特岗教师公开招聘考试(小学数学学科专业知识)所有基础公式系统复习

特岗教师公开招聘考试（小学数学学科专业知识）所有基础公式系统复习

背诵1.集合

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。

元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

集合的运算：

集合交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

集合结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。

集合分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

集合德.摩根律：Cu(A∩B)=CuA∪CuB，Cu(A∪B)=CuA∩CuB。

背诵2.方程组

1.方程组的有关概念

方程组的定义：由几个方程组成的一组方程，叫做方程组。

方程组的解:方程组里各个方程的公共解叫做方程组的解。

解方程组:求方程组解的过程叫做解方程组。

2.二元一次方程组及其解法

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有的未知数项的次数都是一，这样的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,组成的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程组的解法:代入消元法,加减消元法。

3.三元一次方程组及其解法

三元一次方程:含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数都是一,这样的方程叫做三元en 一次方程。

三元一次方程组:含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是一,并且一共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组。

三元一次方程组的解法: 代入消元法,加减消元法。即通过代入消元法或加减消元法消去同一个未知数得到二元一次方程组,解这个二元一次方程组求出两个未知数的值,然后再求第三个未知数的值。

背诵3.简易逻辑

可以判断真假的语句叫做命题。

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

不含有逻辑联结词的命题是简单命题。

由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

四种命题的形式：

原命题：若P则q；

逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；

逆否命题：若┑q则┑p。

四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) （1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。 （2）原命题为真，它的否命题不一定为真。 （3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。 背诵4.不等式 1.不等式的性质

（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）

，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则

a b

c d

>）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >

>

（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11

a b

>。

2.不等式的解法

解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

（1）一元二次不等式的解法：

求一般的一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集，要结合

20ax bx c ++=的根及二次函数2

y a x

b x

c =++图象确定解集。对于一元二次方程20(0)a x b x c a ++=>，设2

4b a c ?=-，

它的解按照000?>?=?<，，可分为三种情况． （2）分式不等式的解法：

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

（3）绝对值不等式的解法：

分段讨论法（最后结果应取各段的并集）； 利用绝对值的定义； 数形结合。

（4）指数不等式与对数不等式的解法：

当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >?>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

。

当01a <<时,()

()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0

()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>??

背诵5.函数的性质 1.单调性

定义：设函数的定义域为Ⅰ，如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个21,x x ，当

21x x <时，都有)()(21x f x f <，则称)(x f 在这个区间上是增函数，如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量21,x x 。当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在这个

?

区间上是减函数。

2.奇偶性 定义：

（1）偶函数：

一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数。

（2）奇函数：

一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数。

偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称。 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致。 背诵6.二次函数

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax 2+bx+c(a 不为0)。其图像是一条主轴平行于y 轴的抛物线。

a ，

b ，

c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a 的绝对值可以决定开口大小。a 的绝对值越大开口就越小，a 的绝对值越小开口就越大。

背诵7.指数函数

指数函数的一般形式为y=a x

(a>0且≠1) (x∈R)。 y=a x

（a>1） 定义域：R ；值域：（0，+∞）；过定点（0，1）；

当x>0时，y>1； x<0时,0

（00时，01；在（-∞，+∞）上是减函数。 背诵8.对数函数

一般地，函数y= log a X,(其中a 是常数，a>0且a 不等于1）叫做对数函数。

函数y= log a X ，当a ＞ 1时，定义域为(0,+ ∞)，值域为R ，非奇非偶函数，过定点(1,0)，在(0,+ ∞)上是增函数；

函数y= log a X ，当0 ＜ a ＜ 1时，定义域为(0,+ ∞)，值域为R ，非奇非偶函数，过定点(1,0)，

在(0 ,+ ∞)上是减函数。

性质：如果＞0且≠1，M ＞0，N ＞0，那么：

换底公式：log log log m a m N

N a

= ( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)

对数恒等式：=N

()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x y a a log log log a a a MN M N =+log log log a

a a M

M N N

=-log log ()n a a M n M n R =∈log a N

a

背诵9.三角函数

1.设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P （x ，y ），P 与原点O 之间的距离记作r （r =

＞0），列出六个比值：

r y =sin α（正弦） r x =cos α（余弦） x y =tan α（正切）

y r =csc α（余割） x r =sec α（正割） y

x

=cot α（余切）

αα

α

tan cos sin =αα

αcot sin cos =

1cot tan =?αα1sin csc =α?α1cos sec =α?α

1cos sin 22=+αα1tan sec 22=-αα1cot csc 22=-αα 4.和差关系

sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β sin （α－β）=sin αcos β－cos αsin β cos （α+β）=cos αcos β－sin αsin β cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin β

tan （α+β）=(tan α+tan β )/(1－tan α ·tan β) tan （α－β）=(tan α－tan β)/(1+tan α ·tan β) 5.倍半角关系

αααcos sin 22sin =；

ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；

αα

α2122tg tg tg -=

2cos 12sin

α

α

-±

=；

2cos 12cos αα+±=；

α

ααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg ． 背诵10.等差数列

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就

叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示，其符号语言为：

1(2,)

n n a a d n d --=≥为常数。 1.递推关系与通项公式

2

)(1n a a S n n +=

； 2)1(1d

n n na S n -+=

2.等差中项：

若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2

c

a b +=

；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。

3.前n 项和公式

2

)(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+=

)

,()(,

)2

(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn

An n f S n d

a n d S n n n +=+==-+= 是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

4.

等

差

数

列

{}

n a 的基本性质

)

,,,(*∈N q p n m 其中，

q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

背诵11.等比数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q(q ≠0)。

1.递推关系与通项公式：

m

n m n n n n n q a a q a a qa a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111 2.等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为

ac b ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。

3.前n 项和公式：

)1(11)1()1(111

≠???

??--=

--==q q q a a q

q a q na S n n n

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m

n

n n m n n n n --=--=

--=-+=-+==-+1;

)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：

背诵12.数学归纳法

对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。

背诵13.极限 1.几个常用极限

（1）1

lim

0n n →∞=，lim 0n n a →∞

=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，00

11

lim x x x x →=;

（3）0sin lim

1x x

x

→=；

（4）1lim 1x

x e x →∞

??

+= ???

(e=2.718281845…)。

2.函数极限的四则运算法则

若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x g x b →=，则

（1）()()0lim x x f x g x a b →±=±????；

（2）()()0

lim x x f x g x a b →?=?????; （3）()()()0

lim

0x x f x a

b g x b

→=≠。 3.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞

→∞

==，则

（1）()lim n n n a b a b →∞

±=±；

（2）()lim n n n a b a b →∞

?=?；

（3）()lim

0n n n

a a

b b b →∞=≠；

（4）()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞

→∞

→∞

?=?=?( c 是常数)。

背诵14.排列组合

1.排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一

.m n m

n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从

()()()()()n m m n n m n n n n A m

n ≤-=+---=!

!121……，1!0=规定：。

2.组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不

.m m

n C 有组合个数记为个元素的一个组合，所同元素中取出 ()()()!!!!11m n m n m m n n n A A C m m

m

n m n

-=

+--==……，10

=n C 规定：。 组合数性质：

n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，。 背诵15.二项式定理

n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---……222110)(

)10(1n r b a C T r

r n r n r ……，：二项展开式的通项公式==-+，

r

n C 为二项式系数(区别于该项的系数)。 性质：

()n r C C r

n n r n ，……，，，）对称性：（2101==- n n n n n C C C 2210=+++…）系数和：（，14

205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ……。

最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

项式为偶数，中间两项的二为奇数时，；项，二项式系数为

)1(122+??

?

??+n n C n n

n 系数最大即第21

2112

1

21+-=+++n n n n C C n n 项，其二项式系数为项及第 背诵16.平面向量

向量的概念：既有大小又有方向的量，向量常用有向线段来表示。

零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的。

单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB

共线的单位向量是||

AB AB ± )。

平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥

b ，规定零向量和任何向量平行。

平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

1.平面向量的数量积

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,O

A a O

B b == ，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π

时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ

。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）在上的投影为||cos b θ

，它是一个实数，但不一定大于0。 （4）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：

①

0a b a b ⊥??= ；

②当，同向时，?＝a b ，特别地，22,a a a a a =?== ；当与反向

时，?＝－a b

；当θ为锐角时，?＞0，且 a b 、不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要

非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b

、不反向，0a b ?< 是θ为钝角的必要非充分条

件；

③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ?= ；

④||||||a b a b ?≤ 。

2.平面向量的运算 （1）几何运算

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向

量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==

，那么向量AC 叫做a 与

b

的和，即a b AB BC AC +=+= ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=

那么，由减

向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==

，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±

，12)y y ±。

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==

。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--

，即一个向量的坐标等于表示这个向

量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+

。

⑤向量的模：

222

2||||a a a x y ===+ 。 ⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则

||AB =

背诵17.空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a

＝λb 。

共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p

与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使

p xa yb =+

。

1.空间向量的直角坐标运算律：

（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++

， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈

， 112233a b a b a b a b ?=++

， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈

， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=

。

(2)若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---

。

模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b

b = ，

则||a ==

，

||b == 2.

夹角公式：cos ||||a b

a b a b ??==?

3.两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则||AB == ，

或,A B d =

。

4.空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b

，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，

显然有,,a b b a <>=<> ；若,2

a b π<>= ，则称a 与b

互相垂直，记作：a b ⊥ 。

（2）向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a

。

（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b ab ??<> 叫做,a b

的数量积，记作a b ? ，

即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<>

。

（4）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<>

；

②

0a b a b ⊥??= ； ③2||a a a =? 。

（5）空间向量数量积运算律：

①()()()a b a b a b λλλ?=?=?

； ②a b b a ?=?

（交换律）； ③()a b c a b a c ?+=?+?

（分配律）。

背诵18.导数

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）

－f （x 0），比值

x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x

y

??=x

x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y

??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，

并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即：f （x 0）=0lim

→?x x

y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00。 1.基本函数的导数公式

0;C '=（C 为常数） ()

1;n n x nx -'=

(sin )cos x x '=(cos )sin x x '=- ()2tan sec x x '=()2cot csc x x '=-

()sec sec tan x x x '=?()csc csc cot x x x '=-?

();x x e e '=()ln x x a a a '=