《向心加速度》学案2__
5.6 向心加速度
一、学习目标
1. 知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度。
2. 理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫做向心加速度。
3. 知道向心加速度和线速度、角速度的关系式
4. 能够运用向心加速度公式求解有关问题 二、课前预习
1、匀速圆周运动的特点：线速度： ；角速度
。 (“存在”或“不存在”)加速度。
2、向心加速度 ，公式 ，单位 ，方向 。物理意义 。
3、匀速圆周运动是匀变速曲线运动吗？ 。
三、经典例题
例1、如下图，物体沿顺时针方向做匀速圆周运动，角速度ω=πrad/s ，半径R=1m 。
0时刻物体处于A 点，s
31
后物体第一次到达B 点，求 （1） 这s 31内的速度变化量； （2） 这s
31内的平均加速度。
例2、一物体做平抛运动的初速度为10m/s ，则1秒末物体速度多大？2秒末速
A
B
A
B
C
度多大？1秒末至2秒末这段时间内速度变化量是多大？加速度是多大？
例3、从公式R
v a 2
=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比？从公式R
a 2ω=看，向心加速度与半径成正比，这两个结论是否矛盾？请从以下两个角度来讨论这个问题。
①在y=kx 这个关系式中，说y 与x 成正比，前提是什么？
②自行车的大车轮，小车轮，后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A 、B 、C ，其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？
例4、说法正确的是（ ）
A. 向心加速度越大，物体速率变化越快
B. 向心加速度大小与轨道半径成反比。
C. 向心加速度方向始终与速度方向垂直
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的。
例5、关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（BD ）
A、它们的方向都沿半径指向地心
B、它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴
C、北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D、北京的向心加速度比广州的向心加速度小
四、巩固练习
1、一小球被一细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度
为a，则（）
A．小球的角速度ω＝a R
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t aR
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝R a
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
2、关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小，下列说法正确的是
（）
A．在赤道上向心加速度最大
B．在两极向心加速度最大
C．在地球上各处，向心加速度一样大
D．随着纬度的升高，向心加速度的值逐渐减小
3、如图所示，A、B两轮同绕轴O转动，A和C两轮用皮带传动，A、B、C三
轮的半径之比为2∶3∶3，a、b、c为三轮边缘上的点。求⑴三点的线速度之比；⑵三点转动的周期之比；⑶三点的向心加速度之比。
4、如图，直杆OB 绕O 点转动，当杆上A 点速度为V 1时，杆上另一点B 的速度为V 2，当B 点速度大小增加△V 时，则A 点速度增加（ ）
A 、21v v v ?
B 、212v v v v ?+
C 、12v v v ?
D 、112v v v v ?+
5、如图所示，甲是一个半径为r 的固定在转轴上的轮子，乙
是一个支撑起来的中空的轮环，内半径为2r ，外半径为3r ，甲带动乙转动，接触处不打滑，当甲的角速度为ω时，轮环外壁N 点的线速度是__ ____，轮环外壁N 点的向心加速度是__ ____.
B
b
c
C
A a
O
参考答案
1、【答案】:ABD
【解析】：小球做圆周运动的线速度为v 、角速度为ω，则有a ＝v2R ＝Rω2，由此可得
v ＝aR ，ω＝a R
周期T ＝2πω ＝2πR
a
所以小球在时间t 内通过的路程为s ＝v t ＝t aR ，小球在时间t 内可能发生的最大位移应该等于直径。综上所述，正确选项为ABD 。
拓展：角速度、线速度和周期等用来描述物体做圆周运动的快慢，向心加速度描述物体做圆周运动过程中速度方向变化快慢，它们之间有密切的联系。 2、【答案】:AD
【解析】：地球上的物体随地球一起转动，在任何位置处转动的角速度都与地球自转的角速度相等，由公式a ＝rω2可以知道，在角速度一定的情况下，向心加速度大小与转动半径成正比关系。所以，在赤道处，物体转动半径即地球半径，其值最大，故其向心加速度最大；在两极，其转动半径为零，所以其向心加速度也为零；随着纬度的升高，其转动半径减小，故其向心加速度也减小。本题正确选项为AD 。
拓展：地球上各个物体随地球一起转动，它们都是绕 地轴转动，而不是绕地球球心转动，所以它们转动的平面与地轴垂直，转动半径与纬度大小有关。如图所示，设地球半径为R ，纬度为θ的A 处物体转动的半径为r ，则有r ＝Rcosθ。
3、【答案】: 2∶3∶2； 2∶2∶3； 6∶9∶4
【解析】：因A 、B 两轮同绕轴O 转动，所以有ωa ＝ωb ；A 和C 两轮用皮带传动，所以有va ＝vc 。由公式v ＝ωr 、 T ＝2πr v 、a ＝v2
R 结合题中已知条件即可求解。
⑴因A 、B 两轮同绕轴O 转动，所以有ωa ＝ωb ，由公式v ＝ωr 可知 va ∶vb ＝（ωa ra ）∶（ωb rb
）＝ra ∶rb ＝2∶3
又因为A 和C 两轮用皮带传动，所以有va ＝vc
综上所述可知三轮上a 、b 、c 三点的线速度之比va ∶vb ∶vc ＝2∶3∶2； ⑵因为ωa ＝ωb ，所以有Ta ＝Tb 因为va ＝vc ，根据T ＝2πr
v 可得 Ta ∶Tc ＝ra ∶rc ＝2∶3
所以三点转动的周期之比Ta ∶Tb ∶Tc ＝2∶2∶3； ⑶根据向心加速度公式a ＝v2
R 可得三点的向心加速度之比
aa ∶ab ∶ac ＝a a r v 2∶b b r v 2∶c c r v 2
＝42 ∶93 ∶43 ＝6∶9∶4。
拓展：向心加速度的公式有多种形式，如a ＝v2
r ，a ＝rω2，a ＝ωv ，a ＝4π2r/T2，
a ＝4π2rn2等，计算时应根据题中给出的条件灵活选用。本题求解时采用的公式是a ＝v2
r ，其实采用其它公式同样可解，大家不妨一试。 4、【答案】:C
【解析】：本题考察对速度变化量的理解，首先要明确初、末速度（包括大小和方向），和速度变化量的物理意义，并且抓住A 、B 两点角速度相同这一点切入。A 、B 两点ω相同，由v 1：v 2=OA ：OB (v 1+△v′)：(v 2+△v)=OA ：OB 可得：本题的【答案】为C 5、【答案】: 1.5ωr 0.75ω2r
【解析】：本题讨论皮带传送装置线速度、角速度和周期之间的关系问题。因此首先要抓住传动装置的特点:同轴传动的是角速度相等，皮带传动是两轮边缘的线速度大小相等，再利用v=ωr 以及向心加速度的公式找关系。 甲、乙两轮接触处不打滑；接触处线速度相同，甲轮边缘的线速度v=ωr ，则
乙轮环内径2r 的圆周上各点线速度也为v 乙（内）=ωr ，其角速度ω′=r v 2=r r 2ω
=0.5ω，乙轮环上各点的角速度相等，则：N 点的线速度v N =ω·3r=1.5ωr
a=r r r v N 3)5.1(32
2
ω==0.75ω2r
【点评】在分析传动装置的各物理量之间的关系时，要首先明确什么量是相
等的，什么量是不等的。通常情况下，同轴的各点角速度ω、转速n、周期T 相等，而线速度v=ωr与半径成正比。在认为皮带不打滑的情况下，传动皮带与和皮带连接的轮子的边缘的各点的线速度大小相等，而角速度ω=v/r与半径r成反比。齿轮啮合装置同样边缘的各点的线速度大小相等。