兰州大学 硕士研究生复试情况汇总表 Lanzhou ….doc
外国语学院2017年硕士研究生复试拟录取结果（学术型）
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量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学选择题1
量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的
兰州大学量子力学教学大纲
量子力学教学大纲 教学基本内容及学时分配（72学时） 第一章绪论（4学时） 1、课程的发展和改革状况；教材评介 2、量子理论发展简史 3、黑体辐射定律与普朗克常数 4、光子 5、玻尔量子论 6、德布罗意“物质波”假设 7、原子物理中的特征量（结合量纲分析法） 第二章波函数和薛定谔方程（8学时） 1、薛定谔方程 2、波函数的统计诠释；连续性方程 3、定态；有关一维束缚态的若干定理 4、一维平底势阱中的粒子（包括无限深势阱，有限深势阱， 势阱） 5、一维谐振子（微分方程解法） 6、势垒贯穿 第三章量子力学基本原理（16学时） 1、波函数和算符 2、态叠加原理 3、线性算符；常用力学量的算符表示 4、波函数的普遍诠释（力学量的取值及概率假设）；平均值公式 5、动量（连续谱，箱归一化）；连续谱一般的理论 6、力学量算符的对易关系 7、两个力学量算符的共同本征态 8、不确定关系（测不准关系） 9、波函数随时间的变化；演化算符
10、力学量随时间的变化；薛定谔图象和海森伯图象；守恒量；宇称 11、对称性和守恒定律 12、海尔曼—费曼定理和位力定理 第四章表象理论（8学时） 1、狄拉克态矢量概念；矢量空间 2、量子力学公式的矩阵表示 3、坐标表象；波函数 4、动量表象 5、能量表象；求和规则 6、谐振子（升降算符解法）；相干态 7、角动量（升降算符解法） 第五章中心力场（7学时） 1、中心力场的一般概念 2、轨道角动量的本征函数 3、自由粒子波函数 4、球形势阱中的粒子；氘核 5、粒子在库仑场中的运动（束缚态）；类氢离子；氢原子；与玻尔量子 论的比较 6、三维各向同性谐振子 7、二维中心力场 第六章扰论与变分法（6学时） 1、非简并态微扰论；应用举例 2、简并态微扰论；一级近似 3、氢原子能级在电场中的分裂 4、变分法；应用举例 第七章自旋（9学时）
量子力学考试题
量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0） ＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 《量子力学》题库 一、 简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子 2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。 在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2 1c 和 2 2c 。 5什么是定态？定态有什么性质？ 答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 6什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 《铁磁学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 《铁磁学》、磁学专业、专业基础课、5学分 （二）课程简介、目标与任务； 本课程主要介绍磁性的基础理论，以宏观到微观的尺度顺序讨论。首先回顾并加深讨论磁场的产生及磁介质在外加磁场作用下的变化，进而根据这种变化的性质对磁性材料加以分类和表征。第二部分，讨论磁性物质基本互作用能，介绍典型的磁畴结构及磁畴理论，引入畴壁的概念，重点讨论磁畴在外磁场作用下的运动和变化，并简单介绍磁性材料在交变磁场作用下的响应。最后，随着研究尺度向微观的发展，还要介绍各种类型的磁有序以及相关的自发磁化理论。 通过本课程的学习，使学生掌握磁性材料的基本概念、理解磁性和相关磁效应的基本规律、了解磁性的起源和磁性材料的基本应用，为其它磁学专业课的学习和磁学方向的实验研究奠定理论基础。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 《普通物理》、《电动力学》、《量子力学》、《固体物理》， 《普通物理》中涉及真空及介质的恒定磁场、电磁感应、偏振光、原子磁矩等内容是学习本课程的基础，《电动力学》中电磁波在物质中的传播、《量子力学》中的交换相互作用以及《固体物理》的晶体结构等方面的知识是学习本课程之前就需要理解的。 （四）教材与主要参考书。 教材：《磁学及磁性材料导论》，David Jiles著，肖春涛译，兰州大学出版社 参考：《铁磁学》（上、中、下），戴道生等著，科学出版社 二、课程内容与安排 绪论 第一章磁场 第一节磁场的产生 第二节磁场计算 第二章磁化强度和磁矩 第一节磁矩模型 第二节磁场参量 第三节磁路与退磁场 第三章磁性材料 第一节磁性材料的分类 第二节磁性特征量 第三节典型的磁性材料 第四节顺磁性和抗磁性简介 第四章磁特性 第一节磁滞现象 第二节巴克豪森效应 第三节磁致伸缩 第四节磁电阻简介 第五章磁畴 第一节磁畴模型 第二节磁性体中的主要相互作用能量 第三节几种典型的磁畴结构及其分析 第六章磁畴壁 第一节磁畴边界的特性 第二节畴壁分类及畴壁运动 第七章技术磁化过程 第一节可逆畴壁位移磁化 第二节可逆磁矩转动磁化 第三节不可逆壁移及转动磁化 第四节反磁化过程 第五节磁化过程的动态特性 第八章磁有序及自发磁化 第一节抗磁性和顺磁性理论 第二节铁磁性自发磁化理论 第三节反铁磁性和亚铁磁性的自发磁化 第四节磁结构探测及临界特性简介 （一）教学方法与学时分配 采用以课堂讲授为主、结合习题讨论和随堂提问的方法，促进学生认真听讲及课后复习整理。学时分配如下： 绪论（2学时） 第一章（8学时） 第二章（10学时） 第三章（10学时） 第四章（10学时） 第五章（10学时） 第六章（8学时） 第七章（16学时） 第八章（16学时） （二）内容及基本要求 量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.360docs.net/doc/a814619238.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D 2009-2010学年第1学期考试试题 （A ）卷 课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟 一、填空题（25分） 1、(3分)电子被100V 的电压加速，则电子的德布罗意波长为 (电子的质量为9.1×10-31 kg ，电子的电量为1.602×10－19库仑，普朗 克常数 h ＝6.62559×10－34 J ·s)； 2、(4分)力学量A 的本征态为n ψ，相应的本征值为a n ，n=1.2.3 。如果体系处于状态2211ψψψc c +=，则测量A 所得的结果为a 1或a 2，其出现的概率分别为 和 。 3、(2分)若对应于力学量A 的本征值A n 有两个本征函数，则称A ?的本征值A n 是 。 4、(2分)所有可观测量对应的算符均为 算符。 5、(3分)算符2?L 和z L 的共同的本征函数是 。 6、(4分)[] =x n p x , ； 7、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足 ；泡利 算符z y x σσσ ???＝ ； 8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密 顿算符用矩阵?? ?? ? ?????=300021012H 表示。则当测量系统的能量时，能量的可能结果是 。 二、简答题(13分) 1、(7分)什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波 的主要区别是什么？ 2、(6分)写出量子力学中的测不准关系。如果两个算符不对易，则这两个算符所代表的力学量能否同时取确定值。 三、证明题(12分) 1、(5分)证明自由粒子平面波函数是动量算符x P ?的本征函数并求本征值。 2、(7分) 证明：在Z L ?的本征态下，0=X L 。 填空选择题： （量子力学部分） 1. 动能为()c E <<υ，质量为M 的电子的德布罗意波长是[ A ] （A ）()212ME h （B ）()21 ME h （C ）()21 2ME h （D ）()212ME h 2. 不确定关系式 ≥???y p y 表示在Y 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大N 倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ] (A) 增大2N 倍 (B) 增大2N 倍 (C) 增大N 倍 (D) 不变 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1)(a x a a x a x ≤≤-= πψ 那么粒子在6 5a x =处出现的概率密度为[ A ] a 21(A) a 1(B) a 21(C) a 1(D) 1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比 =αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。 2. 一电子具有200 m.s -1 的速率，动量的不确定范围为动量的0.01% ，则该电子的位置不确定范围为m 107.32 -?。（已知电子静止质量311011.9-?=e m kg ） 3. 动能为0.025 eV 的中子的德布罗意波长=λm 108.110-?。 (普朗克常量s J 1063.634??=-h ，中子质量kg 1067.127-?=m ) 4. 光子的波长3000=λ ?，如果确定此波长的精确度610-=?λλ ，求此光子波长的不确 定量 0.048m x ?≥ 5. 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()a x a x n a x n < 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A 第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场 ???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并？ ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-= 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。 ２． 对于一转动惯量为I 的平面转子，其能量算符为I L H z 2 =，求体系的能量本 征态。如??ψsin )0,(A =，求),(t ?ψ。 ３．量子化对称陀螺的哈密顿量可写成 曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ 量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是A A. A 0 . B. A 0 . C. A 0 . D. A 0 . 2. 能量为的自由中子的De Broglie 波长是 A 0 B. A 0 . C. A 0 . D. A 0 . 3. 能量为，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 A 0 ?10 12 -A 0 ?1012 -A 0 D. A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是 A 0. B. A 0. C. 10A 0. D. A 0 . 、 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()12 ω . C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A 0 B. A 0. C. A 0. D. A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. ?1018-. B. ?1018-. C. ?1016-. D. ?1016 -. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc . B. 22μc . C. 22 2μc . D. 22μc . 效应证实了 A.电子具有波动性. B. 光具有波动性. C.光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. ， 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性. C. 光具有粒子性. D. 电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由 ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ2 ()x . D.δ2 ()x dx . 13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C 量子力学期末试题及答案 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J 不显含时间。 四、计算题。 1 、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， 1. 量子力学只适应于【 】 A.微观客体 B.低速微观客体 C.宏观物体 D.宏观物体和微观客体 2.算符A 本征态是指【 】 A.在该态上测量力学量A 没有确定值 B.算符A 为厄米算符 C.在该态上多次测量力学量A 有唯一确定值 D.一个确定的状态 3.定态是指【 】 A.波函数形式为Et i e r -)(ψ的态 B.波函数形式为r p i e t ?-)(ψ的态 C.波函数形式为)(21x p Et i x e -- π的态 D.波函数形式为)?(23 )2(1 x p Et i e ?-- π的态 4.波函数和体系状态的关系是【 】 A.波函数完全确定体系状态 B.只有定态波函数才能唯一确定体系状态 C.因不确定常数因子的影响，波函数不能完全确定体系状态 D.因不确定相因子的影响，波函数不能完全确定体系状态 5.波函数确定则【 】 A.所有力学量的取值概率完全确定 B.某些力学量的取值可以完全确定 C.只有体系能量完全确定 D.波函数与力学量取值无关 6.可测量的物理量在量子力学中可以用厄密算符表示，原因是【 】 A.厄米算符作用在波函数上得到复数乘以该波函数 B.厄米算符是幺正算符 C. 厄密算符的本征值都是实数 D.厄密算符的本征值取值概率一定 7. 中心力场中体系守恒量有【 】 A.只有能量 B.动量和角动量 C.只有角动量 D.能量和角动量 8.两个电子体系的自旋波函数是 A. )2()1(βα B. )1()2(βα C. )]2()1([21βα+ D. )] 1()2()2()1([21βαβα+ 9.下列说法错误的是【 】 A.电子是费米子 B.电子自旋在z 方向的分量是2 ± C. 电子是玻色子 D. 电子满足Pauli 不相容原理 10.下列说法错误的是【 】 A.Pauli 矩阵是厄米矩阵 B. y y σσσ、、x 的本征值都是1± C.在各种表象下 y y σσσ、、x 的表示形式不变 D.在不同表象下y y σσσ、、x 的表示不同量子力学期末考试试卷及答案
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