2019年秋人教版九年级《圆的专项》压轴大题专项训练题(含答案)

圆的专项

一．解答题

1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E 是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．

（1）求证：DF是⊙O的切线．

（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．

3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．

（1）求证：EF与⊙O相切．

（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．

4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．

（Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；

（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．

（1）求证：BC＝BH；

（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．

6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC．

（1）求证：AC为⊙O的切线；

（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB 于点E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．

8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE

（1）求证：∠C＝∠BED；

（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）

9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．

（1）求证：BD＝DE；

（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．

10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．

12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN 交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；

（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；

（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．

13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中AC＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．

（1）求证：CD∥BM；

（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；

（3）若CD＝1，EF＝，求AF长．

15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线

上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．

参考答案一．解答题

1．（1）证明：如图1，连接DF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，

∵BF＝BE，

∴AB﹣BF＝BC﹣BE，

即AF＝CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS），

∴∠DFA＝∠DEC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠DFA＝90°，

∴∠DEC＝90°

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接AH，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AHD＝∠DFA＝90°，

∴∠DFB＝90°，

∵AD＝AB，DH＝，

∴DB＝2DH＝2，

在Rt△ADF和Rt△BDF中，

∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，

∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，

∴，

∴AD＝5．

∴⊙O的半径为．

2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，

∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，

即∠BDF＝90°，

∴DF⊥BD，

又∵BD是⊙O的直径，

∴DF是⊙O的切线．

（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，

∴AB＝2BC＝2×4＝8，

∴＝4，

∵点D是AC的中点，

∴，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°，

∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，

∴，

在Rt△BCD中，＝＝2，

在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，

∴∠FDE＝∠DBE，

∵∠DEF＝∠BED＝90°，

∴△FDE∽△DBE，

∴，即，

∴．

3．（1）证明：如图1，连接OE，

∵OD＝OE，

∴∠D＝∠OED，

∵AD＝AG，

∴∠D＝∠G，

∴∠OED＝∠G，

∴OE∥AG，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵EF∥AB，

∴∠BAF+∠AFE＝180°，

∴∠AFE＝90°，

∵OE∥AG，

∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，

∴OE⊥EF，

∴EF与⊙O相切；

（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∵AC＝4，

∴CH＝，

∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，

∴四边形OEFH是矩形，

∴，

在Rt△OHC中，

OC＝＝＝4，

∵OA＝AC＝OC＝4，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

＝＝．

∴S

扇形OAC

4．（Ⅰ）证明：连OD，如图，

∵BD是⊙O的切线，

∴OD⊥BD，

∵AC⊥BD，

∴OD∥AC．

∴∠2＝∠3，

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠3．

∴∠1＝∠2，

即AD平分∠BAC；

（Ⅱ）解：∵OD∥AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴，即．

解得AC＝．

5．（1）证明：连接OE，如图，

∵AC为切线，

∴OE⊥AC，

∴∠AEO＝90°，

∵∠C＝90°，

∴OE∥BC，

∴∠1＝∠3，

∵OB＝OE，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∵EH＝EC，

在Rt△BEH和Rt△BEC中

∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL），

∴BC＝BH；

（2）在Rt△ABC中，BC＝＝3，设OE＝r，则OA＝5﹣r，

∵OE∥BC，

∴△AOE∽△ABC，

∴＝，即＝，解得r＝，

∴AO＝5﹣r＝，

在Rt△AOE中，AE＝＝，

∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．

6．（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵DE∥OC，

∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．

∵∠ODE＝∠OED，

∴∠DOC＝∠BOC．

∵OD＝OD，OC＝OC，

∴∠CDO＝∠CBO＝90°．

∴∠ODA＝90°．

∴AC是⊙O的切线．

（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，∴AB?AE＝k，

如图2，连接DB，

∵EB是⊙O的直径，

∴∠EDB＝90°，

∴∠DEB+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的切线，

∴∠ADO＝90°，

∴∠ADE+∠EDO＝90°，∵OD＝OE，

∴∠DEO＝∠EDO，

∴∠ADE＝∠EBD，

∵∠DAE＝∠BAD，

∴△ADE∽△ABD，

∴，

∴AD2＝AE?AB，

∵，

∴，

∴x2﹣4x+3＝0，

∴x

1＝3，x

2

＝1，

∴AE＝1，AB＝3，

∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，

∴⊙O的半径为1．

∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线，

∴DC＝BC，

设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+，AB＝3，BC＝x，

∴，

解得：x ＝

．

∴． 7．（1）证明：连接OD ，如图所示．：

在Rt △ADE 中，点O 为AE 的中心，

∴DO ＝AO ＝EO ＝AE ，

∴点D 在⊙O 上，且∠DAO ＝∠ADO ．

∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠DAO ，

∴∠ADO ＝∠CAD ，

∴AC ∥DO ，

∵∠C ＝90°，

∴∠ODB ＝90°，即OD ⊥BC ，

∵OD 为半径，

∴BC 是⊙O 的切线；

（2）解：∵⊙O 的直径为4，

∴AE ＝4，DO ＝AO ＝EO ＝AE ＝2，

∵∠ABC ＝30°，

∴∠CAD ＝∠DAO ＝30°，

∴CD ＝AD ，DE ＝AE ＝2，AD ＝＝＝2，

∴CD ＝，AC ＝＝＝3，

∵tan ∠ABC ＝

，

∴BC ＝＝＝3，

∴阴影部分面积＝S △ABC ﹣S 梯形ODCA ﹣S 扇形ODE ＝AC ?BC ﹣（OD +AC ）?CD ﹣＝×

3×3﹣（2+3）×﹣＝2﹣．

8．（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵AC切⊙O于点A

∴CA⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

∴∠C+∠ABD＝90°，

而∠DAB+∠ABD＝90°，

∴∠DAB＝∠C，

∵∠DAB＝∠BED，

∴∠C＝∠BED；

（2）解：连接OD，如图，

∵∠BED＝∠C＝50°，

∴∠BOD＝2∠BED＝100°，

∴的长度＝＝．

9．（1）证明：∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∵EC⊥AO，

∴∠ACE＝90°，

∴∠A+∠AEC＝90°，

∵BD是⊙O的切线，

∴∠OBD＝90°，

∴∠OBA+∠DBE＝90°，

∴∠AEC＝∠DBE，

∵∠AEC＝∠BED，

∴∠DEB＝∠DBE，

∴DB＝DE；

（2）解：连接OE，

∵OA＝OB，E是AB的中点，

∴∠OEB＝90°，

∵BD＝DE，∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°，

∴BE＝DE＝，

∴OB＝＝＝2．

10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝60°

∵∠ABD＝30°，

∴∠ODB＝90°

∴OD⊥BD．

∵点D为⊙O上一点，

∴BD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠DOB＝60°，

∴∠AOD＝120°．

∵OA＝5，

∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．11．（1）证明：连接OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠BA C＝30°，

∴BD＝AB＝＝4．

12．（1）证明：连接FO，

∵CN＝AC，

∴∠CAN＝∠CNA，

∵AC∥ME，

∴∠CAN＝∠MFN，

∵∠CAN＝∠FNM，

∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，

∵CD⊥AB，

∴∠HAN+∠HNA＝90°，

∵AO＝FO，

∴∠OAF＝∠OFA，

∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，

∴EM是圆O的切线；

（2）解：连接OC，

∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，

∵CD⊥AB，

∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，

∵CA＝CN，

∴NH＝a，

∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，

设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，

在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，

由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，

解得：r＝，

∴圆O的直径为25；

（3）∵CH＝DH＝12，

∴CD＝24，

∵AC：CD＝5：8，

∴CN＝AC＝15，

∴DN＝24﹣15＝9，

∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，

∴△FND∽△CNA，

∴，

∵AN＝3，