概率论与数理统计复习题1及答案

北京邮电大学 复习一

1.设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15

)(===k k

k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ; (2)2

5

21(

<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。 解 (1) 5

1152151)21(=+=

==ξξ或P ; (2) 5

1

)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ;

(3) )21(≤≤ξP 5

1

)2()1(==+==ξξP P .

2.在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为ξ、η、ζ，求),,(ζηξ的联合分布列与各自的边际分布列。

解 k n m k n m k n m P 2.03.05.0!

!!!

4),,(=

===ζηξ ，.44,3,2,1,0,,=++=k n m k n m m m m m P -???

? ??==45.05.04)(ξ ，4,3,2,1,0=m ； n

n n n P -???? ??==47.03.04)(η ，4,3,2,1,0=n ；

k

k k k P -???

? ??==48.02.04)(ζ ，4,3,2,1,0=k 。

3.已知随机变量ξ的分布列为??

??

?

?

??412

14

120

ππ

，求232

+=ξη与ξζcos =的分布列。

解 η分布列为41)2(=

=ηP ，21)32(=+=πηP ，41

)322(=+

=πηP ； ζ的分布列为41)1(=-=ζP ，21)0(==ζP ，4

1

)1(==ζP 。

4如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合

格品数的数学期望。

解 设，

则i η的分布列为???

? ??151415101，因而151

=i E η。设ξ为查得的不合格品数，则

∑==1501

i i ηξ，所以10150

1

==∑=i i E E ηξ。

5.从数字0，1，…，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

解 设ξ为所选两个数字之差的绝对值，则n k n k n k P ,,2,1,211

)( =???

? ??++-=

=ξ，

于是32])1[()1(221112

1

+=-++=???

? ??++-=∑∑==n k k n n n n k n k E n

k n

k ξ。 6.设随机变量ξ与η独立，且方差存在，则有

22)()()(ηξηξηξξηE D D E D D D ?+?+?=（由此并可得ηξξηD D D ?≥)(）

证明 222)()(ξηηξξηE E D -=2222)()(ηξηξE E E E -=

22222222)()()()(ηξηξηξηξE E E E E E E E -+-=

ξηηξD E D E 22)(-=22)()(ηξηξηξE D D E D D ?+?+?=

7.某城市每天用电量不超过一百万度，以ξ表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为

?

?

?<<-=其它01

0)1(12)(2x x x x p 若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90

万度又是怎样呢？

解： ?

=-=

>1

8.020272.0)1(12)8.0(dx x x P ξ 0037.0)1(12)9.0(1

9

.02=-=

>?

dx x x P ξ

因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。

8.某种电池的寿命ξ服从正态),(2

σa N 分布，其中300=a （小时），35=σ（小时）

(1) 求电池寿命在250小时以上的概率；

（2）求x ，使寿命在x a -与x a +之间的概率不小于0.9。

解：（1）)43.135

300

()250(->-=>ξξP P

=9236.0)43.1()43.135

300

(

≈Φ=<-ξP ；

（2）35

3530035()(x

x P x a x a P <-<-

=+<<-ξξ

=9.01)35

(2)35()35(≥-Φ=-Φ-Φx

x x 即 95.0)35(

≥Φx

所以 65.135

≥x

，即 75.57≥x 9.设二维随机变数),(ηξ的联合密度为

??

?>>=--其它

,0),(43y x ke y x p y

x

（1） 求常数k ；

（2） 求相应的分布函数； （3） 求)20,10(<<<<ηξP 。 解：（1）

12

4030

43k

dx e k dxdy ke x y x ==

???

∞-∞∞

--， 所以12=k ；

（2）0,0>>y x 时， 34340

(,)1212()()x y

x

y

t s

t

s y

F x y e

dtds e dt e ds ----=

=????

=)1)(1(43y x e e ----，所以

??

?>>--=--其它

,0)

1)(1(),(43y x e e y x F y x

（3）)20,10(<<<<ηξP

=)0,0()0,1()2,0()2,1(F F F F +-- =1183

1---+--e e e

。

10.设二维随机变数),(ηξ的密度函数为

??

?<<<<=其它0

1

0,104),(y x xy y x p 求（1）)()4();()3();()2();14

1

,210(ηξηξηξηξ≤<=<<<

11. 设随机变量ξ具有密度函数

??

?

??<<-≤<=其它

021210)(x x

x x x p

求ξE 及ξD 。 解 ?

?=-+=

1

2

1

21)2(dx x x dx x E ξ，

6/7)2(2

1

21

3

2

=-+=

?

?dx x x dx x E ξ，

6/1)(22=-=ξξξE E D 。 12.设随机变量ξ服从)2

1

,21(-

上的均匀分布，求πξηsin =的数学期望与方差。 解：?-==

212

1,0sin xdx E πη?-===212

122

2/1sin xdx E D πηη。

13. 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。

解：设旅客候车时间为ξ（秒），则ξ服从[]300,0上的均匀分布，则

（秒）1503001300

=??=?

dx x E ξ，）秒2230002

(30000300

1=??=?dx x E ξ，

）秒22(750015030000=-=ξD