关于悖论

关于悖论

这个学期所学的两门课程——《离散数学》和《马克思主义基本原理概论》课上，老师们都谈到了“悖论”。何谓“悖论”？康德称作“二律背反”，黑格尔称作辩证矛盾，简而言之就是互相矛盾的命题，即：若从正面论证则推出反面成立，若从反面论证却又推出正面成立，这极大地引起了我的兴趣。

首先整理了一下资料，收集了以下的一些悖论：

一．谎言者悖论。如：“我在说谎”。如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个慌，因此他此时说的是实话；但如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。类似的，“这句话是错误的”，也是同种类型的悖论。

二．理发师悖论。理发师说：“我只给那些不给自己理发的人理发。”同样也是矛盾推理，如果理发师不给自己理发，他就属于他所说的那一类人，则他应该给自己理发。反之，如果理发师给自己理发，由他所说，他就不能给自己理发。

三．集合论悖论。南京理工大学朱保平老师所编的《离散数学(第2版)》第75页中描述：“定义S是由不以自身为元素的集合组成的，问：S是不是一个集合？如果我们假定S 是集合，那么按照集合与对象的关系，S本身或者是自己的元素，或者不是自己的元素，二者居其一且只居其一。若为前者，则S是集合S的元素，所以应该满足S中的元素的性质特征，即S不属于它本身，矛盾。若为后者，则因为S是集合，且S不属于他自己，即S 满足S中的元素的性质特征，故有S属于S，矛盾。”

四．书目悖论。一个图书馆编纂了一本书名字典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那它列不列自己的书名？

五．苏格拉底悖论。“西方孔子”苏格拉底说：“我知道一件事，那就是什么都不知道。”

六．“世界上没有绝对的真理”，我们无法得知这句话是不是“绝对的真理”。

七．阿基里斯悖论。阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄，然而他在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。他们之间的距离可以无限地缩小，但永远不可能追上乌龟。

八．二分法悖论。顾名思义，当一个物体行进一段距离到达D，他必须首先到达距离D 的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一，以至于可以无穷地划分下去。因此这个物体永远不可能到达D。

九．“飞矢不动”悖论。由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬间的位置，它在这个

位置上和不动没有什么区别。那么问题是，无限个静止位置之和就应该还是更大的静止。或者说无限重复的静止位置就是运动？

十．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。语出《庄子》中慧施的一句话。实际上同上面的第八个悖论。

下定义不如打比方，通过上面十个著名的悖论，相信我们都对他们的自相矛盾性产生好奇。比如，为什么会有悖论？悖论能解决吗？

首先第一个问题，为什么会有悖论？我个人也是百思不得其解，我想大概是因为人类的语言描述上不够成熟导致的歧义。在查找资料过程中，中国著名学者、历史学家、经济学家、国际知名政论家何新说过这么一句话：“悖论的根源在于人类语言的不精确性，或者说，语言符号的有限性。”这和我的观点不谋而合！

那么语言到底如何缺陷在哪儿是悖论得以乘虚而入呢？仔细分析上面所列出的第一到第六个悖论，不难发现，我们在描述时，实际上已经将概念指向本身，此时就极容易产生悖论。如说谎者、理发师、集合S、书目书、苏格拉底、“绝对的真理”等等。再分析上面列出的第七到第十个悖论，我们在讨论有限事物的同时引入了“无限”的概念，此时也可引发悖论。如对阿基里斯与乌龟之间有限的距离却进行了无限次的“缩小”、对有限的距离D进行分析时却用无限的思想分析、对有限的飞箭运动却将其划分为无限的瞬间进行分析、对有限的“锤”却进行了无限的“日取其半”等等。

当然我个人觉得悖论的产生，实际上是因为人为地不当使用语言、偷换概念的结果。要避免悖论、避免使得思维和语言陷入自相矛盾、避免语义混乱而不知所云，首先要慎用语言的描述。课堂上，老师也给我们讲过：中国诡辩家公孙龙曾指出过一个著名的命题：白马非马。“白马”是一个大类、集合，而“马”则是另一个类、集合，它们等同则必须要求是“同一属性、完全相同”的关系，此时才能划上“=”。从而推出“白马非马”。实际上，这就是典型的利用语言的歧义或者说符号与符号形式之间的矛盾而构造出来的命题。如上面列出的十个悖论中，要避免如上所示的“概念自指”或者再分析有限事物却不小心引入无限的分析方法。实际上，悖论问题从来没有真正得到过很好的解决，不过是逐渐地，大家意识到应该通过恰当的矛盾陈述，正确地表述问题时，尽量少避免类似的悖论产生罢了。

倘若悖论真地不可避免发生时，黑格尔早就指出，没有简单的回答，回答只能是矛盾的。历史上不乏有人研究过悖论发生的解决方案：在西方，克吕西波，一个著名的斯多葛派，就曾经对这个问题写了六部书，但仍然没能很好解决。另一个柯斯的斐勒塔，就是因为用心研究解除这种进退两难的悖论回答问题操劳过度患病而死。

实际上，说到悖论，就不得不提数学史上的第三次危机：19世纪末20世纪初发生了集合论的悖论，引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题。这种悖论最简略的表述形式之一是，在涉及无限的集合时，整体与部分一样多。例如，南京理工大学朱保平老师主编的《离散数学（第二版）》第125页中说到：“任何一个有限集的真子集的元素个数一定比原集合的元素个数少。但在无限集中，这个结论就不一定成立了。例如B是偶数集，它是自然数集N的真子集·······不难证明，偶数的元素与自然数集的元素的个数是相等的。”简而言之，就是说从一个100L大桶里面倒出10L水给小桶，结果倒完后两桶水量一样又好比如说父亲与儿子年龄一样大，这是一个荒谬的矛盾，然而却被无误地证明出来了······数学史学家M.克莱因描述第三次数学危机的发生过程指出：“20世纪数学中最为深入的活动，是关于数学逻辑基础的探讨。在这个世纪的前期，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合中显得极为突出。这些矛盾的发现显然深深地扰乱了数学家，另外一个逐渐被认识到并在本世纪初显露出来的，是数学的相容性问题。”这就是第三次因悖论导致的数学危机，也是数学史上最严重的一次危机。这一次危机不仅震撼了数学体系的真理基础，而且震撼了传统逻辑关于思维不矛盾的基本信念。

然而关于悖论以及其引发的第三次数学危机，这个问题至今并未得到很好的解决。《马克思主义基本原理概论（2013年修订版）》第47页中说到：“对立统一规律是事物发展的根本规律。”从千年前先哲发现、讨论悖论，到如今人类科学、文化的繁荣发展，可以说无不和悖论有着极大的关系。换一个角度看，谁敢否定悖论在推动人类文明发展进程中起了重要作用呢？

【1】朱保平，《离散数学》，北京理工大学出版社，2014年版

【2】《马克思主义基本原理概论》，高等教育出版社，2013年版