考研高等数学真题归纳
专题一:极限与连续
1、极限计算（等价无穷小替换，两个重要极限）
()4
0sin sin sin sin lim x x x x x →-????= 0
ln(1)
lim
1cos x x x x
→+=
-.
142e sin lim(
).1e
x
x x
x
x
→∞
++
+= )1ln(1
2
)(cos lim x x x +→ = .
2lim ()()x
x x x a x b →∞????-+??
= 11
0))1ln((lim -→+e x x
x = 例、求极限()[]40
1cos ln(1tan )lim
sin x x x x x
→--+
例、当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2
ln 1g x x bx =-等价无穷小,则
(A)1
1,6a b ==-
(B)11,6a b ==
(C)1
1,6
a b =-=-
(D)1
1,6
a b =-=
例、设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若
)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.
例、已知两曲线)(x f y =与2
arctan 0
e x t y dt -=?
在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并
求极限)2(lim n
nf n ∞
→.
例、当0x +
→时,
(A)1-
(B)
1
(D)1-
例、把+
→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x
x x
???
===
30
2
sin ,tan ,cos 2
γβα,使排在后面
的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,
(D)αγβ,,
例、已知函数()11
sin x f x x x
+=
-，记()0lim x a f x →=，
(I)求a 的值;
(II)若0x →时，()f x a -与k
x 是同阶无穷小，求常数k 的值.
2、两个极限收敛准则（夹逼准则，单调有界准则） 夹逼准则
例、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞
→n n a ,1lim =∞
→n n b ,∞=∞
→n n c lim ,则必有
(A)n n b a <对任意n 成立 (B)n n c b <对任意n 成立 (C)极限n n n c a ∞
→lim 不存在
(D)极限n n n c b ∞
→lim 不存在
例、①证明：对任意的正整数n ，都有
n
n n 1
)11ln(11<+<+成立； ②设......)2,1(ln 1
............211=-+++=n n n
a n ，证明数列{}n a 收敛.
单调有界准则
例、设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==.
求:(1)证明lim n x x →∞
存在,并求之.
(2)计算2
1
1lim n x n x n x x +→∞
?? ???
. 例、设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==+++
+，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛
的
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
例、设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,n u f n n ==则下列
结论正确的是
(A)若12u u >,则{n u }必收敛
(B)若12u u >,则{n u }必发散 (C)若12u u <,则{n u }必收敛
(D)若12u u <,则{n u }必发散
例、设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是
(A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛 (B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛
(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛
例、(I)证明方程1x x x +
+=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12??
???
内有且仅有一个实根；
(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞
存在，并求此极限.
3、含极限的函数
例、设函数n n
n x
x f 31lim )(+=∞
→,则()f x 在),(+∞-∞内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个不可导点
4、函数的连续与间断点
例、设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ?表示"M 的充分必要条件是",N 则必有
(A)()F x 是偶函数()f x ?是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ?是偶函数 (C)()F x 是周期函数()f x ?是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ?是单调函数
例、函数()3
sin x x f x nx
-=的可去间断点的个数（ ）
()A 1.
()B 2. ()C 3.
()D 无穷多个.
5、函数图象的渐近线
例、曲线1
22
+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.
例、曲线
1
ln(1e)x
y
x
=++,渐近线的条数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
例、曲线
2
21
x x
y
x
+
=
-
渐近线的条数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
专题二：导数与可微
1、可导、可微定义与几何意义
例、设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导?
(A)20(1cos )
lim h f h h
→-存在
(B) 0(1e )
lim h h f h
→-存在
(C)2
(sin )
lim
h f h h h
→-存在
(D)h
h f h f h )
()2(lim
-→存在
例、设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是
(A)若0()lim
x f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()
lim x f x f x x
→+- 存在,则(0)0f =
(C)若0()lim x f x x → 存在,则(0)0f '= (D)若0()()
lim x f x f x x
→-- 存在,则(0)0f '=
例、设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则
(A)0dx y <
(D)0dy y
例、设函数2()(1)(2)
()x
x
nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =
（A ）1
(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1
(1)
!n n -- （D ）(1)!n n -
例、已知2
e 610y
xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.
例、设()y y x =是由方程xy 1y
e x +=+确定的隐函数，则2x=0
d y
=dx
2
例、设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数，则20
2
x d y
dx
== .
例、设2
0e ,ln(1),t
t
x y u du -==+?求220
t d y
dx == .
2、导数的应用
应用一：切线，法线，曲率
例、曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .
例、曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .
例、曲线2221-x=0
ln(2)u t e du
y t t -?
???=-?
?在（0，0）处的切线方程为 例、曲线()2
0y x x x =+<
上曲率为
2
的点的坐标是 . 例、若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）
()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.
()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.
应用二：判断单调性、凹凸性
例、函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为
例、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为
(A) (B)
(C) (D)
例、设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为
(A)
(B)
(C)
(D)
例、设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有
(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点
例、设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有
(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >
(C)()()()()f x g x f b g b >
(D)()()()()f x g x f a g a >
例、曲线4
32)4()3()2)(1(----=x x x x x y 的拐点是（ ）
A （1，0）
B （2，0）
C （3，0）
D （4，0） 例、设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得
(A)()f x 在(0,)δ内单调增加
(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少
(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f > 例、设函数)(x f 在+
R 上有界且可导,则
(A)当0)(lim =+∞
→x f x 时,必有0)(lim ='+∞
→x f x
(B)当)(lim x f x '+∞
→存在时,必有0)(lim ='+∞
→x f x
(C) 当0)(lim 0=+
→x f x 时,必有0)(lim 0='+
→x f x
(D) 当)(lim 0x f x '+
→存在时,必有0)(lim 0='+
→x f x .
应用三：判断不等式
例、证明：2
1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-
应用四：讨论零点的个数
例、设函数2
()ln(2)x f x t dt =
+?
则()f x '的零点个数
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
例、求方程0arctan =-x x k 的不同实根的个数，其中k 为参数。
专题三：微分中值定理
1、证明不等式
例、设2e e a b <<<,证明22
24
ln ln ()e
b a b a ->
-.
2、存在性问题
设函数()f x 在[0,]π上连续,且
()0,()cos 0.f x dx f x xdx π
π
==?
?试证:在(0,)π内至
少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==
设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:
(1)对于)1,0()0,1( -∈?x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.
(2)5.0)(lim 0
=→x x θ.
已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .
(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f
设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=.
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.
(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0
lim x f x A +
→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=.
专题四：不定积分
求2arctan e e
x
x
dx ?.
ln(1dx +
? (0)x >
专题五：定积分
1、定积分的计算
?
=_____________.
?
∞+e
x
x dx
2ln = _____________.
31
2
1
1e x dx x
?
=_______. 2
π?
= .
2
?
________。
例、如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点
(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分
?
'''+3
2.
)()(dx x f x x
例、1
n lim
e sin x nxdx -→∞=?
2、定积分的定义及性质 例、2
2lim (1)n n
→∞
+等于
（A ）
2
21
ln xdx ?. （B ）21
2ln xdx ?.
（C ）2
1
2
ln(1)x dx +?. （D ）2
21
ln (1)x dx +?
例、222
22111lim 12n n n n n n →∞
??
+++
=
?+++?
? .
例、如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,
在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0
()()x
F x f t dt =?
.则下列结论
正确的是
(A)3
(3)(2)4
F F =-- (B)5
(3)(2)4F F =
(C)3
(3)(2)4
F F =
(D)5
(3)(2)4
F F =--
例、设?
=
40
sin ln π
xdx I ?=40
c o t ln πxdx J ?=40
cos ln πxdx K ，则 K J I
的大
小关系是（ ）
A K J I <<
B J K I <<
C K I J <<
D I J K << 例、设2k
x k
e
I e
=?
sin x d x (k=1,2,3),则有
（A ）I 1< I 2
(B) I 2< I 2< I 3.
(C) I 1< I 3
(D) I 1< I 2< I 3.
例、(1)比较
1
ln [ln(1)]n t t dt +?
与1
ln (1,2,)n t t dt n =?的大小,说明理由.
(2)记1
ln [ln(1)](1,2,),n n u t t dt n =
+=?
求极限lim .n x u →∞
3、变上限积分函数与含参变量积分 例、设()f x 是连续函数,
(1)利用定义证明函数()()0
x
F x f t dt =
?可导,且()()F x f x '=.
(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()2
2()()x
G x f t dt x f t dt =-?
?也是
以2为周期的周期函数. 例、求函数2
21
()()e x
t f x x t dt -=-?
的单调区间与极值.
4、定积分的应用
例、过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .
(1)求D 的面积A .
(2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V .
例、过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
5、反常积分 例、已知
1k x
e dx +∞
-∞
=?
,则k =
例、设,m n 为正整数,则反常积分
?
的收敛性
(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关
(C)与,m n 取值都有关
(D)与,m n 取值都无关
6、弧长微分（数学一、二） 例、曲线)4
0(tan 0
π
≤
≤=
?
x tdt y x
的弧长为_____________
专题六：微分方程
1、变量分离法 例、
2、一阶线性微分方程
例、微分方程x x y y x ln 2=+'满足9
1
)1(-
=y 的解为____________. 例、微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . 例、微分方程(1)
y x y x
-'=
的通解是 . 例、微分方程x e y y x cos =+'满足条件0)0(=y 的解为________________
例、微分方程()
2
d 3d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y
==的解为y = .
例、已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .
可转化为一阶方程的例题
例、微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. 例、02='+''y y y 满足初始条件1
(0)1,(0)2
y y '==
的特解是_____________. 例、设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。 3、二阶常系数线性微分方程
例、求微分方程322e x
y y y x '''-+=的通解.
例、二阶常系数非齐次线性方程2432x
y y y e '''-+=的通解为y =____________.
例、若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12e x
y C C x =+,则非齐次
方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .
例、设e (sin cos )(,x
y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
例、设()y y x =是区间-ππ（，）内过
（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任
一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=。求()y x 的表达式
例、已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,
(I) 求()f x 的表达式;
(II) 求曲线220()()d x
y f x f t t =-?的拐点.
例、设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.
(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (3
2
2=++dy dx x y dy
x d 变换为()y y x =满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件2
3
)0(,0)0(=
'=y y 的解. 例、在下列微分方程中,以123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是
(A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+=
(D)440y y y y ''''''-+-=
4、微分方程的换元法
例、欧拉方程)0(0242
22
>=++x y dx dy
x dx
y d x 的通解为__________ . 例、用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2
=+'-''-y y x y x ，并求其满足
2,10
='
===x x y y
的特解.
例、设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α是曲线l 在点(,)x y 处的切线倾角，且满足
d dy
dx dx
α=，求()y x 的表达式。 例、(1)验证函数∑∞
==03)!
3()(n n
n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.
(2)求幂级数∑∞
==0
3)!3()(n n
n x x y 的和函数.
专题七：级数
1、数项级数的敛散性判别 例、设级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,则必收敛的级数为
(A)1
(1)n
n n u
n ∞
=-∑
(B)
2
1n
n u
∞
=∑
(C)
21
21
()n n n u
u ∞
-=-∑
(D)
11
()n
n n u
u ∞
+=+∑
例、若级数
1n
n a
∞
=∑收敛,则级数
(A)
1
n
n a
∞
=∑收敛 (B)
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛
(C)
11
n n n a a ∞
+=∑收敛
(D)
1
1
2n n n a a ∞
+=+∑收敛 例、设有两个数列{}{},n n a b ,若lim 0n n a →∞
=,则
(A)当
1n
n b
∞
=∑收敛时,
1n n
n a b
∞
=∑收敛. (B)当
1n
n b
∞
=∑发散时,
1n n
n a b
∞
=∑发散.
(C)当
1
n
n b
∞
=∑收敛时,
22
1
n n
n a b
∞
=∑收敛. (D)当
1
n
n b
∞
=∑发散时,
221
n n
n a b
∞
=∑发散.
例、设0≠n u ,且1lim
=∞→n
n u n ,则级数)11
()1(11+++-∑n n n u u 为
(A)发散
(B)绝对收敛
(C)条件收敛
(D)收敛性不能判定
例、设
∑∞
=1
n n
a
为正项级数,下列结论中正确的是
(A)若n n na ∞
→lim =0,则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛
(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞
→n n na lim ,则级数
∑∞
=1
n n
a
发散
(C)若级数
∑∞
=1n n
a
收敛,则0lim 2
=∞
→n n a n
(D)若级数
∑∞
=1
n n
a
发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞
→n n na lim
例、设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当
1α>时,级数1n n x α
∞
=∑收敛.
例、设n a 为曲线n y x =与()
1
1,2,.....n y x
n +==所围成区域的面积,记
12211
1
,n n n n S a S a ∞∞
-====∑∑,求1S 与2S 的值.
2、幂级数
收敛域
例、求幂级数113(2)
n
n n
n x n ∞
=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. 例、已知幂级数
()0
2n
n n a x ∞
=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()0
3n
n n a x ∞
=-∑的
收敛域为 .
例、设数列{}n a 单调减少，且0lim =∞
→n n a 。∑==
n
i i
n a
S 1
无界，则幂级数
n n n
x a
)1(1
-∑∞
=的收
敛域为（ ）
A ]11-（
B )11[-
C )20[
D ]20(
幂级数展开
例、将函数()2
2x
f x x x =
+-展开成x 的幂级数.
例、将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞
=+-01
2)1(n n
n 的和.
例、设()f x = 21a r c t a n 0
10
x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞
=--12
41)1(n n n
的和. 例、设函数1
23
y x =+，则()(0)n y =________.
和函数
例、求幂级数121(1)21
n n
n x n -∞
=--∑的收敛域及和函数.
例、求幂级数∑∞
=--+
-1
21
))
12(1
1()
1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .
例、设幂级数
n
n n a x
∞
=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足
240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===
(1)证明:22
,1,2,.1
n n a a n n +=
=+
(2)求()y x 的表达式.
3、傅里叶级数 例、设)(cos 0
2
ππ≤≤-=
∑∞
=x nx a
x n n
,则2a = .
例、()2
1(0)f x x x π=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1
21
1n n n -∞
=-∑
的和.
专题八：多元函数微分学
1、多元函数
例、设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =
2、偏导数与全微分
计算部分
例、设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z
x y
?=?? .
例、设(,)f u v 为二元可微函数,(,)y x z f x y =,则z
x
??=______. 例、设1ln ,z f x y ??=+
???
其中函数()f u 可微，则
2z z x y x y ??+=?? . 例、设函数dt t t y x F xy
?
+=
2
1sin ),(，则______________|2
022=??==y x x F
例、设函数(,)z z x y =由方程(,)0y z
F x x
=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则
z z x
y x y
??+??= (A)x (B)z (C)x -
(D)z -
例、设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z
x y
???
例、设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且