2018年6月数学学考试卷及答案

2018年6月浙江省数学学考试卷及答案

一选择题

1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B = （ ）

A. {1}

B.{2}

C.{1,2}

D.{1,2,3} 答案：B 由集合{1,2}A =，集合{2,3}B =，得{2}A B = .

2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）

A. (1,)-+∞

B.[1,)-+∞

C.(0,)+∞

D.[0,)+∞ 答案：A

∵2log (1)y x =+，∴10x +>，1x >-，∴函数2log (1)y x =+的定义域是(1,)-+∞. 3. 设R α∈，则sin(

)2

π

α-=（ ）

A. sin α

B.sin α-

C.cos α

D.cos α-

答案：C 根据诱导公式可以得出sin(

)cos 2

π

αα-=.

4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ） A. 2倍B.4倍C.6倍D.8倍 答案：D

设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为3

43

r π，球后来的体积为

33

4(2)3233r r ππ=，球后来的体积与球原来的体积之比为3

3323843

r r

ππ=.

5. 双曲线

22

1169

x y -=的焦点坐标是（ ） A. (5,0)-，(5,0) B.(0,5)-，(0,5)

C.(

，

D.(0,

， 答案：A

因为4a =，3b =，所以5c =，所以焦点坐标为(5,0)-，(5,0).

6. 已知向量(,1)a x = ，(2,3)b =-

，若//a b ，则实数x 的值是（ ）

A. 23-

B.23

C.32-

D.3

2

答案：A

(,1)a x = ，(2,3)b =- ，

利用//a b 的坐标运算公式得到320x --=，所以解得23

x =-. 7. 设实数x ，y 满足0

230

x y x y -≥??

+-≤?，则x y +的最大值为（ ）

A. 1

B.2

C.3

D.4 答案：B

作出可行域，如图：

当z x y =+经过点(1,1)A 时，有ax 2m z x y =+=.

8. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B = ，30C =

，1c =，则b =（ ）

A.

B.

答案：C

由正弦定理sin sin b c B C =

可得sin 1sin 4521sin sin 302

c B b C ??

====?

9. 已知直线l ，m 和平面α，m α?，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B

因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。 10. 要得到函数()sin(2)4

f x x π

=-

的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）

A. 向右平移

8π个单位 B.向左平移8

π

个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4

π

个单位 答案：A

因为()sin(2)sin 2()48f x x x π

π=-

=-，所以要得到()sin(2)4

f x x π

=-的图象只需将

()sin 2g x x =的图象向右平移

8

π

个单位. 11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（ ） A. 与m 有关，且与n 有关 B.与m 有关，但与n 无关 C.与m 无关，且与n 无关 D.与m 无关，但与n 有关

答案：D

∵2222

m n m n

x m n n x m n x -+-

<< ∴22

m n m n

n βα+--=

-=，与m 无关，但与有关. 12. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，N ，

6AB =，2AD DC ==

，BC = ）

A B C D 答案：C

画三视图要注意：可见轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C. 13. 在第12题的几何体中，二面角E AB C --的正切值为（ ）

A.

B. C.1

D.

答案：D

过点C 作CM AB ⊥连接EM ,因为平面DCEF 与平面ABCD 垂直且EC DC ⊥，所以

EC ABCD ⊥平面,所以EC AB ⊥,所以AB ⊥平面EMC ，所以EMC ∠即是两平面的二面

角.过C 作//CN AD ，所以四边形ADCN

为平行四边形，所以

24CN BN ==，,

所以CM =

tan EC EMC CM ∠==

n

14. 如图，A ，B 分别为椭圆22

:

1(0)x y C a b a b

+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

13

B. C.23

D.

答案：D 法一：

设EOA θ∠=，2HOA θ∠=，则tan BO b OA a θ=

=，1tan 2AB a

k b

θ=-=，结合正切的二倍角公式知22

21b

a a

b b

a

=-，化简得22

3a b =

，故c e a ==.

法二：

AB

，2EA =

，2

cos HA OA HAO a =?∠==

，22HE HA EA =-=

OA OB OH AB ?=

=由内角平分线定理，

OA EA OH EH =，代入化简得22

3a b =

，故3

c e a ==

.

15. 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ） A. 14部分B.18部分C.21部分D.24部分 答案：C

想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成7个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块7个区域，共21个区域.

16. 函数2

()()x n m

f x e -=（其中e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）

A. 0m >，01n <<

B.0m >，10n -<<

C.0m <，01n <<

D.0m <，10n -<<

答案：C

2x m

y e =为偶函数，向右移n 个单位为()f x ，由图可知01n <<，当x →∞时，0y →，

故0m <.

17. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和.若对任意的n N *

∈，有3n S S ≥，则

6

5

a a 的值不可能为（ ） A.

43 B.32 C.5

3

D.2

答案：

A

由3n S S ≥可知公差0d >，30a ≤，40a ≥. 法一：

如图，在数轴上标出数列{}n a ，不妨设原点O 到4a 的距离为(01)m m ≤≤，公差1d =.

则

652131[,2]112

a m a m m +==+∈++. 法二：

655551a a d d a a a +==+，由上图可知，5

d a 是45a a 占5Oa 的比值，这个比值与m 的大小有关，m 越大，这个比值越小，所以

51[,1]2d a ∈，653

[,2]2

a a ∈. 18. 已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）

A. 21x y y x +

>+ B.11

2x y y x

+>+ C.

21x y y x -

>- D.112x y y x

->- 答案：B

对于A ，取x y =，该不等式成立，但不满足x y >；

对于C ，该不等式等价于12

x y x y +

>+，取0x →，1y =，该不等式成立，但不满足x y >； 对于D ，该不等式等价于11

2x y x y

+

>+，取0x →，1y =，该不等式成立，但不满足x y >；

下面证明B 法一：

该不等式等价于112x y x y -

>-，而111

2x y y x y y

->->-.

函数1

()f x x x

=-在(0,)+∞上单增，故x y >. 法二：

若x y ≤，则

112y x <，故112x y y x

+<+，矛盾. 二填空题

19. 圆22(3)1x y -+=的圆心坐标是_______，半径长为_______.

答案：(3,0)；1.

因为圆22

(3)1x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)，半径1r =.

20. 如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连， 得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为______.

答案：

12

.

第1个正方形边长为4，面积116

S =,第二个正方形边长为

28S =,以此类推得

到

1162n n S -=

，所以6

1

2S =

21. 已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值范围是_______.

答案：[4,)+∞.

易得a a b b =-，故21

121111b b a b b b b

=

==-++---. 由0a b >>得2001b b b >??

?>?-?

，故1b >，所以224a ≥+=.

22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、

y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OM OP ? 的最小值为_______.

答案：

2

5

. 设(,22)P t t -，:(22)PA l m y t x t +-=-，(22,0)A mt m t -+，:22()PB l y t m x t +-=--，

(0,22)B mt t -+，故(,1)22

t mt

M mt m t -+-+. 22252((1))2(1)(1)2(1)4222225

t mt t OM OP t m t t t t t t ?=-++--+=+-=-+≥ .

三解答题

23.

已知函数1()sin 2f x x x =

，x R ∈. （Ⅰ）求()6

f π

的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.

答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）max ()1f x =，{|2,}6

x x k k Z π

π=+

∈.

解答：

（Ⅰ）113()sin cos 16

262644f π

ππ=

+=+=.

（Ⅱ）因为()cos

sin sin

cos sin()3

33

f x x x x π

π

π

=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，

当23

2

x k π

π

π+

=+

，即2()6

x k k Z π

π=+

∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时

x 的集合为{|2,}6

x x k k Z π

π=+

∈.

24. 如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .

（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2

RA RB RP ?=时，求点P 的坐标.

答案：（Ⅰ）210x y -+=；（Ⅱ）1

1(,)42

±. 解答：

（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联立方程组

2

1(1)y k x y x

-=-??=?，消去x ，得2

10ky y k -+-=，由已知可得14(1)0k k ?=--=，解得1

2

k =

，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2

()y t k x t -=-，联立方程组2

2()y t k x t y x

?-=-??=??，消去x ，得22

0ky y t kt -+-=，由已知可得

214()0k t kt ?=--=，得1(0)2k t t =

≠，所以，点R 的纵坐标22

t

t kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22

t

y tx =-+.

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2

y x =，得2

2

2

2

4(21)04

t t x t x -++=，

所以2242(21)4410t t t ?=+-=+>，12116

x x =

，又1RA =，

2RB =，24214RP t t =+，由2R A R B R P ?=，得24

2121(14)4

t x x t t +=+，

即24

211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42

±. 25. 设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈.

（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；

（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.

答案：（Ⅰ）21

(,]4

-∞；（Ⅱ）[1,0]-. 解答：

（Ⅰ）当1a =时，2251,0

()1,0

x x x f x x x x ?---≤?=?-+->??，

（ⅰ）当0x ≤时，2

5

21()()2

4f x x =-++

，此时21()(,]4

f x ∈-∞； （ⅱ）当0x >时，2

13()()2

4f x x =---

，此时3()(,]4

f x ∈-∞-， 由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21(,

]4

-∞. （Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1

(1)1f a f a ≥-??+≥-?

，即

22

2

341

3(1)(21)1

a a a a a ?-≥-??+-+≥-??，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，

（ⅰ）当0a x ≤≤时，22()f x x ax a =-+-，2()(0)1f a f a ==-≥-，故

()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；

（ⅱ）当01x a ≤≤+时，22()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故

()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.

由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-.

所以，实数a 的取值范围为[1,0]-.