《水塔流量估计》word版

水塔流量的估计

一.问题的提出

某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计其

流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向

水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵

的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约Array 2h(小时)。

水塔是一个高为12.2m,直径为17.4m是正圆

10.8m 柱。按照设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动

启动,水位升到约为10.8m时水泵停止工作。

表1是某一天的水位测量记录(符号“//”表示水

泵启动)，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量及一天的

总用水量。

表1：水位测量记录（时刻：h，水位：cm）

二、问题分析

流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，

在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计

水泵供水时段的流量。

水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的

原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。

这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算

出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。

二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。 一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。

有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。

其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从

t=0到t=8.97(h)水位下降了968 –822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。

三、模型假设

1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是

8.2m 和10.8m(设出口的水位为零), 1.151=≈,所以可忽略水位对速度的影响。

2. 根据最低和最高水位分别是8.2m 和10.8m 及表1的水位测量记录,假设水泵第1次供水时段为9t =到11t =,第2次供水时段为20.8t =到23t =。

其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h ）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h 之后不久结束）。

3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。

4. 流量是对时间的连续函数。

5. 流量与水泵是否工作无关。

6. 由于水塔截面积是常数, ()2

2217.4/2237.787S r m ππ==?≈,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S 即可。

即：水位是时间的连续函数 ()h h t =

水位对时间的变化率(流量) ()

dh t h dt

'= 任何时刻的流量： ()()V t h t S

'=

四、模型建立

1.拟合水位~时间函数

从表1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段0t =到8.97t =，第2用水时段10.95t =到20.48t =第3用水时段23t =以后)。

对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数 11()h h t = 和22()h h t =。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。

2. 确定流量~时间函数

对于第1、2用水时段，只需将水位函数(),1,2i i h h t i == 求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。

3. 一天总用水量的估计

总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。

t

t

t t V V dt S h dt ''==-?

?

五、模型求解

根据表一，可以对各时段的数据进行拟合。建立时间和水位向量

1212[,,],[,,]t t t h h h ==的函数关系。

为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。先用3次函数进行拟合第一时段[0,9]的水位、流量。

设t 、h 为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入):

>> h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018];

>> t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91];

>> x1=t(1:10);x2=x1.^2;x3=x1.^3;

>> n=10;m=3;

>> x=[ones(n,1),x1',x2',x3'];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(h(1:10)',x,0.05) b =

967.7356

-22.1079

1.3586

-0.0785

bint =

966.5367 968.9345

-23.3536 -20.8622

1.0241 1.6932

-0.1030 -0.0541

r =

0.2644

-0.4851

-0.1676

0.6754

0.0260

-0.6328

0.5374

-0.4676

0.3089

-0.0590

rint =

-0.3216 0.8505

-1.5934 0.6232

-1.3634 1.0282

-0.2883 1.6392

-1.2427 1.2947

-1.7032 0.4376

-0.5339 1.6088

-1.5560 0.6207

-0.8696 1.4874

-0.6534 0.5353

stats =

1.0e+004 *

0.0001 2.3222 0.0000 0.0000

>> rcoplot(r,rint)

残差分析可以看到，拟合比较符合，拟合效果较好。经过实验，选取3次较合适。故以下选用三次函数进行拟合。

1、拟合第1用水时段各时刻的流量，可由如下程序代码得到：

c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); %用3次多项式拟合第1用水时段水位h1=h1(t)，c1输出

3次多项式的系数

a1=polyder(c1); %a1输出多项式（系数为c1）导数的系数，

h1=-polyval(a1,t(1:10)); %给出水位变化率h1=h1(t)在 t(1)-t(10)上的离散值，即流量

t1 = 0:0.1:9; %将第一用水时段[0 , 9]细分

h11= -polyval(a1,tp1); %h11输出多项式a1在t11点的函数值(取负后边为正值)，即t11

时刻的流量(水位下降的速率)。

用程序进行计算，求得在[0，9]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表： i t 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 i h

22.11

19.81

17.91

16.14

15.12

14.42

14.28

14.64

15.38

16.69

第一用水段流量（水位变化率）曲线图

2. 拟合第2用水时段[11,20.8]的水位、流量

c2=polyfit(t(13:23),h(13:23),3); %用3次多项式拟合第2用水时段水位水位h2=h2(t) ，

c2输出3次多项式的系数 a2 = polyder(c2); %a2输出多项式（系数为c2）导数的系数,

h2=-polyval(a2,t(13:23)); %给出水位变化率h2’=h ’2(t) t2 = 11:0.1:20.8; %将第二用水时段[11 , 20.8]细分

h22 = -polyval(a2,t2); %x2输出多项式（a2）在tp2点的函数值(取负后边为正 值)，即tp2

时刻的流量(水位下降的速率)。

进行计算，求得在[11,20.8]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：

i t

10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 i h

22.11

19.81 17.91 16.14 15.12 14.42 14.28 14.64 15.38 16.69 67.81

第二用水段流量（水位变化率）曲线图

3. 拟合第1供水时段[9，11]的流量

在第1供水时段（t = 9~11）之前（即第1用水时段）和之后（第2用水

时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量。为使流量

函数在t =9 和t =11连续我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下：

x1 = -polyval(a1,[8 9]) %取第1时段在t=8,9的流量

x2=-polyval(a2,[11 12]) %取第2时段在t=11,12的流量

x12 = [x1 x2]; %将四个点合并

c12 = polyfit([8 9 11 12], x12, 3); %拟合3次多项式

t12 =9:0.1:11; %将第一供水时段[11 , 20.8]细分 xx12 = polyval(c12,t12); %xx12输出第一供水时段各时刻的流量

进行计算，求得在[9,11]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：

t9.9810.92

i

h 25.3932.45

i

第一供水段流量（水位变化率）曲线图

4.拟合第2供水时段[20.8,24]的流量

在第2供水时段之前取t =20,20.8两点的水流量，在该时刻之后（第3用水段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下：

dt3 = diff(t(26:28)); %最后3个时刻之后的两两之差

dh3 = diff(h (26:28)); %最后3个水位的两两之差

dht3 = -dh3./dt3; % t(22)和t(23)的流量（差商代替微商）

t3 = [20 20.8 t(26) t(27)]； %取第二供水时段前后各两点

x3=[-polyval(a2,t3(1:2)),dht3]; %求得t3各时刻的流量

c3 = polyfit(t3,x3,3); % 拟合3次多项式

t3 = 20.8:0.1:24； %将第二供水时段和第三用水时段细分

xx3=polyval(c3,t3); % xx3输出第2供水时段及第三用水时刻的流量

用程序进行计算，求得在[20.8,24]内各时刻的流量值(水位变化率)如下表：

t22.0122.9623.8824.9925.91

i

h 25.54723.93721.62218.47816.08

i

第二供水段流量（水位变化率）曲线图