正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象

[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

知识点一 正弦曲线

正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线．

利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．

②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π

2，…，2π等角的正弦线．

③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．

⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．

在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π

2，－1)，

(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．

思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？

答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：

只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．

知识点二 余弦曲线

余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．

要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3

2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．

思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？

答案

题型一 “五点法”作图的应用

例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解 (1)取值列表：

x 0 π

2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x

1

1

2

1

(2)描点连线，如图所示：

跟踪训练1 作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系． 解 按五个关键点列表：

x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x

－1

－1

－2

－1

利用正弦函数的性质描点作图：

由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．

题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．

解 由题意得，x 满足不等式组?????

sin x >0，16－x 2≥0，

即?

????

－4≤x ≤4，

sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．

结合图象可得定义域：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．

跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．

解 由题意得，x 满足不等式组?????

cos x >0

25－x 2≥0，

即?

???

?

cos x >0－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示． 结合图象可得定义域：

x ∈????－5，－32π∪????－π2，π2∪????3

2π，5.

题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数

例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．

解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．

描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．

由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．

跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是 ． 答案 2

解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．

数形结合思想在三角函数中的应用

例4 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．

解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝?

????

3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π].

图象如图，

若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得k 的取值范围是(1,3)．

1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x

D ．直线x ＝π

2

2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，12)

B ．(π

2，1)

C ．(π，0)

D ．(2π，0)

3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1

2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2

＝ .

4．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图．

5．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系．

一、选择题

1．函数y ＝－sin x ，x ∈???

?－π2，3π

2的简图是( )

2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合

B ．形状相同，位置不同

C ．关于y 轴对称

D ．形状不同，位置不同

3．方程sin x ＝x

10

的根的个数是( )

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10 4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )

5．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π

2

)的图象是( )

6．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )

A ．4

B ．8

C ．2π

D ．4π 二、填空题 7．函数y ＝

log 1

2

sin x 的定义域是 ． 8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是 ． 9．函数f (x )＝sin x ＋

1

16－x 2

的定义域为 ． 10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为 ． 三、解答题

11．用“五点法”画出函数y ＝1

2＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．

12．根据y ＝cos x 的图象解不等式： －32≤cos x ≤1

2

，x ∈[0,2π]．

13．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .

当堂检测答案

1．答案 D 2．答案 A 3．答案 3π 解析 如图所示， x 1＋x 2＝2×3π

2＝3π.

4．解 (1)取值列表如下：

x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x

2

1

2

3

2

(2)描点连线，图象如图所示：

5．解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．

由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π

4时，sin x ＝cos x ；

②当π4

4

时，sin x >cos x ；

③当0≤x <π4或5π

4

课时精炼答案

一、选择题 1．答案 D 2．答案 B

解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．

3．答案 A

解析 在同一坐标系内画出y ＝x

10

和y ＝sin x 的图象如图所示：

根据图象可知方程有7个根．

4．答案 D 解析 由题意得

y ＝???

2cos x ，0≤x ≤π2或3

2

π≤x ≤2π，

0，π2

2π.

显然只有D 合适．

5．答案 C

解析 当0≤x <π

2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；

当π

2

2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，

故其图象为C. 6．答案 D

解析 作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．

利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π， ∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二、填空题

7．答案 {x |2k π

解析 由log 1

2sin x ≥0知0

8．答案 ?

???2k π－23π，2k π＋2

3π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－1

2

，结合图象知x ∈????2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .

9．答案 (－4，－π]∪[0，π]

解析 ????? sin x ≥0，16－x 2>0??

???

?

2k π≤x ≤2k π＋π，－4

π4，5π4

解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：

观察图象知x ∈????π4，5π4. 三、解答题

11．解 (1)取值列表如下：

x 0 π2 π 32π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1

2

＋sin x 12

32

12

－12

12

(2)描点、连线，如图所示．

12．解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示： 根据图象可得不等式的解集为 {x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}．

13．解 (1)y ＝|sin x |＝?

????

sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，

－sin x (2k π＋π

(k ∈Z )．

其图象如图所示，

(2)y ＝sin|x |＝?

????

sin x (x ≥0)，

－sin x (x <0).

其图象如图所示，