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高等代数与数学分析的学习体会

摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。

高等代数部分

基本内容：

在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。

其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。

如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

简单体会：

记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。

例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。

因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数

结构的基本定义的真正理解很重要。虽然，我们学习每种代数结构，主要是讨论它的各种性质，并对这些性质加以应用。然而这些性质却都是根据那些基本定义，再加以逻辑推理而得到的。所以，我们只有真正弄懂了定义，才能很好地理解性质，只有理解了性质我们才能运用好性质，进而学习好高等代数。

例如，像第六章的线性空间中的许多证明题，主要就是对定义加以逻辑推理和简单变形，从而得到我们要证明的结论。如果我们对定义不理解，我们往往会无从下手。

高等代数与后学课程联系：

当然，高等代数与很多后学课程都有联系，但这里我只讲其中最常见的两种情况。

（1）多项式函数与后学课程的联系

多项式函数无疑是各种函数中最简单的一类。因此在处理一些比较复杂的函数问题时，如果直接对其研究，我们总是无从入手，这时我们就会想到用多项式函数去近似代替它。

这里最典型的例子就是数值分析中的多项式差值。如：lagrange差值多项式，逐次插值多项式，newton差值多项式,hermite差值多项式等都用到了很多多项式函数的相关理论。

（2）线性方程与后学课程的研究

现实生活中很多问题都可以转化为解方程的问题。而在各类方程中，线性方程与线性方程组又是其中的基础。因此，线性方程与线性方程组的研究往往为各类方程研究的提供帮助。

例如，常微分方程这门课程中的线性微分方程组这一章中，就运用了很多在高等代数中所学的关于线性方程与线性方程组的基本理论。

数学分析部分

基本内容：

数学分析总得来说可以分成五大块：极限，连续性，微分学，积分学，级数。

其中，极限又可分为数列极限和一元函数极限以及多元函数的极限。

微分学又包括一元微分学和多元微分学。

积分学又包括，定积分，不定积分，含参数积分，累次积分，重积分，曲线积分以及曲面积分等。

级数又包括，数项级数，函数项级数，幂级数，傅里叶级数四个部分。

另外，在这五大块当中，又以极限为基础和核心。因为，连续性是由极限来定义的，微分学也是由极限来定义的，积分学的定义中，由分割，求和，作极限三部分组成，极限也参与其中。另外，级数中主要讨论收敛性，而收敛性也是以极限为基础。

简单体会：

在三个学期的数学分析的学习中，刚开始，我觉得数学分析比起高等代数好学很多，因为那时感觉数学分析与高中数学相对接近些。但随着时间的过去，我越来越感到数学分析比高等代数难学；因为渐渐地我发现，数学分析所涉及的内容太多了，对知识点的运用过程中灵活性太大，简直千变万化。

不过数学分析又有一个共同的特性，那就是每一章节的学习总是，先给出基本定义，然后导出一些性质，最后对定义和性质加以运用。因此，数学分析的大部分解题过程也就是对定义和性质的运用过程。所以，在解数学分析问题时，我觉得可以从题目的提问出发，看所求问题可能要用到那些定义或性质，然后再看已知条件与要用到的那些定义或性质中的哪些更接近，进而我们就可以尝试着用这些定义或性质去解决问题。这是一条比较好的解题思路，不过由于数学分析涉及面太广，灵活性太强，如果要较好的学好数学分析，我觉得还必须多做点练习，这样才能掌握基本的和常规的解题技巧。

另外，适当的去了解一些关于数学分析的实际应用，我个人觉得对学好数学分析有较好的帮助。记得大一那时学数学分析的时候，我根本不知道它有啥用，虽然老师也讲过一些它的应用，但那时并不能理解，还是感觉它离现实生活很遥远。所以在学习过程中碰壁时，我总会感觉自己就是在让费时间，因为那时我甚至觉得学了和没学似乎没有啥区别。不过，通过后续课程的学习，了解了它的重要性后，我慢慢改变了过去的想法；并且每次遇到难题时，我总会以“如果我学好了它，那么我也可能解决一些简单的实际问题”的想法来给自己打气，让自己对它保持良好的兴趣。

数学分析与后学课程的联系：

通过三年的学习，我个人觉得，数学分析与后学课程的联系主要有两种情况。

（1）后学课程是对数学分析的研究对象加以推广

例如，数学分析的研究对象都属于实数域，而有些问题，以实数域为范围是无法解的，或者至少是解决起来很复杂的。像高等代数中的那个代数基本定理的证明，就得借助复数理论。基此，数学家们就将数学分析的研究对象加以推广，将其推广到复数域，从而就渐

渐地产生了复变函数。

（2） 后学课程以数学分析中的知识为理论依据，运用其进行一些实际问题的研究。 例如，在数值分析中的拉格朗日多项式插值的余项分析，就是运用罗尔中值定理的理 论行分析和证明的。

如：定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有n+1阶导数, 取插值结点

a ≤x0＜x1＜······＜xn ≤

b 则对任何x ∈[a , b], 满足 Ln(xk) = f(xk) 的 n 次插值多项

式Ln(x) 的误差 ()n R x =(1)1()()()()(1)!

n n n f f x L x w x n ξ++-=+ 其中，101()()()()n n w x x x x x x x +=---，(,)n a b ξ∈ 且与x 有关。

证明: 记101()()()

()n n w x x x x x x x +=--- 由插值条件

Ln(xk) = f(xk) (k = 0,1,…,n)

知存在C(x)使得

f(x) – Ln(x)= C(x) ωn+1(x)

取定 x ∈(a, b), 设 t ∈( a, b ). 构造函数

1()()()()n n F t f t L t Cw t +=--

显然, F(x) = 0, F(xj) = 0, ( j = 0,1,···,n )

F(t) 有(n+2)个相异零点. 根据Rolle 定理, F’(t)在区间(a, b)内至少有 (n +1)个相异零点.

依此类推,F ( n+ 1 )(t) 在区间 ( a, b ) 内至少有

一个零点。故存在 ξ ∈ (a, b), 使F(n+1)(ξ )=0

(1)(1)(

1)(1)1()()()()n n n n n n F t f t L t Cw t +++++=--

(1)()(1)n f C n ξ+-+!=0

C=(1)()(1)!

n f n ξ++ 故得： ()n R x =(1)1()()()()(1)!

n n n f f x L x w x n ξ++-=+