思维高中数学的灵魂

思维——高中数学的灵魂

大沥高级中学陈灿洲

曾有这样一个故事：一个商人在翻越一座山时，遭遇了一个拦路抢劫的匪。商人走投无路，便钻进了一个山洞，山匪也进了山洞里。在洞的深处，商人未能逃过山匪的追逐------黑暗中他被山匪逮住了，身上所有的钱财，包括一把准备夜间照明用的火把，都被山匪掳去了。之后，两人各自寻找着洞的出口。这山洞纵横交错，两人置身洞里，像置身于一个地下迷宫。山匪庆幸自己从商人那里抢来了火把，他把火把点着，借着火把的光亮在洞中行走。他能看清脚下石块，能看清周围的石壁。但走来走去，就是走不出这个洞。最终，他力竭而死。商人失去了火把，他在黑暗中摸索行走得十分艰辛，他不时碰壁，不时被石块绊倒，跌得鼻青脸肿。但是，正是因为他置身于一片黑暗之中，所以他的眼睛能够敏锐地感受到洞口透来的微光，他迎着这缕微光摸索爬行，终于逃离了山洞。

由此想到我们的高中数学教学，教师给足学生以“火把”把知识正确地，全面地，甚至高密度地传授给学生，仅仅如此，他们是否能够走出“山洞”。有专家如是说“当一个人把所学的知识都忘了以后，还保留下来的正是教师要教给学生的。”保留下来的是什么呢？就是能力，是思维素质。知识会随时间的推移而遗忘，而科学的思维能力和分析解决问题的能力却会长久地保留下来。

思维是一种反应。数学思维力求近似到一种非条件反射，比如吃饭自然就有拿筷子和碗，而不需刻意去记着吃饭就要有筷子，有碗。高中数学本身的特点，摒弃了单调的记忆和机械的计算，更多的是一此理性化的东西，故只有丢弃固有的框架，让学生思维不受到束缚，他们才能在知识的黑洞里畅游。

下面就自已在教学中的体会，以高中数学认识过程为例，进行一些探讨： 一、已有知识，包括定义，定理，公式的正确处理。

教学中重视知识的形成过程的教学，使学生在掌握知识的思维实践中既获得了识， 得到思维训练。学生往往认为学习定义，定理，公式等只要记着就行了，对定理的证明，公式的推导很少能给以足够的重视；教师也往往只重视让学生把定义，定理，公式正确地，全面地接受下来，而不去探讨它们的由来和实质，课堂上认真地，严格地对每一个定理加以证明，对每一个公式给以推导，忽略证明和推导的原因。这样学生只会机械的记公式，套定理，而会忽视了运用的前提，条件。例如，求数列

1， ,,,,2n x x x 的前n 项和，学生会毫不犹豫地应用等比数列前项和公式

q

q a S n

n --=

1)1(1，得出结果x

x

S n

n --=

11。其一，忽视该公式应用的条件1≠q ，而在本

题中公比q 有可能为1，此时，得到一常数列，其前项和是n S n =；其二，忽视等比数列的条件：等比数列中，其公比和数列中的项不可能为0，而本题中x 可以为0，得数列1，0，0，---，其前n 项和1=n S 。加深理解“等比数列(公比1≠q )的前项和公式q

q a S n

n --=

1)1(1”后，面临这类问题不会顾此失彼了。还有数列的通项公式n a 与

前项和公式n S 的关系：=n a {1S n=，很多学生也只是勉强记忆，其实只要回归

n

n n a a a a S ++++=-121 就很明了清晰了。

二． 精心设计课堂教学，用联系的观点与方法进行教学，同时，注重训练学生的思

维。

一个稍微用功的学生，在课堂上听懂教师讲的课并不难，仿照例题解几道题也完全可以，但是要用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的了。故必须放弃“前提——结论”式的教学，而用以思维为主流，以链结式的学生的思路展开。 例如在等差数列性质的教学中，我在介绍了用倒项相加法求等差数列前n 项和n S 的公式后，就提出如下问题让学生研讨：通过上述求和公式的推导，你们能发现等差数列有什么性质？

学生A ：等差数列{}n a 前n 项中，与两端“等距离”的两项和都相等。即若

.11n y x a a a a y n x +=+-=-则

学生B ：只要.n m y x a a a a n m y x +=++=+就有 学生C ：上述结论可推广到两边皆为m 项的情况，即若

.,21212121m m y y y x x x m m a a a a a a y y y x x x +++=++++++=+++ 则

老师：两边个数不相等时，结论对吗？（学生经研究认为不对）。

老师：上述结论的逆命题成立吗？（学生中一部分认为成立，一部分认为不一定）。 学生D ：以两项为例，,)2(21d y x a a a y x -++=+

.)2(21d n m a a a n m -++=+

若 d n m d y x a a a a n m y x )2()2(,-+=-++=+则

故当成立时n m y x d +=+≠,0；而当0=d 时，就不一定成立。

老师（简单小结）：通过研讨，我们不断把结论加以深入和一般化，这也是我们学习数学的一种重要方法。说明看书学习不能光知道结论，还要掌握某些重要公式定理的推导过程；更要善于观察思考，不断提出问题、深化问题，这样就能从中获得许多书中没有的知识。

老师：还有其他发现吗？ 学生E ：由2

2

)

(1211n

n

n n a a n

a a a a a n S +=+++?

+=

即等差数列中，连续n 项的算术平均数等于首末两项的算术平均数。

老师：这位同学的想法很好。可启发我们，若从d

n n a n S n 2)

1(1-+=出发考虑，就

有),(,)2

(2

12

n n S n n d a n d S 即-

+=

落在函数x

d a x d S y n )2(2

12

-

+=

=的图像上。当0

≠d 时，它是过原点的抛物线，由此可用来解决=n ？时，n S 的最（或最小）的问题。

整节课，师生之间、学生之间的思维活动都得到充分交流，相互启发、相互补充、相互评价。表面看来十分简单的例题，运用科学方法论的原理组织教学，就能引出十分丰富的内容，大大提高了学生分析、解决问题的能力。对于一些概念、习题，若能仔细推敲，深入钻研，把潜藏的基本思路、基本规律发掘出来，把教材的思维过程、教师的思维过程、学生的思维过程展示出来，就能从题海中跳出来，提高学生的数学思维素质。

三．

培养学生抓住问题的实质

数学教学并非解题教学，解题只是手段，重要的是通过解题教会学生思维的方式，提高学生的能力。关键是努力提高每一道题的功效性，在错综纷杂的题型，套路中领略其万变不离其宗的实质，以不变应变的策略，找出解题的思想方法，支解简化各环节，例，对于三角函数y=Asin()?ω+x 的图象与y=sinx 的图象之间的变化规律，而且变化与函数中常数A,?ω,之间的关系。首先将问题细化：分成以下三类： （1）?的变化：两个三角函数之间仅仅改变?的值， 例1：函数y x sin =与函数)sin(∏+=x y 之间，在列表时:

例2：函数x y 2sin =与函数)2sin(∏-=x y 之间，在列表时：

变化规律：例1：将函数y x sin =图象沿x 轴向左平移3

∏个单位可得函数)

3

sin(∏+

=x y 的图象，反过来，将函数)

3sin(∏+

=x y 的图象沿x 轴向右平移3

∏个单位可得函数

y x sin =图象;例2也一样：：函数x y 2sin =图象的开始点为（0，0），而函数)

32sin(∏-=x y 的图象的开始点为（6

∏，0），故此函数x y 2sin =图象沿x 轴向右平移

6

∏个单位可得函

数)3

2sin(∏-

=x y 的图象，相反：函数)3

2sin(∏-=x y 的图象沿

x 轴向左平移6

∏个单位

可得函数x y 2sin =图象。

（2）ω的变化：两个函数仅仅改变ω的值：

例：函数y x sin =与函数x y 2sin =之间图象的变化规律：列表如上表：在上表中很容易发现：两者图象之变化在于最小正周期长度的变化：函数y x sin =的∏=2T ，而函数

x y 2sin =的∏

=∏

=

ω

2T ，周期的变化直接影响图象上点的横坐标的伸缩变化：小周期

变成大周期则扩大若干倍，反之则缩小若干倍：将函数y x sin =图象上点的横坐标缩小到原来的

2

1倍，纵坐标不变时可得函数x y 2sin =的图象。相反将函数x y 2sin =的图象

上的点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变时可得函数y x sin =的图象。从以上例子可知：仅仅改变ω值时，函数图象之间变化的关键，或者说规律在于抓住周期的变化，从而可知图象上点的横坐标之变化规律。 （3）A 值的变化：两个函数仅仅改变A 值： 例如：函数)2sin(∏-=x y 与函数)2sin(4∏-

=x y 之间的图象：列表如下：

从上述表格中可知：仅仅改变了纵坐标，只需将函数)3

2sin(∏-

=x y 图象上的点的纵坐

标扩大到原来的4倍可得函数)3

2sin(4∏-

=x y 的图象，

反过来，将函数)

3

2sin(4∏-=x y 的图象上的点的纵坐标缩小到原来的4

1倍即可得函数)3

2sin(∏-

=x y 的图象。

2006年6月22日