实验一曲柄滑块机构的运动规律
上海应用技术学院
数学实验报告
题目：曲柄滑块机构的运动规律
姓名：周玲
院系：理学院数学与应用数学系
学号： 1112211115
指导老师：许建强
2015年3月30日
目录
一、实验目的1
二、实际问题2
三、数学模型2
四、数值积分方法3
五、实验任务5
任务一5
任务二6
任务三7
任务四错误!未定义书签。
一、实验目的
本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法, Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近视似模型并进行数值计算来研究讨论函数的方法。
二、 实际问题
曲柄滑块机构是一种常用的机械结构,它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动,是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。右图为其示意图。
记曲柄OQ 的长为r ,连杆QP 的长为l , 当曲柄绕固定点O 以角速度w 旋转时, 由连杆带动滑块P 在水平槽内做往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点Q 位于水平线段OP 上, 曲柄从初始位置起转动的角度为θ,而连杆QP 与OP 的锐夹角为β(称为摆角) 。在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律, 确切的说,要研究滑块的位移,速度和加速度关于θ的函数关系,摆角β及其角速度和角加速度关于θ的函数关系, 进而
（1）求出滑块的行程s (即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离);
（2）求出滑块的最大和最小加速度(绝对值), 以了解滑块在水平方向上的作用力;
（3）求出β的最大和最小角加速度(绝对值), 以了解连杆的转动惯量对滑块的影响;
在求解上述问题时,我们假定:
100(),3300(),240(/min)r mm l r mm ω====转
符号说明:r －曲柄OQ 的长;l －连杆PQ 的长度;β－摆角(连杆PQ 与OP 的锐夹角);ω－角速度;P －滑块;x －滑块的位移;a －滑块的加速度。
三、 数学模型
取O 点为坐标原点，OP 方向为x 轴正方向，P 在x 轴上的坐标为x ，那么可用x 表示滑块的位移。利用三角关系，立即得到
θθ222sin cos r l r x -+= （1.1）
由于t ωθ= ，故有
θ
ωθθd dx dt d d dx dt dx == （1.2） 而
θ
θ
θθθ2222sin cos sin sin r l r r d dx --
-= （1.3） 于是滑块的速度
???
?
?
?-+-=θθ
ω222sin cos 1sin r l r r v （1.4） 进而，可以得到滑块的加速度为
??
??
??????-++-===
232224
222)sin ()sin )2cos((cos θθθθωθ
ωr l r l r r d dv dt dv a （1.5） 同样，基于关系式
θβsin sin r l = （1.6）
我们有摆角的表达式
??
? ??=θβsin arcsin l r
（1.7）
式（1.6）对t 求导， θωθθββcos cos cos r dt
d r dt d l == 可得
β
θ
ωβcos cos l r dt d = （1.8） 由此再得
?????
? ??
--=βββθβθωωβ2
22
cos sin cos cos sin dt d l r dt d （1.9） 利用（1.6），不难由上两式导出
θ
θωβ222sin cos r l r dt d -= （1.10） 和
2
3
22222222)sin ()(sin θθωβr l r l r dt
d ---= （1.11） 至此，我们得到了滑块位移x 和连杆摆角β运动规律中有关变量依赖θ的表达式。
四、 数值积分方法
将位移的表达式（1.1）改写为
21
222
)sin 1(cos θθl
r l r x -+=
一般而言，22
l
r 是远比1小的数，于是利用
1,1)1(<++=+εαεεα （1.12）
得到滑块位移的近似模型为
θθ22
1sin 2cos l
r l r x -+= （1.13）
从而有相应的近似速度
?
?
?
??--=???
? ??--===)2sin(2sin )2sin(2sin 2
111θθωθθωθθl r r l r r dt d d dx dt dx v （1.14）
和近似加速度
??
?
??+-==
)2cos(cos 211θθωl r r dt dv a （1.15） 这里的速度1v 和加速度1a 是直接对近似位移模型1x 求导得来的，而不是对v 和a
的精确表达式（1.4）和（1.5）的近似。当然我们也可以直接从滑块速度的解析式（1.4）进行近似。仍利用公式（1.12）有
???
? ??+≈???
? ??-=--
θθθ2
222
1
2
22
2
22sin 211sin 11sin 1
l r l l r l r l 把上式代入（1.4），就得到滑块速度的近似模型
???
?
??++-=?????
????? ??++-=32
32
2224)2sin(sin 2)2sin(sin sin 21cos 1sin l r l r r l r l r r v θθθθωθθθω （1.16） 从（1.16）出发，又可得近似加速度
??
????+++-=3
223224)2cos(sin 2)2((sin )2cos(cos l r l r r a θθθθθω （1.17） 对摆角β可以利用幂级数展开的Maclaurin 公式
1,6
arcsin 3
<++
=εεεε （1.18）
得到摆角的近似模型。粗略一些，可以取
θβsin 1l
r
= （1.19）
（当l
r 较小时可用此式）。而必要时可以取
θθβ333
2sin 6sin l
r l r += （1.20）
相应的近似角速度为
θωβcos 1l
r
dt d = （1.21） 或
???
? ??+=θθθωβcos sin 2cos 2
332l r l r dt d （1.22）
近似角加速度为
θωβsin 22
12l r dt d -= （1.23）
或
??
????-+-=)cos )(2sin (sin 2sin 3
3
32222θθθθωβl r l r dt d （1.24）
五、 实验任务
任务一
试用摆角的角加速度的三种表达式, 即式（1.11）、（1.23）和（1.24），取
步长为12
π
，r ，l ，ω的值如前，计算当[0,]θπ∈变化时角加速度的值,并列表
加以比较。
实验程序：
function m1_2(t)
r=100;l=300;w=240/60*2*pi;
a0=-r*w^2*sin(t)*(l^2-r^2)./(l^2-r^2*sin(t).^2).^(3/2) a1=-w^2*r*sin(t)/l
a2=-w^2*(r*sin(t)/l+r^3*(sin(t).^3-sin(2*t).*cos(t))/(2*l^3))
>> m1_1([0:pi/12:pi])
从结果中可以看出误差的大小,取决于近似表达式的精度,在利用泰勒公式求
近似模型时,如果展开的精度越高,则误差就越小,在数据表中也可以看出,dt
d 2
2β取
得精度比dt d 1
2β高,所以结果与真实值相差的更小。
任务二
利用（1.12）式，对角摆角的角速度（1.10）式和角速度（1.11）式进行简化，将结果与（1.21）~(1.24)式进行比较，并与上题的计算结果相比较。 解析：由式1,1)1(<++=+εαεεα （1.12）
θ
θωβ2
2
2
sin cos r l r dt
d -= (1.10)
可以化简为 ???? ??+=θθθωβsin )2sin(4cos 22
3l r l r dt d )10.1(' 2
3
2222222
32)sin ()
(sin θθωβr l r l r dt d ---= (1.11) 可以化简为
???? ??+--=θθωβ3
22322222sin 23sin )(l r l r l r dt d )11.1(' 将化简结果与（1.21）~(1.24)式进行比较，可以发现有类似的项。
实验程序：
function m2_1(t)
r=100;l=300;w=240/60*2*pi;
b0=r*w*cos(t)./sqrt(l^2-r^2*sin(t).^2) b1=w*r*cos(t)/l
b2=w*(r*cos(t)/l+r^3*sin(t).^2.*cos(t)/(2*l^3)) b3=r*w/l*(cos(t)+r^2*sin(2*t).*sin(t)/(4*l^2))
a0=-r*w^2*sin(t)*(l^2-r^2)./(l^2-r^2*sin(t).^2).^(3/2) a1=-w^2*r*sin(t)/l
a2=-w^2*(r*sin(t)/l+r^3*(sin(t).^3-sin(2*t).*cos(t))/(2*l^3))
a3=-r*w^2*(l^2-r^2)/l^3*(sin(t)+3*r^2*sin(t).^3/(2*l^2)) >> m2_1([0:pi/12:pi])
运行结果如下：
从上表中可看出dt d 2β与dt d 3β最接近真值dt
d β
，dt d 32β最接近真值dt d 3β。由此看来，
方案三最优。
任务三
给定一机构如右图所示。设连杆QP 长度l=300mm ，曲柄OQ 的长为r=100mm ，距离e=20mm ，曲柄的角速度w=240转/min 。对θ在一个周期（即]2,0[π）中计算滑块的位移、行程、速
度、加速度和摆角及其最值。
解析：这个机构的特点是:滑块的运动轨迹仍然在原来的平面上,且与轴线Ox 平
行,但运动轨迹与Ox 有距离e (称为偏心距)。这样进程时间将与退程时间不同。
由于P 点始终在直线e y =上,所以我们只需要考虑滑块在x 方向上的位移,不需要再考虑在y 轴上的位移。取O 点为坐标原点，沿x 轴向右方向为正，P 在x 轴上的坐标为x,用x 表示滑块的位移，利用三角关系有：
22)sin (cos e r l r x --+=θθ （2.1）
由于t ωθ=，故有
θ
ωθθd dx dt d d dx dt dx == （2.2）
θ
d dx
求导程序： >> syms r l e t
>> x=r*cos(t)+sqrt(l^2-(r*sin(t)-e).^2); >> diff(x,t)
得 22)
sin ()
sin (cos sin θθθθθr e l r e r r d dx ---+
-= 即
22)
sin ()
sin (cos sin e r l e r r r d dx ----
-=θθθθθ （2.3）
于是滑块的速度2
2
)
sin ()
sin (cos sin e r l e r r r v ----
-=θθθωθω (2.4)
从而，得到滑块的加速度为
???
?
?
?---+--+-
-===
3222222222))sin (()sin (cos ))sin ()(sin 2cos (cos e r l e r r e r l re r r d dv dt dv a θθθθθθθωθω(2.5)
由关系式
θβsin sin r e l =+ (2.6）
得摆角的表达式为
)sin arcsin(
l
e
r -=θβ (2.7) 滑块的行程：68744200.502199)()(2222min max =----+=-=e r l e r l x x s
实验程序：
（1）滑块的位移： function m3_1(t) r=100; l=300; e=20;
x=r*cos(t)+sqrt(l^2-(r*sin(t)-e).^2) >>m3_1([0:pi/12:2*pi])
（2）滑块的速度： function m3_2(t) r=100; l=300;
w=240/60*2*pi; e=20;
v=-w*r*sin(t)-(w*r*cos(t).*(r*sin(t)-e))/sqrt(l^2-(r*sin(t)-e).^2) >>m3_2([0:pi/12:2*pi])
（3）滑块的加速度： function m3_3(t) r=100; l=300;
w=240/60*2*pi; e=20;
a=w^2*(-r*cos(t)-((r^2*cos(2*t)+r*e*sin(t)).*(l^2-(r*sin(t)-e).^2)+r^2*cos(t).^2.*(r*sin(t)-e).^2)./(l^2-(r*sin(t)-e).^2).^(3/2)) >> m3_3([0:pi/12:2*pi])
（4）摆角及其最值： function m3_4(t) r=100; l=300;
w=240/60*2*pi; e=20;
b=asin((r*sin(t)-e)/l) >> m3_4([0:pi/12:2*pi])
运行结果如下：