七年级数学有理数(教师讲义带答案)

第一章有理数知识网络结构图

知识点1：有理数的基本概念

中考要求：

有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小

数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小

相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质

绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

知识点总结：

正数、负数、有理数

随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ?和零下4C ?等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数. 正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.

负数：像1-、 3.12-、17

5

-

、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号. 正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量：

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.

有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()???????????

???

??????

正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数

正分数

分数负分数

()()????

??

?

??

??????

正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数

注：⑴正数和零统称为非负数；

⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.

板块一、基本概念 例题讲解

1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）

①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.

A.0

B.1

C.2

D.3 2、下面关于有理数的说法正确的是（ ）． A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类.

B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合

C. 整数和分数统称为有理数

D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值

3、a 和b 是满足ab ≠0的有理数，现有四个命题： ①224a b -+的相反数是224

a b -+；②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；

④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( )

A 、正有理数

B 、负有理数

C 、零

D 、不可能 5、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________；

6、有理数-3，0，20，-1.25，1.75，-∣-12∣，-（-5）中，正整数有________个， 非负数有______个；

7、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______； 绝对值等于本身的数是_______；绝对值等于相反数的数是_________数；一个数的绝对值一定是________数。 8、-2.5的相反数是________，绝对值是________，倒数是________。

9、平方是它本身的数是 ；倒数是它本身的数是 ； 相反数是它本身的数是 ；立方是它本身的数是 。 绝对值小于4的所有整数的和是________；

绝对值大于2且小于5的所有负整数的和是________。

10、在数轴上任取一条长度为1

19999

的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点

的个数为

知识点2：比较大小

比较大小的主要方法：

① 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小． ② 数轴法：数轴右边的数比左边的数大．

③ 作差法：0a b a b ->?>，0a b a b -=?=，0a b a b -

④ 作商法：若0a >，0b >，1a a b b >?>，1a a b b =?=，1a

a b b

⑤ 取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．

板块一、数轴法

【例1】 a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）

A .

111a b << B .111a b << C .111b a << D .111b a << 【例2】 数a b c d ，，，

所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系

【例3】 若有理数a b ，

在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ） A ．2ab -< B ．11b a >- C ．12a b +<- D ．1b

a

<-

x

【例4】 在数轴上画出表示1

2.540252

--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，

用“<”；连接起来

【例5】 实数a b ，

在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小

板块二、代数法

【例6】 比较大小：12- 2

3

-

【例7】 把四个数..

2.371 2.37% 2.37---，

， 和 2.37- 用“＜”号连接起来

【例8】 比较23-，58-，1523-，1017-，12

19

-的大小．

【例9】 已知01x <<，则2x ，x ，1

x

的大小关系是什么？

【例10】 若1a m <<，则21

m m m

，，的大小关系

【例11】 如果10a -<<，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1

a

-连接起来.

【例12】 若20072008a =，2008

2009

b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a ，b 的大小．

知识点3：运算及运算法则

有理数基本加、减混合运算 有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：

法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；

②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 有理数加法的运算技巧：

①分数与小数均有时，应先化为统一形式. ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零. ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加. ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. ⑥符号相同的数可以先结合在一起.

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+-

有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；

③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.

为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.

板块二、有理数基本乘法、除法

有理数乘、除法

Ⅰ：有理数乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba

=(乘法交换律)

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()

abc a bc

=(乘法结合律)

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.

()

a b c ab ac

+=+(乘法分配律)

有理数乘法法则的推广：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.

②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.

③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.

在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.

Ⅱ：有理数除法

有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

1

a b a

b

÷=?，(0

b≠)

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

例题讲解

板块一、有理数的加减运算

1、下列各组数中，数值相等的是（）

A 、－（－2）和+（－2）； B、－2 2 和（－2）2；

C、－32 和（－3）2 ；

D、—2 3 和（－2）

2、两数相加，其和小于每一个加数，那么（）.

A、这两个数相加一定有一个为零.

B、这两个加数一定都是负数.

C、这两个加数的符号一定相同.

D、这两个加数一正一负且负数的绝对值大

3、计算：

⑴

21

(4)(3)

33

-+-⑵

21

(6)(9)|3|7.49.2(4)

55

-+-+-+++-

⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++- ⑷111

(8.5)3(6)11332

-++-+

⑸5317(9)15(3)(22.5)(15)124412-++-+-+-

⑹434

(18)(53)(53.6)(18)(100)555

-+++-+++-

⑺1132|1()|3553----- ⑻ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)--+----

⑼1111(3)[(3)3](3)4444??-------????

板块二、有理数的乘除运算

1、 奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正.

2、 计算下列各题：⑴()30.250.57045??-??-? ???；⑵()110.0333323???

?-??- ? ????

?

⑶735(1)(36)1246??

-+---?-????

⑷111(0.25)(5)( 3.5)()2244-?-+?-+-?

⑸114()1()16845-??-? ⑹111

71113()71113

???++

⑺11111(1)(1)(1)(1)(1)4916252500-?-?-?-??-

3、计算 ⑴111321335??????-÷÷- ? ? ???????； ⑵()()112103523????

-÷-?-÷- ? ?????

⑶231(4)()324+÷?÷-； ⑷71

()2(3)93

-÷?+

⑸11111()()234560-+-÷-； ⑹44192()77÷-

知识点四、字母相关的运算

1、若2,3==b a ，则=+b a ________。

2、若,3,4,==-=-n m m n n m 则=-n m ________。

3、若92

=x ，则x 得值是 ；若83

-=a ，则a 得值是 .

4、61-+x 的最小值是 ，此时2009

x

= 。

5、若a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，且0≠a ，则=-++2

09

2

08

207

)()()

(b

a cd

b a .

6、已知|a |=5,|b |=2,ab <0. 求：3a +2b 的值

7、x =2008-时，求代数式22

x x x x

+-?的值。

8、已知m n ，互为相反数，a b ，

互为负倒数，x 的绝对值等于3，求 ()()()

2003

3220011x m n ab x m n x ab -++++++-的值

9、 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0b

b a

，，的

形式，则20042001a b +=

10、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，x 的绝对值等于它相反数的2倍.

求3x abcdx a bcd ++- 的值. 11、如果0x

y ,则

x xy x

xy

+

的结果是( )

A 、0

B 、2-

C 、

2

1

D 、2

12、若│χ∣=5，y 2

=4, 且xy ＜0，则x+y= ; 13、若a,b 互为倒数，m,n 互为相反数，则()

2

2m n ab ++= ；

14、若()

2

32

0,x y ++-=则()

2005

x y + = ；

15、利用数轴求13x x -+-的最小值，求44a a -++的最小值

16、（1）已知()

2

32

0,a b ++-=求()

21

332n a a b ab -++-的值；

（2）当6,4a b =-=-时，求

b a

a b

--的值。

知识点五、字母性质的推理

1、如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )

A ．a 是b 的相反数

B ．a 是b -的相反数

C ．a 是b 的倒数

D ．a 是b -的倒数

2、a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）

A ．0a >，b 、c 同号

B ．0b >，a 、c 异号

C ．0c >，a 、b 异号

D ．a 、b 、c 同号

3、若a b c ，，三个数互不相等，则在a b b c c a

b c c a a b

------，，

中，正数一定有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

4、用“＞”或“＜”填空

⑴如果0ab c >，0ac <那么b 0 ；⑵如果0a b >，0b

c <那么ac 0 .

5、如果0ac

b

>，0bc <，且()0a b c ->，试确定a 、b 、c 的符号.

6、,下列说法中，正确的是（ ）；

A 、若│a ∣＞│b ∣,则a ＞b;

B 、若│a ∣= │b ∣，则a=b;

C 、若2

2a

b ，则a ＞b; D 、若0＜a ＜1，则a ＜a

1

。

7、如果a 、b 两有理数满足a>0，b<0，a

B 、b<－a

C 、－a<－b

D 、b<－a<－b

8、若x ＜0，则)(x x --等于（ ）

A 、－x

B 、0

C 、2x

D 、－2x

9、对任意实数a ，下列各式一定不成立的是（ ）

A 、22)(a a -=

B 、33)(a a -=

C 、a a -=

D 、02

≥a 10、已知a ＜0，且1 a ，那么

1

1--a a 的值是（ ）

A 、等于1

B 、小于零

C 、等于1-

D 、大于零

11、化简：

34p p -+- ()12111x x x x ---++-

12、有理数a,b,c 在数轴上的位置如图所示，a c =，试化简a c b c a b -+-++

知识点六：应用

1、某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-4，-8，+1，0，+10； ①，这10名同学的中最高分是多少？最低分是多少？ ②，10名同学的平均成绩是多少？

2

(1) (2) 本周内,股票最高价出现在星期几?是多少元?

(3) 已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费,卖出时需付成交额的1.5‰的手续费和 3‰的交易税,若小李在本周末卖出全部股票,他的收益如何?

3、 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，

然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市

⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置 ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？

4、初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参加活动，游戏结束后，5个队的得分如下：A

队：-50分；B 队：150分；C 队：-300分；D 队：0分；E 队：100分．

⑴将5个队按由低分到高分的顺序排序；

⑵把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；

⑶从数轴上看A 队与B 队相差多少分？C 队与E 队呢？

5、“十·一”黄金周期间，西樵山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表

（1） 若9月30日的游客人数记为5万人，则10月2日的游客人数： 万人 。 （2） 请判断七天内游客人数最多的是 日，最少的是 日。

（3） 以9月30日的游客人数为0点，用折线统计图表示这7天的游客人数情况：

知识点七、科学计数法与有效数字

知识点总结

科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ?的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记

法叫做科学记数法．

例如：5200000210=?就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=?也是科学记数法表示数的形式．

有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．

如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，

注意：万410=，亿810=

常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别． 记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810?． 例题讲解

1、上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟花，再听见声音，其原因是 光的传播速度大于声音的传播速度. 在常温下光的传播速度约为300 000 000m/s ，声音的传播速度约为340m/s. 将300 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．60.310? B ．73010? C ．8310? D ．9310?

2、全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位 公民义不容辞的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为（ ）

A ．4103-?

B ．5103-?

C ．4

103.0-? D ．5103.0-?

3、2010年北京市高考人数约8万人，其中统考生仅7.4万人，创六年来人数最低. 请将74 000用科学记数法表示为（ ）

A．4

7.410

? B．3

7.410

? C．4

0.7410

? D．5

0.7410

?

4、某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，将0.0000000031用科学记数法表示为（）A．3.1×109 B．0.31×10-8 C．－3.1×109 D．3.1×10-9

5、某种流感病毒的直径是0.00000008m，用科学记数法表示0.00000008为（）

A．6

810-

?B．5

810-

?C．8

810-

?D．4

810-

?

知识点八：找规律

1、找规律计算：

()()()()

12345620052006

+-++-++-+++-

2、先阅读第（1）小题的计算过程，再计算第（2）小题；

（1）计算：1111 26129900 ++++

解：原式=

1111 12233499100 11111111 12233499100 199

1

100100

=++++

创创

=-+-+-++-

=-=

（2）计算：1111

315359999

++++（3）

1111

28249800

++++

3、观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有 个★， 第n 个图形共有 个★

4、观察下列等式：11283274641,2,3,4225510101717

-

=-=-=-=

根据你发现的规律，解

答下列问题：

（1）写出第5个等式；（2）第10个等式；（3）第n 个等式；

5、观察下面的式子：

224224;31313434;2222

41414545;3333515156564444

?=+=?=+=?=+=?=+=，，，，

⑴小明归纳了上面各式得出一个猜想：两个有理数的积等于这两个有理数的和，小明的猜想正确吗？为什么？

⑵请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想

6、用※代表一种运算，若2

12

a a

b +※b=-，试求值：（1）5※6，（2）2※（3※4）

重点题型总结及应用

题型一 绝对值

理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a |表示的是表示数a 的点到原点的距离，因此|a |≥0．可运用|a |的非负性进行求解或判断某些字母的取值．

例1 如果a 与3互为相反数，那么|a +2|等于( ) A ．5 B ．1 C ．-1 D ．-5

解析：a 与3互为相反数，则a ＝-3，所以|a +2|＝|-3+2|＝|-1|＝1． 答案：B

例2 若(a -1)2

+|b +2|＝0，则a + b ＝ .

解析：由于(a -1)2≥0，|b +2|≥0，又(a -1)2与|b +2|互为相反数，因此 (a -1)2

＝0且|b +2|＝0，则a ＝1，b ＝-2，所以a +b ＝-1．

答案：-1 规律

若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．

题型二 有理数的运算

有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础．要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用．

例3 (-1)2 011

的相反数是( )

A ．1

B ．-1

C ．2 011

D ．-2 011

解析：由于指数2 011为奇数，所以(-1)2 011

＝-1，其相反数为1． 答案：A

例4 计算：(1)2

??????

-?+?÷ ? ? ???????

1211(-8)-9-1452；

(2)???

???--?? ?????????

2

1110.52-(-3)3．

解：(1)2

??????

-?+?÷ ? ? ???????1211(-8)-9-1452

2

????

=-??÷ ? ?????

523(-8)-9-452 ＝4-9×

4

9

＝4-4＝0．

(2)???

???--?? ?????????

2

1110.52-(-3)3

＝????--? ???????

111(2-9)6

＝??

? ???

51-

(-7)6 ＝.?17(-7)=-6

6

题型三 运用运算律简化运算过程

运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．

例5 计算下列各题．

(1)21-49．5+10．2-2-3．5+19；

(2)????-

--++-- ? ?????1137222323483

； (3)2

??????÷-++-? ? ? ???????3

111

131********-42434(-0.2)； (4)3

2

3

2

3

????

??????-?--??-+?- ? ? ? ? ???????????

3351914321251943252．

分析：混合运算，应按法则进行，同时注意灵活运用运算律，简化运算过程．

解：(1)原式＝[(21+19)+10．2]+[(-49．5-3．5)-2]＝50．2-55＝-4．8； (2)原式????

=-++-

-=-+-+- ? ?????

113721371222322323

48324833； =-=311

118324

； (3)原式3

????=

?-++-?- ? ???????

???

12457551

241654341-5 ??

=-+?+?-?+ ???

14575524242412540434 =-

+++113927056-330+125=-121=120404040

； (4)原式＝322

??????

??-?-?

+?? ? ? ?????????

??335194-22519435 ＝??-

?-?+=-?= ???27943191627

00.8251943258

点拨

(1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律a (b +c )＝ab +ac ，即ab +ac ＝a

(b +c )．

题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题

根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．

例6 计算下列各题．

(1)--+-52315

91736342

； (2)????--?-+ ? ?????3173

1559595952127

77；

(3)

++++++++111111111

2612203042567290 (4)+++++++1111111

…24816512 1 024 2 048

.

分析：(1)带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加． (2)本题若按常规计算方法比较麻烦，但若用运算律可简化运算．

(3)由于

==-==-==-???111111111111， ， ，212262323123434

==-?1111204545，==-?1111305656，==-?1111426767，==-?1111567878，==-?1111728989，==-?111190910910

，所以将原算式变形裂项后，再进行计算． (4)算式中，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，可在算式中加上最后一个分数

12 048，再减去12 048，加上的1

2 048

与前一个分数运算，所得的和再与前一个分数运算，依次向前进行，最终求得运算结果．

解：(1)原式＝-5-

--++--5231

91736342

??

=+--+-==- ???

523111(-5-9+17-3)0-11634244；

(2)????-

-?-+ ? ?????3173

1559595952127

77

?????

?????=--?-+ ? ? ? ??????

???????31731559+59+59+5212777

???

?=--?-+ ? ????

?31731559+59-59+5212777

??

????=--?+-+ ? ?????????

317315(59-59+59)5212777

()??

=--? ???

31759+15212 =???317

60-60-60=36-30-35=-295212

. (3)原式=++++++++?????????1111111111223344556677889910

??????????=-+-+-+-+-+ ? ? ? ? ???????????1111111111223344556??????-+-+- ? ? ???????111111677889 =-

=1911010

(4)原式＝++++=-+++++

++16

1

81412120481204812048110241...161814121 …204815121...161814121204811024110241-+++++=-++

.=+-=-=1111 2 047122 2 048 2 048 2 048

点拨

利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性．

题型五 有理数运算的应用

用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．

例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，则这8箱橘子的总重量是多少?

分析：本题运用有理数的加法、乘法解决问题．先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量．

解析：1．2+(-0．8)+2．3+1．7+(-1．5)+(-2．7)+2+(-0．2) ＝1．2-0．8+2．3+1．7-1．5-2．7+2-0．2

＝(2．3+1．7+2)+(-0．8-2．7-1．5)+(1．2-0．2)

＝6-5+1＝2．

则15×8+2＝122(千克)．

答案：这8箱橘子的总重量是122千克．

例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3．5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7．5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部．

(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗? (2)“志远”修理部距“捷达”修理部多远? (3)货车一共行驶了多少千米?

解：(1)能．如图1-6-1所示．

(2)由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4．5-(-3)＝4．5+3＝7．5(千米)．

(3)货车共行驶了|8|+|-3．5|+|-7．5|+|3|＝8+3．5+7．5+3＝22(千米)．

题型六探索数字规律

找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．

例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( )

A．8个 B．16个 C．32个 D. 64个

解析：本题数字的规律是1→2→4→8…，每半小时细菌个数变为原来的2倍，所以经过2．5小时，细菌个数应变为原来的25倍，即32个．

答案：C

例10 观察图1-6-2，寻找规律，在“?”处应填上的数字是( )

A．128 B．136

C．162 D．188

解析：观察图个数字特点可发现：8＝4+2+2；14＝8+4+2；

26＝14+8+4；…．所以“?”＝88+48+26＝162．

答案：C

思想方法归纳

本章中所体现的数学思想方法主要有：

1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法．

2．分类讨论思想：a与-a哪个大呢?a的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误．

3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的．

1．数形结合思想

数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决．

例1 |a|＞|b|，a＞0，b＜O，把a、b、-a、-b按由小到大的顺序排列．

分析：将a 、b 、-a 、-b 在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了．

解：由a ＞0，b ＜0可知，a 为正数，b 为负数，a 、b 所对应的点分别在数轴上原点的右边和左边.

由于|a |＞|b |，从绝对值的几何意义可知，表示数a 的点离原点的距离比表示数b 的点离原点的距离远，而互为相反数的两个数绝对值相等，即|a |＝|-a |，|b |＝|-b |，于是a 、b 、-a 、-b 在数轴上的位置如图1-6-3所示．

故由小到大的顺序排列为-a ＜b ＜-b ＜a ． 提示

比较数的大小，可在数轴上把这些对应点表示出来，按从左到右的顺序确定后，就能写出这些数的大小关系．从本例看，我们还可以进一步得到-a ＜b ＜0＜-b ＜a ．

例2 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图l-6-4所示，则必有( )

A ．a + b ＞0

B ．a - b ＜o

C ．a b ＞0 D.

a

b

＜0 解析：由数轴可知0＜a ＜1，b ＜-l ＜0且|b |＞|a |，因此有a +b ＜0

a -

b ＞0，ab ＜0，

a

b

＜0．故选D ． 答案：D 点拨

本题要注意读懂图形(数轴)，掌握数轴上点的性质，还要注意有理数的四则运算法则． 2．分类讨论思想

例3 比较2 a 与-2 a 的大小．

分析：由于a 可能为正数，也可能为负数和0，所以应分a ＞0，a ＜0，a ＝0三种情况讨论．

解：当a ＞0时，2 a ＞-2 a ；当a ＜0时，2 a ＜-2 a ；当a ＝0时，2 a ＝-2 a ． 规律

解此类题时用分类讨论的思想方法来完成． 3．转化思想

例4 计算：l 3+23+33+43+…+993+1003

的值．

分析：直接求解，当然不行，必须探索规律，将运算进行转化．

解：∵l 3＝1，13+23＝9＝32＝(1+2)2，13+23+33＝36＝62＝(1+2+3)2， 13+23+33+43

＝100＝

(1+2+3+4)2

，…，

由此可知13+23+33+43+…+993+1003＝(1+2+3+4+…+99+100)2

＝2

???????

(1+100)1002＝5 0502＝25 502 500． 点拨

利用转化思想可将“复杂问题”转化为“简单问题”，把“陌生”问题转化为“熟悉”的知识解决．本题中把“立方”运算转化为“平方”运算，把“求和”运算转化为“乘方”的运算．

4．用“赋值法”解题

在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论．

例5 m -n 的相反数是( )