初中数学竞赛专题讲义2
初中数学竞赛专题讲义2
初中数学竞赛专题:四边形 §10.1 平行四边形与梯形
10.1.1★如图(a),在四边形ABCD 中,AC 、BD 是对角线,已知ABC △是等边三角形,30ADC ∠=?,3AD =,5BD =,求边CD 的长．
D
A
B
C D
A
B C
E
(a)
(b)
解析 如图(b),以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △,连结AE ．由于AC BC =,CD CE =,
BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠．
所以BCD △≌ACE △,从而BD AE =．
又因为30ADC ∠=?,5BD =,3AD =,于是90ADE ∠=?,从而在Rt ADE △中
,4DE ==．所以
4CD =．
10.1.2★在ABCD 中,2AB AD =,F 为AB 中点,CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证:3BFE AEF ∠=∠．
解析 如图,取CD 中点G ,连结FG 、CF ．
A F
B
E D
G
C
易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形,FG 垂直平分CE ,于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠,于是
33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．
10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线,FG BE ∥,EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图,连结EF ,则EF 是中位线．
A G
F
E
B D C
由条件知EG BF ∥,故EG AF ∥,于是AG EF CD ∥∥,故结论成立．
10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ,使CE CA =,F 是AE 的中点,求证:BF FD ⊥． 解析 如图,取BD 中点G ,连结FG ,则()11112222
FG AD BE CE CA BD =+===,于是BF FD ⊥．
A
D
B
C
A
D
F
G
E
B
C
题10.1.4
题10.1.5
10.1.5★菱形ABCD 中
,2BD AC -=120BAD ∠=?,求菱形的面积． 解析 如图,易知ABC △与ACD △均为正三角形．
设菱形边长为x ,则由120BAD ∠=?,
得BD =,AC x =,
所以
)12x =
x =,因此菱形
面积为212
BD AC x ?=
． 10.1.6★在梯形ABCD 中,AD BC ∥,中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ,若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上,求
BC
AD
． A
D
M
Q
P
N
B R
C
解析 设AQ 、DP 延长后交于R ,且R 在BC 上,则由中位线知2AD PQ =,2AD PN =,2BC QN =,故
2BC
AD
=． 10.1.7★★四边形ABCD 中,135ABC ∠=?,120BCD ∠=?
,AB =
5BC =,6CD =,求AD ． 解析 如图所示,作AF BC ⊥,DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ,作FG AD ∥交DE 于G ,则
AFB △为等腰直角三角形,90AFB ∠=?
,AB =
故FB AF =；90DEC ∠=?,60DCE ∠=?,6CD =,
故3CE =
,DE =．
F B
C
E
A
D
G
所以EF FB BC CE =+
+538==
,
GE DE DG DE AF =-=-==
从而AD FG ==
10.1.8★★★已知ABC △中,90A ∠=?,D 是BC 上一点,D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ,若
BE CF =,1
2
AD BC =
． 解析 如图,连结AF 、AE 、BF 、CE ．
F
A
E
B
D
C
由对称,有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=?,故F 、A 、E 共线．
又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=?,故FB ∥EC ,而BE CF =,所以梯ECBF 为等腰梯形．又
AF AD AE ==,于是11
22
AD EF BC ==．
10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点,证明:如果所得到的四个像点也形成四边形,则必为一个梯形．
B'
C'
A
D
B
C
A'
D'
O
解析 如图,AD BC ∥,A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′． 设AC 、BD 交于O ,连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ,故A ′、O 、C ′共线,且A O AO C O CO '=',同理B ′、O 、D ′共线,B O D O ''BO DO =,所以由1BO CO
DO AO
=≠
得
1B O C O
D O A O
''=≠''． 故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上,则A ′D ′∥B ′C ′,即A ′B ′C ′D ′成梯形．
10.1.10★已知:直角梯形ABCD ,AD BC ∥,AB BC ⊥,AB BC =,E 是AB 上一点,AE AD =,75CEB ∠=?,求ECD ∠．
A
D
E B
C
解析 如图,连结AC ,则由AB BC =,AB BC ⊥,得45BAC DAC ∠=?=∠． 又AE AD =,故AEC △≌ADC ,EC CD =．
又180754560DEC ∠=?-?-?=?,故DEC △为正三角形,于是60ECD ∠=?．
10.1.11★★在四边形ABCD 中,60A ∠=?,90B D ∠=∠=?,2AB =,1CD =,求BC 、AD 和BD 的长．
A
C
E
D
解析 如图,延长AD 、BC 至E ,则60DCE ∠=?,22CE CD ==．
又60A ∠=?,
故BE =
2BC =,又4AE =
,CE ,
故4AD =．
至于求BD ,有多种方法,如勾股定理或余弦定理,也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质:
AC ==
,sin 60BD AC =??=
§10.2 正方形
10.2.1★在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为CD 上的点,且AF BC CF =+．求证:2BAF BAE ∠=∠．
A
D
B
E
C
F
P
解析 如图,延长AE 、DC ,设交于P ,则BE CE =得CP AB BC ==,FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠,即2BAF BAE ∠=∠．
10.2.2★正方形边长等于1,通过它的中心引一条直线,求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方
和的取值范围．
A
M
D
O
N
B
C
l
解析 如图,设O 是正方形ABCD 的中心,l 通过O ,AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ． 由于90MAO AOM DON ∠=?-∠=∠,AO OD =,故AMO △≌OND △,
222221
2
AM DN AM MO AO +=+==．
对B 、C 的垂线也有类似结论,因此所求距离的平方和是常数1．
10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ,BAC ∠的平分线交BD 于G ,交BC 于F ,求证:2
CF
OG =． 解析 如图,作OE FC ∥,交AF 于E ,OE 为ACF △中位线,2CF EO =． 问题变为证明EO GO =．
因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=?+∠=∠+?=∠,于是结论成立．
A
D
E O
G B
F
C
10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点,且CM 与BN 交于P ,求证:PA AB =． 解析 如图,由MD CN =知BNC △≌CMD △,故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=?,故
CM BN ⊥．延长CM 、BA ,设交于Q ,则QA CD AD ==,A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点,于是
AP AB =．
Q
A
D
M
B
C
N P
题10.2.4
10.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列),求证:这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．
题10.2.5
M
A
Q
B
P C
D
R
S
L
K
解析 如图,设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．
由于DA AB =,AK AM =,90DAM BAM BAK ∠=?+∠=∠,于是DAM △≌BAK △,由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥,12
SP KB RQ ∥∥,故四边形PQRS 为正方形．
10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点,若2
2
2
2
AB MA MB -=,90CMB ∠=?,求MCD ∠．
解析 如图,作MN AB ⊥于N ,则22222
,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ?-=-=
???+=?
A
D
B
L
C
M
N
解得34AN AB =,14
BN AB =． 不妨设3AN =,3BN =,MN x =,则
()2
2229(4)DM AN AD MN x =+-=+-, ()2
222()14CM BN CM MN x =+-=+-,
由条件90CMD ∠=?,知222DM CM CD +=,即()2
102416x +-=,
解得4x = 又作ML BC ⊥于L ,
于是4LC x =-=,1ML NB ==,故60MCD LMC ∠=∠=?．
10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点,P 是BD 上异于O 的任一点,PE AD ⊥于E ,PF AB
⊥
于F ,G 是EO 的延长线和BC 的交点,求OFG ∠．
C
G
B O
P
F
D
E
A
解析 如图,易知AF EP ED ==,AO DO =,45FAO EDO ∠=?=∠,于是AFO △≌DEO △≌BGO △,于是OF OG =,90AOB FOG ∠=?-∠,故OFG △为等腰直角三角形,45OFG ∠=?．
10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点,点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =,证明:90KLD ∠=?．
解析 连结BL ,由正方形关于AC 对称,知BL DL =．
又作LJ AB ⊥于J ,由3AL LC =,易知1142
JB AB KB ==,故J 为KB 中点,JL 垂直平分KB ,于是
LK LB =,LKB LBK ADL ∠=∠=∠,或180AKL ADL ∠+∠=?,故90KLD ∠=?．
A E
D
F
P
O
B G
C
10.2.9★已知ABC △,向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ,反向延长交FH 于M ,求证:M 是FH 的中点．
解析 如图,作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直,垂足为Q 、P ．
P H
M
F
Q A
E
B
K
C G
易见,90QFA QAF BAK ∠=?-∠=∠,又90FQA AKB ∠=?=∠,FA AB =,故有AQF △≌BKA △,FQ AK =,同
理PH AK =,于是FQ PH =,FM MH =．
10.2.10★已知:正方形ABCD 中,E 、F 分别在BC 、CD 上,AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=?,求证:
AG AB =．反之,若AG AB =,则45EAF ∠=?．
解析 如图,延长CB 至H ,使BH DF =,连结AH ,则AHB △≌
AFD △,90HAF BAD ∠=∠=?,904545HAE EAF ∠=?-?=?=∠,又AH AF =,AE AE =,故AHE △≌AFE △,AB 、AG 为其对应
边上的高,于是AG AB =．
A
D F G
H B E C
反之,若AG AB =,则Rt ABE △≌Rt AGE △,EAG BAE ∠=∠,同理,FAG DAF ∠=∠,于是
1
452
EAF BAD ∠=∠=?．
10.2.11★★在梯形ABCD 中,AD BC ∥(BC >AD ),90D ∠=?,12BC CD ==,E 在边CD 上,45ABE ∠=?,若10AE =,求CE 的长．
解析 延长DA 至M ,使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥,G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形,所以
BC BG =．又CBE GBM ∠=∠,Rt BEC △≌Rt BMG △,故BM BE =．
又45ABE ABM ∠=∠=?,故ABE △≌ABM △,10AM AE ==． 设CE x =,则10AG x =-,()12102AD x x =--=+,12DE x =-．
在Rt ADE △中,222AE AD DE =+,故()()2
2
100212x x =++-,即210240x x -+=,解之,得14x =,26x =．故
CE 的长为4或6．
D
E
C B
A
G
M
10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ,过C 作CQ DM ⊥于Q ,且延长交AB 于N ,设正
方形对角线的交点为O ,连结OM 、ON ,求证:OM ON ⊥．
解析 如图,易知MDC NCB ∠=∠,故DMC △≌CNB △,故NB MC =,又45NBO OCM ∠=?=∠,BO CO =,于是ONB △≌OMC △,90NOM BOC ∠=∠=?．
\A
D
B
C
M
Q
O
N
10.2.13★★四边形ABCD 是正方形,四边形ACEF 是菱形,E 、F 、B 在一直线上．求证:AE 、AF 三等分CAB ∠．
解析 如图,作BM 、FN 与AC 垂直,垂足为M 、N ,于是由AB BF ∥知1122
FN BM AC AF ===,于是30FAC ∠=?．又45CAB ∠=?,于是15BAF ∠=?,15FAE CAE ∠=∠=?,AE 、AF 三等分CAB ∠．
A
D
B
C
M
N
F
E
初中数学竞赛专题:图论初步
29.1.1* 某大型晚会有2009个人参加,已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明:必有一个人至少认识其中的二个人．
解析 2009这个数目较大,我们先考虑:某小型晚会有5人参加,已知他们每个人至少认识其中的一个人．证明:必有一个人至少认识其中的二个人．
用5个点1v 、2v 、3v 、4v 、5v 表示5个人,如果两个人彼此认识（本章中的“认识”都是指相互认识）,就在表示这两个人的顶点之间连一条边．对顶点功来说,由于1v 所表示的人至少认识其他4个人的一个,不妨设1v 与2v 认识,即1v 和2v 相邻,同样,设3v 与4v 相邻,如图所示．对于顶点5v 来说,无论它与1v 、2v 、3v 、4v 哪个相邻,都会出现一个顶点引出两条边的情况．于是问题得以解决．
v 1
v
v 3
v 4
v 5
用同样的方法可以证明,对2009个人来说,命题成立．其实,把2009换成任意一个大于l 的奇数,命题也成立．
29.1.2* 在一间房子里有n （n >3）个人,至少有一个人没有和房子里每个人握手,房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是多少？
解析 用n 个顶点表示n 个人,若某两个人握过手,就在他们相应的顶点之间连一条边,这样就得到了一个图G ．因为不是任何两个人都握过手,所以G 的边数最多是完全图n K （即n 个点每两点之间恰连一条边）的边数减1,去掉的那条边的两个端点v 和v '所表示的两个人未握过手．所以房子里可能与每个人都握手的人数的最大值是2n -．
29.1.3*** 九名数学家在一次国际数学会议上相遇,发现他们中的任意三个人中,至少有两个人可以用同一种语言对话．如果每个数学家至多可说三种语言,证明至少有三个数学家可以用同一种语言对话．
解析 用9个点1v ,2v ,…,9v 表示这九名数学家,如果某两个数学家能用某种语言对话,就在他们相应的顶点之间连一条边并涂以相应的颜色．我们要证明的是:存在三个顶点i v 、j v 、k v ,使得边（i v ,j v ）和（i v ,k v ）是同色的．这样的,i v 、j v 、k v 这三名数学家就能用同一种语言对话．
下面就顶点1v ,分两种情形:
（1）1v 与2v ,…,9v 均相邻,由于每个数学家至多能说三种语言,所以每一个顶点引出的边的颜色至多是三种．根据抽屉原理知,从1v 发出的8条边中至少有2条是同色的,不妨设为（1v ,2v ）、（1v ,3v ）．于是1v 、2v 、3v 所表示的三名数学家能用同一种语言对话．见图（a ）．
(a)
(b)
v
3v 4
5
6
9
v 3
2v
(c)
v 1
v 2
v 3
v 4
v 5
v 6
v 7
v 8
1
2
3
4
56
7910
11
12
8
（2）1v 与2v ,3v ,…,9v 中的至少一点不相邻,不妨设功与功不相邻．由于任意三个数学家中,至少有两个人可以用同一种语言对话,所以,3v ,4v ,…,9v 中的每一个不是和研相邻就是和功相邻,根据抽屉原理可知,其中至少有4个点与1v 或2v 相邻．不妨设3v 、4v 、5v 、6v 与1v 相邻,如图（b ）,再对1v 引出的这4条边用抽屉原理可得,至少有2条边是同色的,设为（1v ,3v ）、（1v ,4v ）．于是1v 、
3v 、4v 所表示的三名数学家能用同一种语言对话．
评注 若本题中的九改成八,则命题不成立．反例如图（c ）所示．图中每条边旁的数字表示不同的语种．
29.1.4** 证明任何一群人中,至少有两个人,它们的朋友数目相同．
解析 设任意给定的一群人有n 个．用顶点表示这n 个人．当且仅当顶点u 、v 表示的两个人是朋友时令u 、v 相邻,得到n 个顶点的简单图G ．
对G 中任意x ,由于它可以和其他1n -个顶点相邻,所以顶点x 的度d （x ）满足()01d x n -≤≤,即图G 的顶点度只能是n 个非负数0,1,…,1n -中的一个．如果图G 的顶点的度都不相同,则图G 具有0度顶点u 和1n -度顶点v ．1n -度顶点和G 中其他顶点都相邻,特别地和顶点u 相邻．但0度顶点u 和G 中任何顶点都不相邻,矛盾．这就证明了G 中必定有两个顶点,它们的度相同．也
就是说,这群人必有两个人,他们的朋友一样多．
29.1.5*** 有一个参观团,其中任意四个成员中总有一名成员原先见过其他三名成员．证明:在任意四名成员中,总有一名成员原先见过所有成员．
解析 用图论语言表示即:图G 的任意四点中至少有一个顶点和其他三个顶点相邻．证明图G 任意四个顶点中至少一个顶点和G 中其他所有顶点都相邻．
用反证法．如果命题不成立,则G 中有四个点x 、y 、z 、w ,它们和图G 中的其他所有顶点不都相邻．于是存在四个顶点x '、y '、z '、w '（不一定不同）它们依次与x 、y 、z 、w 都不相邻．如图．所以x '不是y 、z 、w 中的一个,且y '与x 是两个不同的顶点．
如果y '与x '不同,则x 、y 、x '、y '中没有一个顶点和其他三个顶点都相邻,和已知矛盾．所以y '和x '重合．同理可证,z '和x '重合．于是x '和y '、z 、w 都不相邻,和已知矛盾． 这就证明了图G 中任意四个顶点中至少有一个顶点和G 的其他所有顶点都相邻．
x'
y'
z'
w'
x
w
z
29.1.6** 是否存在这样的多面体,它有奇数个面,每个面有奇数条棱？
解析 不存在这样的多面体．事实上,如果这样的多面体存在,那么用顶点表示这个多面体的面,并且仅当i v 、j v 所代表的两个面有公共棱时,在图G 相应的两顶点之间连一条边,依题意()d v 是奇数,于是奇数个奇数和也是奇数．而这一个图中的顶点的和为偶数矛盾．
评注 关于图G 的顶点和边数之间的关系,有如下定理:图G 中边数的两倍等于顶点度数之和．即若G 中n 个顶点为1v ,2v ,…,n v ,边数为e ,则
()()()122n d v d v d v e ?+++=．
29.1.7* n 名选手进行对抗赛,每名选手至多赛一场,每场两名选手参加,已赛完1n +场．证明:至少有一名选手赛过三次．
解析 把选手看成顶点．当且仅当i v 、j v 所代表的两名选手比赛过时,令i v 、j v 相邻,得到含n 个顶点的简单图．由于总共赛过1n +场,所以,图G 的边数是1n +．于是
()()()()1221n d v d v d v n ?+++=+．
如果图G 中所有顶点的度都不超过2,则由上式得到
()()()()12212n n d v d v d v n ?+=+++≤,
这不可能．因此图G 中至少有一个顶点x ,它的度至少是3．于是,顶点x 所表示的选手至少赛过三次．
29.1.8** 一航空线路共连结50个城市,现要求从一个城市到另一城市至多需换乘两次飞机,问航空线路最少要多少条（任两城市之间的航空线路数为0或1）？
解析 不妨将50个城市看成50个点,它们之间连的线构成一连通图．图论告诉我们,如果每一点的度（即出发的线条数）至少为2,则由于边数为点度之和的一半,其数值不小于50；若有一个点的度为1（显然连通图不存在度为0的孤立点）,则可通过删去该点证明。边数必须至少为49,否则图就不连通（只需对剩下的图不断进行上述处理过程）．于是找到一个城市为中转站,其他城市与之相连,构成一“星形”即可．故线路最少要49条．
…
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 49
A 50
29.1.9 已知九个人1A ,2A ,…,9A 中,1A 和两个人握过手,2A 、3A 各和四个人握过手,4A 、5A 、6A 、7A 各和五个人握过手,8A 、9A 各和六个人握过手．证明:这九个人中一定可以找出三个人,他们相互握过手．
解析 用9个点1v ,2v ,…,9v 表示1A ,2A ,…,9A 这九个人,若两个人握过手,就在他们相应的顶点之间连一条边,这样便得到了一个图G ．因为()96d v =,所以存在一个不同于1v ,2v ,3v 的点i v 与j v 相邻．显然()i d v ≥5．考虑与功相邻的另外5个点,若其中任意一点都不与i v 相邻,则
()9153i d v --=≤,
这不可能．故必有一点j v 与i v 相邻,从而9v 、i v 、j v 两两相邻．即它们表示的三个人互相握过手． 29.1.10* 参加某次学术讨论会的共有263个人,已知每个人至少和三位与会者讨论过问题．证明:至少有一个人和四位或四位以上的学者讨论过问题．
解析 用点1v ,2v ,…,263v 表示263个人,两个人讨论过问题,就在相应的点之间连一条边,得图
G ．在图G 中,任一顶点的次数≥3．若没有一个顶点的次数≥4,则G 中的所有顶点的次数都是
3．于是()()()122633263789d v d v d v ?+++=?=,是一个奇数,而这应是一个偶数,所以至少有一个顶点的次数≥4．于是命题得证．
29.1.11*** 某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛,每人至少上场一次．求证:必有
六场比赛,其12个参赛者各不相同．
解析 用20个点表示这20名俱乐部成员,14条边表示14场比赛,得图G ．根据题意,
()1i d v ≥,1i =,2, (20)
于是
()()()122021428d v d v d v ?+++=?=．
今在每个顶点i v 处抹去()1i d v -条边（一条边可以同时在其两端点处被抹去）,抹去的边数不超过
()()()()()1
22011128208d v
d v d v ?-+-++-=-=．
故余下的图G '中至少还有6条边,且G '中每个顶点的次数都≤1,所以这6场比赛的参赛者各不相同．
29.1.12*** 34个城市参加双人舞比赛（每个城市一男一女）,赛前,某些选手互相握手．同一城市的两人不握手．后来,来自A 城的男选手问其他参赛选手他们与人握手的次数,得到的答案都不相同．问A 城女选手和多少人握过手？
解析 用顶点表示参赛选手．对于u 、v ,当且仅当u 、v 所表示的两名队员握过手时,令它们相邻,得到一个68个顶点的简单图G ．由于同一个的两名队员之间不握手,所以对任意
u ,()66d u ≤．A 城男选手用x 表示．图G 中除x 外尚有67个点,它们的度各不相同,因此必有一
个点度为0()()0d v =,即v 和G 中其他顶点不相邻．所以若顶点w 表示的选手和顶点v 所表示的选手来自一个城市,则()66d w =．
从图G 中去掉v 和w ,得到含66个顶点的图1G ．则x 是1G 中的顶点,并且除x 外,其他顶点的度也都不相同．因此和前述证明相同,1G 含有度分别为0和64的顶点p 和q ,它们在原来图G 中的度分别为1和65．如此继续,可证0≤j ≤33,图G 中含有顶点j x 、j y ,它们的度分别为j 和66j -,而且所代表的选手来自同一城市,其中33x x =,所以()3333d x =．因此A 城女选手握手次数为33． 评注 本题证明中,将G 的顶点编号,按度的非降次序（1d ≤2d ≤…≤n d ）排列,得到（1d ,2d ,…,n d ）称为图G 的度序列．利用度序列解题是一种重要方法．
29.1.13*** 有一个团体会议,有100人参加．其中任意四个人都至少有一个人认识三人．问:该团体中认识其他所有人的成员最少有多少？
解析 先把问题翻译成图论语言．把该团体的成员视为顶点．对于任意两个顶点u 、v 所代表的成员,当且仅当彼此认识,则在u 、v 之间联一条边（即相邻）．得到一个含100个顶点的简单
图G ．已知条件是,图G 中任意四个顶点中都至少有一顶点和其他三个顶点相邻．要求图G 中度为99的顶点个数的最小值m ．
当图G 是完全图时,每个顶点的度都是99,所以有100个度为99的顶点．
当图G 是非完全图时,图G 中必有两个不相邻的顶点u 和v ．显然()98d u ≤,()98d v ≤．因此图G 中度为99的点的个数l ≤98．
如果G 中除u 和v 外另有两个顶点x 、y 不相邻,则u 、v 、x 和y 中不存在和其他三个顶点都相邻的顶点,与题意矛盾．因此G 中除u 、v 外任意两个顶点相邻．这说明对G 中除u 、v 外的任意点x ,均有()d x ≥97．
如果G 中除u 、v 外的任何x 都和u 、v 相邻,则()99d x =．此时G 中度为99的顶点个数为98． 设G 中除u 、v 外有个顶点x 和u 、v 不都相邻,则有G 的性质知,G 中除u 、v 、x 外的任意顶点y 和u 、v 、x 都相邻．因此()d u ≤98,()d v ≤98,()d x ≤98,()d y ＝99．所以G 中度为99的顶点个数为97．
这表明含100个顶点的简单图G 中,如果任意四个顶点中必有一个顶点和其他三个顶点都相邻,那么G 中至少有97个度为99的顶点．
回到原问题,即得:该团体中认识其他所有人的成员最少是97个．
评注 本题中的成员数100改为任意的n ,其他条件不变,则结论为该团体至少有3n -人认识其他所有人．
29.1.14*** 毕业舞会有男女学生各n 人参加,2n >．每个男生都和一些但不是全部的女生跳过舞,每个女生也都和一些但非全部的男生跳过舞．证明:总有两名男生1B 、2B 和两名女生1G 、2G ,使得1B 和1G ,2B 和2G 跳过舞,但1B 和2G ,2B 和1G 都未跳过舞．
解析 用顶点表示参加舞会的学生,男生的全体用X 来表示,女生的全体用Y 来表示．对任意的
x 、y ,当且仅当所表示的男生和女生跳过舞时令x 、y 相邻．X 的顶点之间以及Y 的顶点之间
都不相邻．
已知对任意的x 、y ,都有()0d x n <<,()0d y n <<,要证明图G 中含有两条没有公共端点的边． 设1x 是X 中度最大的顶点,在与1x 不相邻的Y 的顶点中任选2y ．由于2y 和1x 不相邻,且()0d y n <<,所以2y 和X 中某个2x 相邻．如果2x 和所有与1x 相邻的顶点相邻,则()()211d x d x +≥,与1x 是X 中度最大的顶点矛盾．因此,必有1y 是1x 的顶点但和2x 不相邻．于是边11x y 、22x y 没有公共端点． 评注 本题解法有一定典型性,抓住图G 中度最大的顶点来解决问题．当然,有时也可以从图G 中度最小的顶点入手．
29.1.15*** 设1A ,2A ,3A ,…,6A 是平面上的6点,其中任3点不共线．如果这些点之间任意连结了13条线段,求证:必存在4点,它们每两点之间都有线段连结．
解折 将已连结的13条线段全染成红色,还未连上的两条用蓝线连上（因为所有两点连一线段时应该共有15条）．于是必有一个同色三角形,现在的蓝色线只有两条,所以同色三角形必为红色的．不妨设△123A A A 是红色的．
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
从4A 、5A 、6A 引向△123A A A 顶点各有3条,这9条线段中最多只有2条蓝色,起码有7条是红色的,因此,或者是4A ,或者是5A ,或者是6A ,引向△123A A A 顶点的线段全是红色．比如说,41A A 、42A A 、
43A A 全是红色,那么4点1A 、2A 、3A 、4A 的每2点连线全是红色的,命题得证．
29.1.16** 在某城有若干栋（>2）独家住宅,其中每栋住宅住有1人．在一个好天气,每个人都将自己的家搬迁了一次．搬迁后每家仍住1人,只是大家都调换了住宅．证明:在搬迁之后,可将这些住宅分别漆上蓝色、绿色和红色,使得对于每个主人来说,他的新居和旧居颜色不一样． 解析 将住宅一一编号,使得第一座住宅搬出来的人住进第二座住宅,第二座住宅出来的人住进第三座住宅……于是一定存在一个自,使得第矗座住宅搬出的人住进第1座住宅．这是个人形成一个“圈”．如果志为偶数,显然只需要2种颜色,如果＆是奇数,3种颜色足够了．然后再考虑其他人,最后形成一个个互相独立的“圈”（当然也可能只有一个）,每个圈独自处理即可． 29.1.17*** 某俱乐部共有99名成员,每一个成员都声称只愿意和自己认识的人一起打桥牌．已知每个成员都至少认识67名成员．证明一定有4名成员,他们可以在一起打桥牌．
解析 作一个图G :用99个点表示99名成员,如果两名成员相互认识,就在相应的两个顶点之间连一条边．已知条件是:对任意顶点v ,()d v ≥67．欲证G 中含有一个4阶完全图4K ． 在G 中任取一个顶点u ,由于()d u ≥67,所以存在顶点v ,使得与v 相邻且与u 不相邻的顶点至多为（99－1－67＝）31个．同样,与v 不相邻且与u 相邻的顶点也至多31个．于是图G 中至少有（99－31－31－2＝）35个顶点和u 、v 均相邻．如图所示,设顶点x 和顶点u 、v 均相邻．由于
()d x ≥67,并且G 中至多只有（3l+31+2＝）64个不同时和u 、v 均相邻的顶点,因此顶点x 至少
还和一个与u 、v 均相邻的顶点y 相邻．从而u 、v 、x 、y 是4个两两相邻的顶点．于是命题
得证．
…………
≤31≤31
≥35
评注l若将题中的67人改为66人,则不一定能找出4个互相认识的人来．反例如图所示．将
顶点集V分成三个子集{
1
v,
2
v,…,
33
v},{
34
v,
35
v,…,
66
v},{
67
v,
68
v,…,
99
v）．同一个子集中任意两顶点均不相邻,不同子集中的任意两点均相邻．显然每个顶点的度都是66,任意4点中,至少有2点属于同一子集,从而它们不相邻．也就是说图中不存在两两相邻的4顶点．
评注2本题可推广为:
俱乐部有n（n≥4）人,其中每人都至少认识其中的21
3
n
??
+
??
??
个人,则在这n个人中必定可以找到4个人,他们是两两认识的．
29.1.18*** 已知五个城市两两相连所得的10条道路中,至少有一个交叉路口,如图（a）．又已知三个村庄和三个城市相连所需的9条道路中,至少有一个交叉路口,如图（b）．利用上述结论,问:用15条道路把六个城市两两相连,至少会产生多少个交叉路口？
解析如图（c）,至少会有3个交叉路口．
假设最多只有两个交叉路口．我们可以去掉两条路使其余的路不产生交叉路口．考虑以下两种情况．
(a)
(b)(c)
（1）若去掉的路与同一个城市相连．
考虑其余的五个城市,它们两两相连．但是根据已知条件,至少有一个交叉路口,矛盾．
（2）若去掉的两条路不与同一个城市相连．
选取其中一条去掉的路所关联的两个城市,再取一个与去掉的路不相连的城市,称这三个城市为村庄．则这三个村庄和三个城市有路相连．由已知条件,必有一个交叉路口,矛盾．
初中数学竞赛专题:线段与角
§8．1线段与角度
8．1．1★在线段AB上有P、Q两点,26
PQ=,求BQ的长．
AB=,14
AP=,11
解析有两种情况:点P相邻于点A,或点P相邻于点B．
(1)当点P相邻于点A时,如图(a)所示,此时2614111
=--=--=．
BQ AB AP PQ
P Q A Q P B
A B
图(a)图(b)
(2)当点P与点B相邻时,如图(b)所示,此时26141123
=-+=-+=．
BQ AB AP PQ
8．1．2★如图,已知57AC CB =,5
11
AD CB =
,AB 的长是66厘米,求CD 之长． 解析由于CD AC AD =-,AC 、AD 又与BC 有关,所以,只要求出BC 的长即可．
A
D
C
B
因为AB AC CB =+,所以
512
77
AB CB CB CB =+=．
因为66AB =（厘米）,所以,77
2
CB =
（厘米）, 55572AC CB =
（厘米）,535
112
AD CB ==（厘米）,因此 5535
1022
CD AC AD =-=
-=（厘米）
． 8．1．3★如图,B 、C 、D 依次是线段AE 上的三点,已知8.9AE =厘米,3BD =厘米,则图中以A 、
B 、
C 、
D 、
E 这5个点为端点的所有线段长度之和等于多少厘米？
A
B
C
D
E
解析以A 、B 、C 、D 、E 为端点的线段共十条,所以所有线段长度之和为
46AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE AB BC +++++++++=++
()()64464()64248.92341.6CD DE AB DE BC CD AE BD BD AE BD +=+++=-+=+=?+?=（厘米）．
8．1．4★★将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形．
问其中最长的一段的取值范围．
解析设AB 是所围成的五边形ABCDE 的某一边（如图）,而线段BC 、CD 、DE 、EA 则可看成是点A 、B 之间的一条折线,因此,
A
B
C
D
E
AB BC CD DE EA <+++．
2020年初中数学竞赛讲义：第11讲-双曲线
第十一讲 双曲线 形如x k y =(0≠k )的函数叫做反比例函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相关的知识有： 1． 双曲线解析式x k y =中的系数k 决定图象的大致位置及y 随x 变化的状况． 2．双曲线图象上的点是关于原点O 成中心对称，在k >0时函数的图象关于直线x y =轴对称；在k <0时函数的图象关于直线x y -=轴对称． 3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴． 【例题求解】 【例1】 已知反比例函数x k y =的图象与直线x y 2=和1+=x y 过同一点，则当0>x 时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 (填增大或减小)． 思路点拨 确定k 的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可． 注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点O 中心称，关于x y ±=轴对称)，这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性． (2)一个常用命题：
如图，设点A 是反比例函数x k y =(0≠k )的图象上一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，过A 作AC ⊥y 轴于C ，则 ①S △AOB =k 2 1； ②S 矩形OBAC =k ． 【例2】 如图，正比例函数kx y = (0>k )与反比例函数x y 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，连结BC ，若S △ABC 的面积为S ，则( ) A ．S=1 B ．S =2 C ．S=k D ．S=2k 思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S △AOB 与S △OBC 的关系． 【例3】 如图，已知一次函数8+-=x y 和反比例函数x k y =(0≠k )的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B ． (1)求实数k 的取值范围； (2)若△AOB 面积S ＝24，求k 的值． 思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解； (2)S △AOB= S △COB S- S △COA ，建立k 的方程．
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起
第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ． 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、
BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键． 【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]
专题10 最优化 例1. 4 提示：原式=1 12 - 62 -+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22 +16+3y 2 =142 +4+3是开口向上，对称轴为7 1 -=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a +?）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则?? ? ??=--=413 172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-， 4 13 ） 例4. （1） 121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（ x .当=4 3时，y 2 取得最大值1，a =1； 当21= x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=2 3. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2. 10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x 当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有 22 4 ===DA EB CA BC , 从而=AC = 3831=AB .故原式取最小值时，=3 8. (3)如图， 原式= [] 22222 2 2)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录
专题01 二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. =x , y , n 都是正整数） 例题与求解 【例1】 当x = 时，代数式32003 (420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、2003 2- （绍兴市竞赛试题） 【例2】 化简 （1(b a b ab b -÷-- （黄冈市中考试题） （2 （五城市联赛试题）
（3 （北京市竞赛试题） （4 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例3】比6大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y == 想一想：设x=求 432 32 621823 7515 x x x x x x x --++ -++ 的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
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初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第14讲图第14讲图表信息问题51
第十四讲图表信息问题 21世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息，是新世纪对一个合格公民提出的基本要求． 图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题情境的一类试题． 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后运用数形结合、待定系数法等方法解决问题． 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息，解题中需通过对表中的数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题． 【例题求解】 【例1】一慢车和一快车沿相同的路线从A到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示，试根据图象，回答下列问题： (1)慢车比快车早出发小时，快车追上慢车时行驶了千米，快车比慢车 早小时到达6地； (2)快车追上慢车需小时，慢车、快车的速度分别为千米／时； (3)A、B两地间的路程是． 思路点拨对于(2)，设快车追上慢车需t小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t的方程． 注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取． 【例2】已知二次函数c + =2的图象如图，并设M=b y+ ax bx + + - + 2， +2 - - + a a- a c b b b c a 则( ) A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定M为正、为负或为0 思路点拨由抛物线的位置判定a、b、c的符号，并由1 x，推出相应y值的正负性． = ±
初中数学竞赛专题分类解析第四讲：平行四边形和梯形讲义
初中数学竞赛公益讲座：平行四边形和梯形 2018/4/7 一、基础知识： 1）平行四边形：平移、中点、中心对称（旋转180度）2）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 3）梯形：梯形问题转化、分割、拼接 三角形或者平行四边形问题 二、例题分析 例1、如下左图，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连 接DE，恰有AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度数。 例2、如上右图，在RT△ABC中，∠ACB是直角，CD⊥AB于D，AE平分∠ABC，交CD于K，F在BE上且BF=CE，求证：FK?AB。 例3、如下左图，△ABC内部一点P，满足∠PBA=∠PCA，作平行四边形PBQC，求证：∠QAB=∠PAC。
例4、如上右图，已知A、B是两个定点，C是位于直线AB某一侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABCDE外部作正方形CADI、CBEF，求证无论C点 在什么位置上，DE的中点M的位置不变。 例5、如下左图，梯形ABCD中，AB?CD，BC⊥CD，AB=2，CD=4，点E是BC上的一个动点，连接并延长EA到点F，使得EF:AE=2:1，连接并延长ED到点G，使得EG:ED=3:2，以EF和EG为临边作平行四边形EFHG，连接EH交AD于点P，1）求EH的最小长度；2）求证：P是定点。 例6、如上右图，四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连接BF、CE交于点P，连接AF、DE交于点Q，若四边形EQFP是平行四边形，求证： 四边形ABCD是梯形。 例7、如下图，等腰梯形ABCD，对角线AC与BD交于点O，M 、N分别为腰AB和CD上的点，且AM=CN，连接MN分别交BD、AC于点P、Q，求证： MP=QN。
南开中学初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛辅导资料 第一讲数的整除 一、容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位4x能被4整除时，x＝0，4，8 ∴x＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积） ①756②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 987能被3整除，那么 a=_______________ 2、若四位数a x能被11整除，那么x＝__________ 3、若五位数1234 35m能被25整除 4、当m=_________时，5 9610能被7整除 5、当n=__________时，n 6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。 8、8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除 但不是5的倍数的共______个。 10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3 整除的数共有几个？为什么？
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第15讲 统计的思想方法
第十五讲 统计的思想方法 20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求． 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学． 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律． 【例题求解】 【例1】 现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示． (1)由观察所得， 班的标准差较大； (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分才可以及格． 思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案． 注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的： (1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势． 【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A ．2a+3b B ．b a +3 2 C ．6a+9b D ．2a+b 思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编
专题 25 配方法 阅读与思考 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能 联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】 若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的 最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学
第八讲由常量数学到变量数学 数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期． 函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法． 在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题． 【例题求解】 【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角形，则点P的个数为． 思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x 的方程． 注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有： (1)利用几何计算求； (2)通过解析式求； (3)解由解析式联立的方程组求． 【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后， 继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的 函数关系，大致是下列图象中的() 思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0 h． 注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题16 不等式
专题16 不等式（组） 阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在： 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”. 例题与求解 【例1】已知关于x 的不等式组?????<-+->-+x t x x x 2 35 35 2恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2 116-≤≤-t (2013 年全国初中数学竞赛广东省试题） 解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式7 10 05)2(< >---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 . （黑龙江省哈尔滨市竞赛试题） 解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组?? ?=+=-6 2y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值. （天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围. 【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值. （江苏省竞赛试题） 解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第1讲 走进追问求根公式
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==。
初中数学竞赛辅导讲义全
专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解：
全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义(28—33)讲
全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5 华杯赛计数专题：排列组合 基础知识： 1.排列：从n个对象中选出m（不超过n）个并进行排序，共有的方法数称为排列数，写成。 2.排列数的计算：约定：0!=1 排列数是由乘法原理得到的，因此排列可以看成是乘法原理的一种应用。 3.组合：从n个对象中选出m（不超过n）个，不进行排序，共有的方法数称为组合数，写成。 4.排列与组合的关系：。 5.组合数的计算： 6.排列数与组合数的一些性质： 例题： 例1.4名男生和3名女生站成一排: （1）一共有多少种不同的站法? （2）甲,乙二人必须站在两端的排法有多少种? （3）甲,乙二人不能站在两端的排法有多少种? （4）甲不排头,也不排尾,有多少种排法? （5）甲只能排头或排尾,有多少种排法? 【答案】（1）5040；（2）240；（3）2400；（4）3600；（5）略 【解答】 例2.在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共多少种？ 【答案】4186种 【解答】至少有3件是次品，分两种情况 第一种情况：3件是次品的抽法：从4件次品中中抽出3件是种，其中， ，然后，从46件正常品中抽2件，总共种。其中， 所以，3件是次品的抽法共种。 第二种情况：4件是次品的抽法共：种。 任意抽出5件产品，至少有3件是次品的抽法，是将上述两种情况加在一起， 所以，总共是4×23×45+46=23×182=4186种。 总结：有序是排列，无序是组合。 例3.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种？ 【答案】540种 【解答】可设三所学校为甲、乙、丙，三位医生去3所学校的分配方案：用排列数表示为 =3×2×1=6。用乘法原理表示为3！=6。 六名护士去学校甲有种选法，剩下4名护士去乙学校，有种选法，剩下两名自然去学校丙。 所以，不同的分配方法共有种。 例4.有多少个五位数，满足其数位上的每个数字均至少出现两次？ 【答案】819 【解答】 方法一： （1）出现一个数字的情况是9种； （2）出现两个数字，首位不能是0，共有9种情况， （i）首位确定之后，如果首位数总共出现3次，则从后面的4个数位中，选出两位，共种情况，剩下的两个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=54种。 （ii）首位确定之后，如果首位数总共出现2次，则从后面的4个数位中，选出一位，总共种情况，剩下的三个数位，还需要选相同的数，因为可以是0，所以，有9种选择。所以，这种情况总共有×9=36种。 所以，出现两个数字的情况为（36+54）×9=810. 第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点 专题10 最优化 阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有： 1．配方法 由非负数性质得()02 ≥±b a ． 2．不等分析法 通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质 对二次函数()02 ≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ； （2）当0 【例3】()2 13 22+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论． 【例4】（1）已知2 11- + -=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求2 2b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题） （2）求使()168422 +-+ +x x 取得最小值的实数x 的值． （全国初中数学联赛试题） （3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等． 【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费( ) ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理 为关于y 的方程．初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：排列组合及答案
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