复变函数与积分变换重点公式归纳39033

复变函数与积分变换复习提纲

第一章 复变函数

一、复变数和复变函数

()()()y x iv y x u z f w ,,+==

二、复变函数的极限与连续

极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00

z f z f z z =→ 第二章 解析函数

一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程

掌握利用C-R 方程?????-==x

y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数：y

x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??=ΛΛ1)('

三、初等函数

重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数

θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数

n

k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==

性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z

z e e =)'(（3）以i π2为周期

3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）

性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k

k z z 1)'(ln =。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= i

e e z iz

iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界

5、反三角函数（了解）

反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+=

=

反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln i

z Arc w 性质与对数函数的性质相同。 6、一般幂函数：])arg 2([ln i z k z s sLnz s e e z ++==π （k =0、±1…）

四、调和函数与共轭调和函数：

1) 调和函数:0),(2=?y x u

2) 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）

有三种方法：a ）全微分法

b ）利用C-R 方程

c ）不定积分法

第三章 解析函数的积分

一、复变函数的积分 ()???++-=l

l l udy vdx i vdy udx f dz z 存在的条件。 二、复变函数积分的计算方法

1、沿路径积分：()?c

dz z f 利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。 2、闭路积分： a) ()?c

dz z f 利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。 b) dz y x iv y x u c )],(),([+?

利用参数积分方法 三、柯西积分定理：

()0=?c

dz z f 推论1：积分与路径无关

()dz z f dz z f z z c ??=21)(

推论2：利用原函数计算积分

)()()(122

1z F z F dz z f z z -=?

推论3：二连通区域上的柯西定理

()()??=2

1c c dz z f dz z f 推论4：复连通区域上的柯西定理

()()?∑?==k c n

k c dz z f dz z f 1

四、柯西积分公式： ()ξξξπd z f i z f c ?-=21)( ()()002c f z dz if z z z π=-??

五、高阶导数公式：()ξξξπd z f i n z f c n n ?+-=1)()

(2!)( 解析函数的两个重要性质：

● 解析函数()z f 在任一点z 的值可以通过函数沿包围点z 的任一简单闭合回路的积分表示。 ● 解析函数有任意阶导数。

本章重点：掌握复变函数积分的计算方法

沿路径积分

()?c dz z f 1）利用参数法积分 2）利用原函数计算积分。 闭路积分

()?c dz z f 利用留数定理计算积分。

第四章 解析函数的级数

一、幂级数及收敛半径： ∑∞=-0)(n n n

b z a

1、一个收敛半径为R （≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数)(z f 是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：

()()∑∞

=-=1'n n

n b z na z f R b z <- ()()10001+∞=∞

=∑?∑?+=-=n n z l n n n

n z

z n a dz b z a dz z f R b z <- 2、收敛半径的计算方法

1） 比值法：1/lim +∞

→=n n n a a R 2） 根值法：n n n a R ∞

→=lim /1 二、泰勒（Taylor ）级数

1、如函数)(z f 在圆域R b z <-内解析，那么在此圆域内)(z f 可以展开成Taylor 级数

)(z f ()()n n n n n

n b z n b f b z a -=-=∑∑∞=∞=00!

)( 1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor 级数。

2 ) 收敛半径是展开点到)(z f 的所有奇点的最短距离。

3）展开式的系数可以微分计算： ()!

n b f a n n = 4）解析函数可以用Taylor 级数表示。

2、记住一些重要的泰勒级数：

1）∑∞==-011n n z z 2）∑∞==0!

n n z n z e 3）()∑∞=++-=0)12()!12(1sin n n n z

n z 4）()∑∞=-=02)!2(1cos n n n z n z

三、罗兰（Laurent ）级数

如果函数)(z f 在圆环城21R b z R <-<内解析，则)(z f =

∑∞-=-x n n n b z c )( ()()dz b z z f i c l n n ?+-=1

21π （n =0、±1、±2……）

1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent 级数。

2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent 级数。

3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

四、孤立奇点

1、定义：若b 是)(z f 的孤立奇点，则)(z f 在δ<-

()()()∑∑∑-∞=∞=∞-∞=-+-=-10n n n n n n n n n b z c b z c b z c

2、分类：

孤立奇点??

???==-1]),([Re ,::0]),([Re ,:c b z f s b z f s 无穷多负幂项本性奇点有限负幂项极点无负幂项可去奇点

把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-1

3、极点留数计算

a) 如果b 是)(z f 的一阶极点，则)()(lim ]),([Re z f b z b z f s b

z -=→ b) 如果b 是)(z f 的m 阶极点，则

()()()][lim !11]),([Re 11z f b z dz

d m b z f s m m m b z --=--→ c) 如b 是()()()

z Q z P z f =的一阶极点，且P(b)≠0，那么 ()()()()

b Q b P b z Q z P s ',Re =??????

d) ]0,1)1([Re ]),([Re 2

z z f s z f s -=∞ e) 若∞=z 是)(z f 的可去奇点，并且0)(lim =∞→z f z ，

()z zf C z f s z ∞

→--=-=∞lim ]),([Re 1 关系：全平面留数之和为零。

()[]()[]0,Re ,Re 1=∞+∑∑∞

=z f s b z f s k k

本章重点：函数展开成Taylor 级数，并能写出收敛半径。

函数在解析圆环城内展开成Laurent 级数。

孤立奇点（包含∞=z 点）的判定及其留数的计算。

第五章 留数定理的应用

一、()θθθπ

d R ?20cos ,sin

条件：（1）R(sin θ，cos θ) 为cos θ与sin θ 的有理函数

（2）R (? ) 在[0，2π] 或者 [-π ，π] 上连续。

令θ

i e z =，则i z z 2sin 1--=θ，2cos 1-+=z z θ，iz dz d =θ。 ()()dz z f iz dz z z iz z R d R z z ???===???? ??+-=12212021,21cos ,sin θθθπ

()[]∑==n k k

z z f s i 1,Re 2π 1

注意留数是计算单位圆中的奇点。

二、()?∞

∞-dx x f

条件： （1） ()()()x Q x P x f = ()()x Q x P ,是x 的多项式。

（2） ()0≠x Q

（3） 分母阶次比分子阶次至少高二次

则 ()()[]∑?=∞

∞

-=n R k b z f s i dx x f 1,Re 2π k b 是)(z f 在上半平面的奇点。 三、()dx e x R x i α?∞∞- （0>α）

条件：（1）()()()x Q x P x R =，且()x Q 比()x P 至少高一阶，

（2）()0≠x Q ，（3）0>α

()()[]∑?=∞

∞-==n k k z i x

i b e z R s i dx e x R I 1

,Re 2ααπ 0Im >k b ()?∞∞-=I xdx x R Re cos α，()?∞∞-=I xdx x R Im sin α

重点关注第一和第三种类型

第七章 Fourier 变换

一、傅立叶变换

()()dt e x f F t j ωω-∞

∞-?=

()()ωωπωd e F x f t j ?∞

∞-=21

二、δ函数的傅立叶变换 ?()[]()1==-∞∞-?dx e x x x j ωδδ. ()x d e x j δωπω=?∞∞-21

三、一些傅立叶变换及逆变换 ?()ωπδω

+=i x H 1)]([ ?2

1)(]1[1-=-x H i ω 四、性质：?()[]()ωF x f =

1、 相似性质

?()[]??

? ??=a F a ax f ω1 2、 ?()[]()ωωF e

x x f x j 00±=± 延迟性质 ? ()[]

()00ωωω±=F x f e x j μ 位移性质 3、微分性质

? ()[])('ωωF j x f = ? [])(')(ωF x jxf =-

? ()()[])()(ωωF j x f n n = ? ()[]

n n n d F d x f x j ωω)()(=- 4、积分性质

? ())(10ωω

F j dx x f x x =??????? 由Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier 变换求解微积分方程。

四、卷积和卷积定理

τττd x f f x f x f )()()(*)(2121-=?∞

∞-

? )()()](*)([2121ωωF F x f x f =

? )(*)(21)]()([2121ωωπF F x f x f =

＊五、三维Fourier 变换及反演

本章重点：利用定义计算Fourier 变换

第八章 Laplace 变换

一、拉普拉斯变换

?()[]()()p F dt e x f x f pt ==-∞

?0 二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换

?()[]p t H 1= ?()t H p =??

????-11 ?[]ααμp e t 1=± ?t e p ααμ=??

????±-11 ?[]22cos αα+=p p t ?t p p ααcos 221=??

????+- ?[]22sin αα

α+=p t ?t p αααsin 221=??????+- ?1!][+=m m p m t ?()1][=t δ

四、拉普拉斯变换的性质

1、?()[]()p F e

t t f pt 00-=- 2、?[]

()0)(0p p F t f e t p ±=μ 3、?()[]()()0'f p pF t f -=

?()[]()()()0'02f pf p F p t f u --=

?()

()[]

()n u n dp p F d t f t = 4、?()()p F p

dt t f t 10=???????

?()()?∞=??????ρ

dp p F dt t t f 五、卷积：()()()()τττd t f f t f t f t

-=?20121* ?()()[]()()p F p F t f t f 2121*=

六、Laplace 反演

()()()[]

∑?=∞+∞-==n n n pt pt j j p e p F s dp e p F j t f 1,Re 21ββπ 七、Laplace 逆变换

（1）部分分式法

（2）卷积定理

（3）Laplace 反演公式（留数定理）

（4）利用Laplace 变换的性质

八、利用Laplace 变换求解微积分方程

（1）对方程取Laplace 变换，得到象函数的代数方程

（2）解代数方程，得到像函数的表达式

（3）求像函数的拉普拉斯逆变换

本章重点：利用定义和性质计算Laplace 变换。

计算Laplace 逆变换。

利用Laplace 变换求解微积分方程。