应力状态与应变状态分析

第8章典型习题解析

1. 试画出下图所示简支梁A 点处的原始单元体。

图8.1

解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力:

A 点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：

z M y I σ= b

I QS z z

*=

τ

由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图(d)。

2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解：（1）求斜截面上的正应力

?30－σ和切应力?30－τ

由公式

MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=?---?---++-=

?-σ

MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=?--+?---=

?-τ

（2）求主方向及主应力

8

.010050120

22tan -=----=--

=y x x σστα ?-=66.382α

?=?

-=67.7033.1921αα

最大主应力在第一象限中，对应的角度为

070.67α=?，主应力的大小为

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=

??--??=－＋－－＋

由

y x σσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPa x y ασσσσ=+=-+-=-－

因有一个为零的主应力，因此

)33.19(MPa

0.7133?--＝第三主方向＝ασ

画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面的法线方向

25

.1120100

502tan =---=

'α ?='34.512α

?='?

='67.11567.2521αα

主切应力为

'

2

'

1

MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=?-+?--=

此两截面上的正应力为

MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=?--?--++-=

'ασ

MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=?--?--++-=

'ασ

主切应力单元体如图所示。

由

y

x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以验证上述结果的正确性。

3.试用图形解析法，重解例2。 解：（1）画应力圆

建立比例尺，画坐标轴τσ、。 对图(a)所示单元体，在τσ

-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表

y y τσ、的点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）

为半径，作应力圆如图所示.

(2) 斜截面上的应力

在应力圆上自A 点顺时针转过?60，到达G 点。G 点在τσ、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值：

64.5ασ=-MPa

τ

α

=34.95MPa

(3)主方向、主应力及主单元体

图所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力，即

1121.04MPa OH σ==

K 点的横坐标OK 为第三主应力，即

371.04MPa OK σ==-

由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y

轴顺时针转

0α，且

00238.66,19.33αα=?=?

应力圆图上由A 顺时针转到K 点(?=∠66.38ACK )，则在单元体上由x 轴顺时针转过?33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。

（4）主切应力作用面的位置及其上的应力

图所示应力圆上N 、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由B 到N ，逆时针转过?34.51，单元体上max τ作用面的外法线方向为由y

轴逆时针转过?67.25，且

MPa 04.96min max ==-=CB ττ

min max ττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。

4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩m 的作用。在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45?方向两个微小线段ab 和ac 的的应变ε45?＝629.4×10–6

，ε–45?＝－66.9×10–6

，试求压强P 和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d ＝200mm ，厚度t ＝10mm ， E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.25。

解：（1）a 点为平面应力状态,在a 点取出如图(c)所示的原始单元体，其上应力：

22,,42x y x pd pd m

t t d t σστπ=

==-

（2）求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上的正应力：

245245

32283228x y

x x y x pd m

t d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=

+

+=+=-

（3）利用胡克定律，列出应变ε45?、ε–45?表达式

()()()()()()2454545245454511321181132118pd m E E t d t pd m E E t d t εσμσμμπεσμσμμπ---??=

-=-++??????-=-+????＝

-

将给定数据代入上式

6

6

3213200210629.4100.75 1.252001081020010p m π-?????=??+? ?

?????

6

6

321320021066.9100.75 1.252001081020010p m π-????-?=??-? ?

?????

得内压强和外力矩

p ＝10MPa ， m ＝35kNm

5.直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆,受力如图。试绘杆件中 A 点和 B 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。

（c ）

(a) （b ） （d ）

解：以下图为图各单元体受力图：

应力计算:

图（a ）的A 点 :

a N

63.69MP A σ=

=-

图（b ）的A 点:

a

3

80

50.96MP d

16

τ=

=π 图（c ）的A 点:

a N

127.38MP A σ=

=

B 点

:

点

A 点

A 点

A )

(a )

(c )

(b 点

B )

(d 点

B τ

τ

τ

a N

127.38MP A σ=

= , a

38050.96MP d 16

τ==π 图（d ）中A 点(压应力):

3

a

33z

M 201025.48MP 1W 3.14(2010)32

-?σ===??? B 点:

*z a

z QS 4Q 0.17MP I b 3A τ===

(b ）中的A 为危险点，（c ）中的A 、B 为危险点，（d ）中的A ，B 点均为危险点,相比之下A 点的应力较大。

6.已知应力状态如图所示(应力单位:MPa)。试用图解法求:

(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;

(2) (c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。

(a)300

斜截面单元本;(b)450

斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体 (e) 拉压切单元体。

解：(a) 按比例画出应力圆如下图,可得α=300

的斜截面的正应力和切应力为E 点的坐标为

30a

45MP ?σ=

30a

8.5MP ?τ=

解析法校核：

x y x y

x a

x y x a

30505030

cos 2sin 2cos6045MP 22225030sin 2cos 28.5MP 22αασ+σσ-σ+-σ=

+

α-τα=

+=σ-σ-τ=α+τα=== (b) 用比例画出应力圆,E 点的坐标为

45a

5MP ?σ=

45a

25MP ?τ=

解析法校核：

x y x y

x a x y

x a 5050cos 2sin 2cos9020sin 905MP 22

22

50

sin 2cos 2sin 9025MP 2

2

αασ+σσ-σσ=+

α-τα=

+-=σ-στ=

α+τα=

?=

(c ）应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得

两个主应力之值分别为：

11a 232a

OA 50MP ,0,OA 50MP σ==σ=σ==-

主平面的方位可由应力圆上量得,因

112D OA 90

?=∠=-

最大主应力作用面与x 平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):

45

?=-

13

max a

50MP 2σ-στ=

=最大切力；

(d ）应力圆与σ轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：

11a

22a 3OA 70MP OA 30MP ,0σ==σ==σ= 最大主应力作用面与x 平面之夹角为(可由应力圆上得):

12FCA 90

45

?=∠=-?=-

max a

CF 20MP τ==最大切力

(e ）应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为

11a 32a

OA 44.7MP OA 44.7MP σ==σ==-

主平面的方位，可由应力圆上量得：

226.513.2

?=-?=-（对应于主应力σ1所在主平面）

max a

40MP τ=最大切力