用面与主应力作用面成度角。 3．研究点的应力状态，通常是该点取单元体，由于单元体尺寸为，所以可认为单元体每个侧面上的应力是；两相互平行的侧面上相应的应力大小是的，符号是的。 4．若单元体某一截面上的，则该截面称为主平面；主平面上的称为主应力。一个单元体上有相互的三对主平面，因此有三个主应力，它们按代数值大小的排列顺序是。 5．人们把从生产实践和力学试验中观测到的材料失效现象与构件的应力分析相结合，提出了一些解释材料在复杂应力状态下失效原因的假说，这些假说称为。材料失效的现象尽管多种多样，但其主要形式不外乎两种：一是，二是。 6．第一强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 7．第三强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 8．第四强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 二、问答题 1、什么叫一点处的应力状态？为什么要研究一点处的应力状态？如何研究一点处的应力状态？ 2、.什么叫单元体？什么叫主平面和主应力？主应力与正应力有什么区别？ 三、计算题 1、试画出图示简支梁上点A和B处的应力单元体，并算出这两点的主应力数值。 2、试求各单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。 3、对于下列所示的单元体，试求： （1）求出主应力和主平面方位； （2）画出主单元体； （3）最大切应力。 4、如图所示的圆轴，直径30=d mm ，如拉力50=F KN ，扭矩2.0=M KN·m ， []120 =σMPa 。试按第三和第四强度理论，校核其强度。 第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ )(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。 特别还要记住，这个公式里的夹角α是斜截面的外法线与σx 作用平 σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取； 4.单轴应力状态、平面应力状态、三轴应力状态是由主应力等于零的个数决定的，不受单元体取法的影响，也不是看单元体的三对截面上是否都存在正应力；比如单轴应力状态下，也可以取出一个单元体，让这个单元体的各平面上都有正应力和切应力，但是它仍然是单轴应力状态；同样，平面应力状态下，也可以取出一个单元体，让其各平面上都有正应力和剪应力，但它仍然是平面应力状态； 5.按不同方位截取的单元体，尽管作用在这些单元体上的应力不同，但是在它们之间却存在着一定的关系：因为二者表示的是同一点的应力状态，因而可以从一个单元体上的应力求出另一个与其方向不同的单元体上的应力。 6.既然怎么取单元体不影响一点的应力状态：无论你怎么取，应力状态就在那里，不会发生变化，那么就可以取主平 材料力学习题册答案-第7章-应力状态 第七章应力状态强度理论 一、判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×)原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×)原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×)原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×)原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 6、下列结论那些是正确的： ( A ) (1) 单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零； （2）单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零； 应力状态和强度理论 一、判断题 1.若单元体某一截面上的剪应力为零，则该截面称为主平面。（） 2.主平面上的剪应力称为主应力。（） 3.当单元体上只有一个主应力不为零时，称作二向应力状态。（） 5.图2所示单元体最大剪应力为25Mpa。（） 6.图3所示单元体为单向应力状态。（） 图2图3图4 7. 向应力状态如图4所示，其最大主应力σ1=3σ（）。 8. 任一单元体，在最大正应力作用面上，剪应力为零。（） 9. 主应力是指剪力为零的截面上的正应力。（） 10.力圆上任一点的横坐标值对应单元体某一截面上的正应力。（） 二、选择题 1.图1所示应力圆对应的单元体为图（）。 图 5 三、选择题 1.若一点的应力状态为平面应力状态，那么该点的主应力不可能为：（）。 A 、σ1> 0 σ2=σ3=0 B、σ1> 0 σ2 =0 σ3 < 0 C、σ1>σ2>0 σ3=0 D、σ1>σ2>σ3>0 ２.已知单元体各面上的应力如图，则其主平面方位为（）。 A、B、 C、D、 四、填空题 １.图示为一平面应力状态的单元体及其应力圆，试在应力圆上表示０－１，０－２，０－３平面的位置。 图 6 2.试验表明，材料受力后的破坏主要有两种形式，一种是，是由于或所引起；另一种是，是由于所引起的。 3.一单元体如图所示，则单元体的主应力为__________ ，为 __________ ，为__________ ，最大主应力与x 轴的夹角为__________ 。 五、简单计算 1.单元体上的应力如图7所示，试求其它应力和最大剪应力。 2.图8所示单元体，试求图示斜截面上的正应力和剪应力。 第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττσ=； （C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。 （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 （A ）三种应力状态均相同；（B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 解答：max τ发生在1σ成45o 的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）脆性材料； （B ）塑性材料； （C ）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。 （A ）任何材料在任何变形阶级； （B ）各向同性材料在任何变形阶级； （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。 解析：在推导公式过程中用到了虎克定律，且G 、E 、v 为材料在比例极限内的材料常数，故 适应于各向同性材料，应力在比例极限范围内 9、点在三向应力状态中，若312()σνσσ=+，则关于3ε的表达式有以下四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）3/E σ；（B ）12()νεε+；（C ）0；（D ）12()/E νσσ-+。 2(1)E G v = +工程力学材料力学_知识点_及典型例题
应力状态——材料力学
第7章 应力状态和强度理论 (答案)
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