高中数学必修一集合教案
集合的概念
（一）有关概念:
1、集合的概念
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.
（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
a?
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
{Φ，}0{，0等符号的含义
注：应区分Φ，}
5、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *
集合的表示
（5）元素与集合之间的关系
（6）集合的表示方法 ①列举法 如：｛a,b,c ｝
注意：元素之间用逗号隔开，列举时与元素的次序无关
比较集合｛a,b,c ｝和｛b, a,c ｝引出集合相等的定义 定义：集合相等
②描述法 格式：｛x|p(x)｝的形式 如：｛x| x ﹤-3，x R ∈｝
观察下列集合的代表元素
Ⅰ、｛x|y=x 2｝ Ⅱ、｛y |y=x 2｝ Ⅲ、｛(x, y) |y=x 2｝
③Venn 图示法 如：“book 中的字母” 构成一个集合
(7)集合的分类：按元素个数可分为
3、例题
例1.⑴求不等式2x-3＞5的解集
⑵求方程组
{
10
=+=-y x y x 解集
⑶求方程012=++x x 的所有实数解的集合 ⑷写出012=-x 的解集
例2.已知集合A=｛2,22+-+a a a ｝，若4A ∈，求a 的值 例3. 已知M=｛2,a,b ｝N=｛2a,2,2b ｝且M=N ，求a,b 的值
例4.已知集合A=｛x|R a x ax ∈=++,0122｝,若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素。 变题：若A 中至多只有一个元素，求a 的值
巩固练习
1. 已知-3∈A ，且A=｛1,3,12+--m m m ｝（*N m ∈），求m 的值。
2. 设R b a ∈,，若集合｛a b a ,,1+｝=｛b a
b
,,0｝，求a b -的值
3. 设集合P=｛1，2，3，4｝，Q=｛R x x x ∈≤,2|｝，求由P 与Q 的公共元素组成的集合集合间
的基本关系
集合的基本关系
一、 新课教学
（一） 集合与集合之间的“包含”关系；
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；
如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：)(A B B A ??或
读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A
当集合A 不包含于集合B 时，记作A B
用图表示两个集合间的“包含”关系
)(A B B A ??或
（二）
A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =
?
即 ??????=A
B B
A B A
练习 结论：
任何一个集合是它本身的子集
（三） 真子集的概念
若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：A B （或B A ）
读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 举例（由学生举例，共同辨析）
（四） 空集的概念
（实例引入空集概念） 不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：? 规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五） 结论：
○
1A A ? ○
2B A ?，且C B ?，则C A ?
（六） 例题
（1）写出集合{a ，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）化简集合A={x|x-3>2},B={x|x ≥5}，并表示A 、B 的关系；
提高作业：
○
1 已知集合}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ?，求实数a 的取值范围。 ○
2 设集合}{}{}{矩形平行四边形四边形===，C ，B A ，}{正方形=D ，试用Venn 图表示它们之间的关系。
集合的基本运算
1. 并集
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪Venn 图表示：
B A ?
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题（P9-10例4、例5）
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
2.交集
考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗?
（1）A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8};
(2) A={x|x是我校在校的女同学},
B={x|x是我校的高一级同学},
C={x|x是我校的高一级女同学}.
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即：A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题（P9-10例6、例7）
拓展：并集与交集的性质
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，
记作：C U A
即：C U A={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
例题（P12例8、例9）
4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”
与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5.集合基本运算的一些结论：
A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A
A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A
（C U A）∪A=U，（C U A）∩A=?
若A∩B=A，则A?B，反之也成立
若A∪B=B，则A?B，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
练习：判断正误
（1）若U={四边形}，A={梯形}，
则CUA={平行四边形}
（2）若U是全集，且A?B，则CUA?CUB
（3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=φ
2. 设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3}
且CBA={5}，求实数a的值。
3. 已知全集U={1，2，3，4，5}，
非空集A={x∈U|x2-5x+q=0}，
求CUA及q的值。