第一章 概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念

§1 随机事件、样本空间

1、随机试验

在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象.概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.

对随机现象进行的观察或实验称为随机试验.

若一个试验具有下列三个特点：

（1）在相同条件下可重复进行.

（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果. （3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果.

则把这一试验称为随机试验，常用E表示.

例1从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，

则这一试验的样本空间为：

W ={0，1，2，3，4，5，6，7，8}

引入下列随机事件:

A={正品件数不超过3}={0，1，2，3};

B={取到2件至3件正品}={2，3};

C={取到2件至5件正品}={2，3，4，5};

D={取到的正品数不少于2且不多于5}={2，3，4，5};

E={取到的正品数至少为4}={4，5，6，7，8};

F={取到的正品数多于4}={5，6，7，8}.▲

2、随机事件与样本空间

随机事件（简称事件）：

在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果,通常用大写字母A、B,…表示。

随机事件分为基本事件与复合随机事件,基本事件（或称为样本点,本书中用ω表示）是指随机试验中最简单的随机事件(或称最简单的结果); 复合随机事件是指由若干个基本事件构成随机事件.

样本空间：

随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为Ω={}ω.

为方便讨论我们也将下列两个事件称为随机事件：

每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件S.

每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件Φ.

基本事件是样本空间的单点集.

必然事件包含一切样本点，它就是样本空间Ω.

不可能事件不含任何样本点，它就是空集Φ.

3、 事件间的关系及其运算 01A B ?

表示事件A 包含于事件B 或称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生.若A ?B 且B ?A,即A=B,称事件A 与事件B 相等

A Φ??Ω对于任意事件A,都有. 02A B

表示事件A 与事件B 中至少有一个事件发生,称此事件为事件A 与事件B 的和（并）事件.

n 个事件12,,,n A A A 的和记为 12n A A A ???，也可简记为1

n

n i A =.

在可列无穷的场合，用

1

n i A ∞=表示事件“12,,

,,

n A A A 诸事件至少有一个发生.”

3A B

表示事件A 与事件B 同时发生, 称为事件A 与事件B 的积（交）事件，或记为AB 。积事件AB 是由A 与B 的公共样本点所构成的集合.

n 个事件12,,

,n A A A 的积记为12n A A A ??

?，也可简记为

1

n i i A =.

在可列无穷的场合，用

1

i i A ∞= 表示事件“12,,

,,

n A A A 诸事件同时发生.”

4A B -

表示事件A 发生但事件B 不发生,称为事件A 与事件B 的差事件. 显然有

,A B AB A AB A A -==-=Ω-.

对于任意两事件A ，B 总有如下分解： ,()()A AB AB A B A BA B AB === 05A B =?

表示事件A 与B 不可能同时发生,称A 和B 是互不相容的或互斥的. 基本事件是两两互不相容的. 60A B A B =Ω=?且

表示事件A 与B 在随机试验中一定会发生一个也可能发生一个,称A 和B 互为对立事件，或称A 与B 互为逆事件.

事件A 的逆事件记为 A , 表示“A 不发生”这一事件.显然有 ,,,,A A AA A A ==?=ΩΩ=??=Ω. 事件的运算律

（1）交换律：A ∪B=A ∪B ，AB=BA;

（2）结合律（A ∪B ）∪C=A ∪（B ∪C ）;

（A ∩B ）∩C=A ∩（B ∩C ）;

（3）分配律：A ∩ （B ∪C ）= （A ∩B ）∪（ A ∩ C ）;

A ∪（

B ∩

C ）=（A ∪B ）∩（A ∪C ）.

（4） 德〃摩根律（De Morgan ）： A B A B A B A B ==

例2: 设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表示下列事件：（1）A 发生且B 与C 至少有一个发生；

（2）A 与B 都发生而C 不发生； （3）A ，B ，C 恰有一个发生；

（4）A ，B ，C 中不多于一个发生； （5）A ，B ，C 不都发生；

（6）A ，B ，C 中至少有两个发生. 解：(1)();A B C ? (2);ABC AB C -或

(3);ABC ABC ABC ??

(4)

;ABC ABC ABC ABC AB AC BC ?????或

(5);ABC A B C ??或 (6)

,

.AB AC BC ABC ABC ABC ABC ?????或#

§2概率、古典概率

1、概率

定义1: 在相同条件下，进行了n 次试验.若随机事件A 在这n 次试验中发生了k 次，则比值 k n

称为事件A 的频率，记为()n f A

频率具有下列性质：

(1) 对于任一事件A ，有0()1n f A ≤≤; (2) 对必然事件,()1n f ΩΩ=有;

n n n (3) f (A ∪B)=f (A)+f (B).

若事件A,B 互不相容,则

∑m m

n i n i t=1

t=1

m 21 f (

A )=f (A ).

一般，若A ,A ,,A 互不相容,则

历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon ）和皮尔逊（Pearson ）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.

可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.

定义2: 设事件A 在n 次重复试验中发生了k 次, n 很大时,频率()n f A 稳定在某一数值p 的附近波动,而随着试验次数n 的增加，波动的幅度越来越小，则称p 为事件A 发生的概率，记为()P A p =. 2、概率的公理化定义

设为样本空间,A 为事件对于每一个事件A 赋予一个实数P(A),且满足以下公理： (1) 非负性：()0P A ≥; (2) 规范性：()1P Ω=; (3) 可列可加性：对于两两互不相容的多个事件有11

()()n n

k k k k P A P A ===∑,

则称实数P(A)为事件A 的概率. 3、概率的性质： 性质1：()0P ?=. 性质2：对于两两互不相容的多个事件有11

()()n n

k k k k P A P A ===∑.

性质3：设是两个事件A ,B , 若A B ?,则有()()()P B A P B P A -=-(可减性),从而有()()P A P B ≤.

性质4：对任事件A ,有() 1.P A ≤

性质5：对任事件A ,有 ()1()P P A =-.

性质6：对任事两个事件A,B,有()()()()P A B P A P B P AB =+-. 4、古典概型

定义4：设随机试验E 满足如下条件:

(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即12{,,}n ωωωΩ=;

(2) 每个样本点的发生是等可能的，即12({})({})({})n P P P ωωω==; 则称试验为古典概型，也称为等可能概型。

例3 从0,1,2, …,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率： (1) 1A =｛4数字排成一个偶数｝； (2) 2A =｛4数字排成一个四位数｝;

(3) 3A =｛4数字中0恰好出现两次｝.

解：3这有5种可能:0,2,4,6,8,而前三位数字是任意的,有10种取法.

1313

2915

22

34 于是A 中含有C 10个样本点.类似地可知A 中样本点的个数为C 10,A 中样本点的个数为C 9,从而

13

51413

92422434

10()0.5,

1010()0.9,109

()0.0486.10

C P A C P A C P A ======#

(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双6与不出现双6的概率哪个大?

?25252525解：设A ={出现双6},B={不出现双6},一对骰子掷1次,有66=36种结果. 掷25次共有36种结果,

掷一次出现双6只有1种结果,不出现双6共有35种结果,掷25次不出现双6共有35种结果,

而至少有一次出现双6有36-35种结果.因此

25

252525

25

35()0.4945,

36

3635()1()0.5055,36

P B P A P B =≈-==-=所以出现双6的概率大.▲

5、几何概型

(1) 样本空间Ω是一个几何区域，这个区域大小可以计量(如长度,面积、体积等)，并把Ω的计量记作m(Ω).

.(2) 向区域Ω内任意投掷一个点，落在区域内任一点处都是“等可能的”

设A 表示“掷点落在A 内”的事件，那么事件A 的概率为()

(),()

m A P A m =

Ω 也称的事件A 几何概率.

例4： (约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间T 内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(t

解：设甲乙两人在时间T 内到达预定点的时刻分别为x 和y,则它们可以取[0,T]内

的任一值,即0≤x ≤T,0≤y ≤T,而两人会面的充要条件是x -y ≤t.

每一个x 和每一个y 便构成平面上的一个点(x,y),它就是一个基本结果,

因此样本空间为Ω={(x,y)0≤x ≤T,0≤y ≤T}

{(,),0,0,0}

A x y x y t t x T y T =-≤≤≤≤≤≤设A ={甲,乙两人能会面},则

例6平面上画有等距离为a 的一些平行线，向平面上任意投一长为l (l

解：以M 表示落下后针的中点,x 表示M 与最近一平行线的距离,j 表示针与此线

的夹角.

0,02

a

x ?π≤≤

≤≤ .决定了xoj 平面上一矩形区域Ω就是样本空间 针与平行线相交的充要条件为

将针与平行线相交这一事件记为A (,)sin ,(,)2

l

A x x x ?????

=≤∈Ω???

?

0()2()sin .()22L A l a l P A d L a

π??ππ===Ω?#

于是

§3 条件概率、全概率公式

1、条件概率的定义：

.

P(AB)

设A,B 为两个事件，且P(B)>0,则称

为事件B 发生条件下事件A P(B)发生的条件概率，记为

()

().()

P AB P A B P B =

()2

2

2

2

()()1(1).()T T t L A t P A L T T

--===--Ω#

000

1

1

1()0 2()1 3

()(),

.

i i i i P A B P B P A B P A B ∞

∞

==≥Ω==∑；；

n 21P(A B)符合概率定义的三公理，即：

其中A ，A ，，A ，为两两互不相容事件

例1： 某批产品共20件,其中4件为次品,其余为正品,不放回地从中任取两次,一次取一件.若第一次取到的是次品,问第二次再取到次品的概率是多少?

解 ：令A ={第一次取到次品},B ={第二次取到次品},需求P(B │A).(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品,

剩下的产品共19件其中3件次品,从而 P(B │A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于 434(),(),

202019

()43/20193

().()4/2019

P A P AB P AB P B A P A ?==???===故#

2、乘法定理

设P(A)>0,则有

P(AB)=P(A)P(B │A). 同样,当P(B)>0时,有

P(AB)=P(B)P(A │B). 乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:

12112

12131212

1 ()0,()()()()

().

n n n n P A A A P A A A P A P A A P A A A P A A A A -->=设则有

例2： 设袋中有a 只白球,b 只黑球.任意取出一球后放回,并再放入与取出的球同色的球c 只,再取第二次,如此继续,共取了n 次,问前1n 次取出黑球,后11n n n =-次取白球的概率是多少?

解：i 设A ={第i 次取到黑球},i =1,2,,n,则

121();();;b P A a b

b c

P A A a b c =

++=++

111111211112

1(1)();

(1)();

;

n n n n b n c

P A A A A a b n c a

P A A A A a b n c

-++-=++-=

++1121

112

(1)()(1)n n n n a n c

P A A A A A A a b n c

+-+-=

++-.1

111111112

1112112

12

()()()

()

()

n n n n n n n n n P A A A A A P A P A A P A A A A P A A A A A A +++-= 于是所求的概率为

1211(1)(1)2.2(1)(1)b n c a n c

b b

c b c a

a b a b c a b c

a b n c a b n c

a b n c

+-+-++=

??

?

+++++++-++++-#

4、 全概率公式与贝叶斯公式

1200

1

,,1,,,1,2,,;

2

.

n i j n

i i A A A A A i j i j n A =ΩΩ=?≠==Ω设为样本空间，，，为的一组事件若满足

n 21则称A ,A ,LA 为Ω的一个划分。 全概率公式

∑n 21i n

i i i=1 设B 为样本空间Ω中任一事件，A ,A ,,A 为Ω的一个划分,且P(A )>0,i =1,2,,n,则有P(B)=P(A )P(B A )，称为全概率公式.

1

1

1

()()()().n

i

i n

n

i i i i i B BA P B P BA P A P B A ====

==∑∑#

n 21证明:因为

且BA ,BA ,L BA 两两互斥,由概率公式及乘法定理,可得

贝叶斯公式

n 21i 设样本空间为Ω，B 为Ω中的任一事件，

A ,A ,L,A 为Ω的一个划分,

且P(B)>0，P(A )>0,i =1,2,,n.则

1

()() (),1,2,

,,()()

.

i i i n

j j j P B A P A P A B i n P B A P A ==

=∑称为贝叶斯公式，也称逆概率公式

例3 某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?

1223123()30%,()35%,()35%,()35%,()5%,()4%,()3%,

P A P A P A P A P B A P B A P B A =======213解:设A ,A ,A 分别表示

事件"取出的产品分别由甲,乙,丙机器生产的".

B 表示事件"取出的产品为废品".则

112233()()()()()()()30%5%35%4%35%3% 3.95%,

P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=?+?+?= 由全概率公式,得

12330%5%30

()37.98%;

3.95%79

35%4%

()35.44%;

3.95%35%3%

()26.58%.3.95%P A B P A B P A B ?=

=≈?=≈?=≈#

由贝叶斯公式,得

例4 对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为90%,而机器未调整良好时,其合格率为30%.每天机器开动时,机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调整良好的概率是多少? 解: 设A ={机器调整良好},B ={生产的第一件产品为合格品}.已知

()0.9,()0.3,()0.75P B A P B A P A ===,

()()

0.750.9

()0.9.0.750.90.250.3()()()()

P A P B A P A B P A P B A P A P B A ?===?+?+#

§2独立性

1、 事件的独立性

定义7: .22221111若事件A ,A 满足P(A A )=P(A )P(A ),则称事件A ,A 是相互独立的 定理 .若事件A ，B 相互独立，且0

121213131313123123()()(),()()()();()(),()()()(),

.

P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A P A A A P A P A P A ===213则称A ,A ,A 为相互独立的事件

定义9: 对n 个事件12,,,n A A A ,若以下21n -个等式都成立：

()()()1;

()()()()1;

i j i j i j k i j k P A A P A P A i j n P A A A P A P A P A i j k n =≤<≤=≤<<≤，，

1

1

,(

)()k

k

t t

i i k k P A P A ===∏其中()121t i i i t n ≤≤是1,2,,n 数字中任意t 个数字的任意排列,

则称这n 个事件12,,,n A A A 相互独立.

例1 假设我们掷两次骰子,并定义事件A={第一次掷得偶数},B={第二次掷得奇数},C={两次都掷得奇数或偶数},证明A,B,C 两两独立,但A,B,C 不相互独立. 证明： 容易算出

111()()(),(),(),

2441(),()0,

4

P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =======

()()(),()()(),

()()(),P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ===从而有等式

.

所以A,B,C 两两独立但是P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),因此A,B,C 不是相互独立的.▲例2： 甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概率分别为0.9与0.8,求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率. 解:设A ={甲射中目标},B ={乙射中目标}, C ={目标被击中},

()()()()()

()()()()0.90.80.90.80.98.

P C P A B P A P B P AB P A P B P A P B =?=+-=+-=+-?=则C =A ∪B,由独立性有

()1()1()1()()1(10.9)(10.8)0.98.P C P C P AB P A P B =-=-=-=--?-=或 .▲

2、 贝努里试验模型

定义10 设E 为一贝努里试验,将E 在相同条件下独立地重复进行n 次, 设E 为一贝努里试验,将E 在相同条件下独立地重复进行n 次,

每次试验中结果A 出现的概率保持不变,均为p(0

贝努里试验有下面四个约定：

(1)每次试验中结果只是两个可能的结果A 与A 之一;(2)结果A 在每次试验中出现的概率均为p;(3)各次试验相互独立;(4)共进行n 次.

定理1

()0,1,,1k k

n k

n n

P k C p q

k n q p

-===-对于n 重贝努里试验,事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为

(1),

k n k k n k p p p q ---=证明:由n 重贝努里试验,n 在指定的k 次试验中出现,而在其余n -k 次试验中不出现的概率为

.

k k n n k

n 结果A 的发生可以有各种排列顺序,共有C 种,而这C 种排列所对应的C 个事件是互不相容的 ()k

k

n k

n n

P k C p q

-=, 由概率加法公式得到 也称为二项概率公式.▲

例3 一副扑克牌(52张)，从中任取13张，求至少有一张“A ”的概率。解: 设A ={任取的13张牌中至少一张“A ”}，并设A i ={任取的13张牌中恰有i 张“A ”}，i =1，2，3，4则

1234123413448

13

52

,,,,, ()1,2,3,4

i i

i A A A A A A A A A C C P A i C -=???=

=且两两互斥

1344

448

13

1

1

52

()()0.696i i i i i C C P A P A C -====≈∑∑

因此.

概率论与数理统计

1348

13521348

1352

(),()1()10.696.C P A C C P A P A C ==-=-≈#

另一方法来计算这一概率:

从而