勾股定理证明(完整版)

勾股定理证明

勾股定理证明

第一篇：

勾股定理的证明方法

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角

三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式

化简得

，。

第二篇：

勾股定理的证明

勾股定理的证明

一、基本情况

组长：

曾烨秋

组员：

邱丽璇、李锐、陈应飞、黄富荣、贾雪梅指导老师：

何建荣

相关课程：

数学

一、问题提出

1、背景：

初中时就学习了直角三角形的勾股定理，我们对此很感兴趣，便想探究勾股定理的证明方法。

2、目的：

3、意义：

探究出勾股定理的证明方法

二、研究过程

1、查阅资料：

利用课间等休息时间在图书室或计算机室查阅资料。

2、整理资料：

在网上下载部分

第三篇：

勾股定理证明

勾股定理证明

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广

三，股修

四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三

角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△abe＋△aed＋△ed＝梯形abd

∴（ab+ab+

2）÷2＝2 ∴

∴2=a2+b

2，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

初二十四班秦煜暄

第四篇：

奇特的勾股定理的证明

如图所示,正方形abd连接a,bd.

因为四边形abd是正方形

所以a垂直于bd图中的每个三角形都是直角三角形解:设ao为a,bo为b,ab为

所以正方形的面积就是a*b2*4=2a*b=2ab

正方形的面积也可以表示为^2

所以2ab=^2

ab+ab=^2

因为此图是正方形所以ａo=bo

所以a=b

所以把第一个ab中的b换成a．把第二个a换成b．所以

a*a+b*b=^2

所以a^2+b^2=^2

第五篇：

勾股定理专题证明

勾股定理专题证明

1.我们给出如下定义：

若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，

则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。

写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：-----，----- ；

如图

1，已知格点o（0,0），a（3,0）,b请你画出以格点为顶

点，oa,ob为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形oamb ；

如图

2，将△ab绕顶点b按顺时针方向旋转60°，得到△dbe，连结ad,d,∠db=

30°。写出线段d,a,b的数量关系为------；

（1）如图

1，已知∠aob，oa＝ob，点e在ob边上，四边形aebf 是平行四边形，

请你只用无刻度的直尺在图中画出∠aob的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）如图2 ，10×10的正方形网格中，点a（0，0）、b（

5，0）、（

3，

6）、d（－

1，

3），

①依次连结a、b、、d四点得到四边形abd，四边形abd的形状是-------；

②在x轴上找一点p，使得△pd的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；

此时，点p的坐标为------- ，最短周长为--------；

3. 如图正方形abd ,e 为ad边上一点，f为d边上一点，

∠fea=∠eb,若ae= ked, 探究df与f的数量关系；

4.如图1 等腰直角△ab，将等腰直角△dmn如图放置，△dmn 的斜边mn与△ab的一直角边a重合.

⑴ 在图1中，绕点 d旋转△dmn，使两直角边dm、dn分别与交于点e ，f如图2 ，求证：

ae2+bf2=ef2 ；

⑵ 在图1 中，绕点旋转△dmn，使它的斜边m、直角边 d的延长线分别与 ab交于点e ，f，如图

3，此时结论ae2+bf2=ef2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

⑶ 如图

4，在正方形 abd中，e、f 分别是边b、d 上的点且满足△ef 的周长等于正方形abd 的周长的一半，ae、af 分别与对角线 bd交于点m、n . 线段bm 、mn 、dn 恰能构成三角形. 请指出线段bm 、mn 、dn 所构成的三角形的形状，并给出证明；

5. 将一块直角三角板的直角顶点绕矩形abd（ab＜b）的对角线的交点o旋转（如图

①

②

③），图中的m、n分别为直角三角形的直角边与矩形abd的边

d、b的交点，

⑴如图

①三角板一直角边与od重合，则线段bn、d、n间的数量关系为-------------；

⑵如图

②三角板一直角边与o重合，则线段bn、d、n间的数量关系为-------------；

⑶如图

③，探究线段bn、n、m、dm间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

④若将矩形abd改为边长为1的正方形abd，直角三角板的直角顶点绕o点旋转到图

④，两直角边与ab、b分别交于m、n，探究线段bn、n、m、dm 间的数量关系，写出你的结论，加以说明；

6. 如图，四边形abd, ad∥b，ad≠b，∠b=90° ，ad=ab ,点e是ab边上一动点，连结ed，过ed的中点f作ed的垂线，交ad于点g,交b于点k,过点k作km⊥ad于m．若ab=k ae , 探究dm与dg 的数量关系；（用含的式子表示）．

附送：

勿忘国耻

勿忘国耻

第一篇：

勿忘国耻振兴中华

亲爱的同学，敬爱的老师，大家好！

今天我演讲的题目是“不忘国耻，振兴中华”！

大家都知道，我们中国曾经有一段屈辱的历史。外国侵略者在中国的土地上横行霸道、肆意妄为，犯下了不可磨灭的滔天罪行。南京大屠杀，拖着沉重的步伐经过了70年。我们又怎能忘却，70年前的那一天，可恶的日本人，在中国烧杀抢掠。三十五万无辜的南京老百姓们，在短短一周内，成为了疯狂的刺刀下的牺牲品，他们没有任何反抗的能力，任凭侵略者在他们身上残暴地发泄着。圆明园，一个当代世界上最大的博物馆、艺术馆就这样被英法联军洗劫一空，又被一把大火烧毁，付之一炬。那其中凝聚着我们中华儿女多少的心血与智慧啊。那些狰狞的表情，猖狂的笑容，无一不揭示着他们那没有人性的躯壳！

1945年8月15日，日本帝国主义被迫无条件投降，中国人民经过8年浴血奋战，洗涮了一百年来被挨打的耻辱，取得了抗日战争的伟大胜利，挽回了我们中华儿女的民族尊严，中华民族由一个背负着帝国主义与封建势力重压，被称为“东亚病夫”的民族，成为傲然屹立于世界东方，令世人瞩目的民族。乱翻的乌云扫清了，祖国迎来了一个黎明。

今年是抗日战争胜利70周年，望着每天与朝霞一道升起的五星红旗，谁又能忘记在70年前，为了打倒日本法西斯，中国所做出的巨大民族牺牲呢？为了祖国领土完事，为了民族的尊严，战士们前仆后继，抛头颅、洒热血。他们用鲜血换来了今天的和平，我们怎能可以忘记呢？

今天，我们生活在和平安定的社会中，但我们不能忘记以前落后就要挨打的局面，忘记了国耻。古人云：

“生于忧患，死于安乐。”我们青少年只有将国耻铭记在心中，以此为动力，奋发图强，学习更加精益求精，不怕吃苦，肯下苦功夫，报着“为中华之掘起而读书”的信念，德智体美劳全面发展，才能担负起建设祖国的重任。中国人的苦难与抗争，求索与奋进，创业与搏击，无不可歌可泣，激励今人，昭告后世，前事不忘，后事之师。对民族精神的深刻理解与弘扬，对先辈业绩的追思与兴大，必将为中国的社会主义现代化建设流入强大的动力。

我们是21世纪的接班人，我们会经受一次又一次的锻炼，迈开沉着而坚定的步伐，向光辉的未来继续前进。最后，让我们高呼“不忘国耻，振兴中华”！

尊敬的老师，亲爱的同学，大家好！

今天，我要演讲的题目是“勿忘国耻，振兴中华”。相信大家都对上个世记的“日本侵华”事件和其他的一些事件都有所了解。而这些事件都发生在中国近代史。这段历史令所有中国人感到耻辱，想不提起却又不得不提。我们可以清理一下：

40年，中英鸦片战争由中方失败告终，请政府将香港割让给英国，并租出新界99年，签订了第一个丧权辱国的《南京条约》，并赔偿英国2100万银元；1860年，清政府再次与英法两国鉴订《北京条约》；1895年中日甲午战争中方失败，中日签订《马关条约》；1937年日本侵华。这些战争中，中国几乎没有一次胜利的。同学们，这多么值得我们深思

啊！

在震惊中外的“南京大屠杀”事件中，日军在不到一星期的时间里残忍地杀害了三十多万手无寸铁的老百姓！三十多万啊！同学们，这个数字多么触目惊心啊！这些人中，有的被当作活靶子练习射击；有的被活埋；有的被生生地推入长江；有的成为细菌实验的牺牲品。他们连未满月的婴儿都不肯放过！蒋介石为躲避日军捉捕坐飞机跑了，对百姓的命运置之不理，才导致这么严重的局面！

我们再回过头来看看，在鸦片战争后，中国还有什么损失。刚才我提到了南京条约，现在再说一说圆明园事件。我们刚学完了《圆明园的毁灭》这一课，大家也搜集到了很多资料，不过，我还是再给你们详细地讲一点：

当时呢，咸丰皇帝逃到热河去了，圆明园内空无一人，英法联军大摇大摆地从正门进了圆明园，他们还带着工匠，把衣柜上、桌子上镶着的宝石、金边砍下来，放到麻袋里；有的人浑身挂满了金银珠

宝。最后把圆明园最值钱的东西抢完了，放把大火烧干净，好像根本没有这回事。由此我们看见了英法联军的贪婪与罪恶。而且一些见利忘义的中国人竟当了强盗的走狗！给英法联军带路的，正是清代大诗人龚自珍的儿子！多令人气恨啊！

唐朝时，我们中国是世界首富；元朝时我们的面积最大！但如今呢？这只傲立于东方的雄鸡退化了，变小了，变成了刚出生的、虚弱的不堪一击的小鸡！

现在，我们中国的科技与人民生活水平已经跟上了时代的步伐，战争的硝烟也离我们远去。但是，这一段黑色、屈辱的历史是我们不能忘记的，要刻骨铭心记住的。日本的国家那么小，人口也很少，但他怎么就在中国占领了八年？因为他们看准了我们的弱点：科技水平落后，团结能力不强，爱国意识也是浅层的，软弱可欺。我们班同学家里的环境都比较好，生活充裕，但不能因为这个而忘掉耻辱。有“勿忘国耻，振兴中华”这句话做支柱，我们要努力学习，从小树立正确的人生观、道德观，培养爱国意识和团结能力。将来为祖国尽一份力，做出贡献，提高我们的科技水平。让其他国家都佩服中国，不敢侵略中国！祖国的明天就靠我们建造了！

我的演讲完毕，

谢谢大家！

亲爱的同学们，敬爱的老师们：

大家好，今天我演讲的题目是《勿忘国耻，振兴中华》。

中国是一个伟大的国家，是一个有着五千年历史的文明古国。在这里，有雄伟的高原、起伏的山岭、广阔的平原、低缓的丘陵；在这里，有悠久的历史、灿烂的文化、勤劳的民族、伟大的人民。作为炎

黄子孙，我感到无比的骄傲和自豪！我们骄傲，中国是四大文明古国之一！我们自豪，中国拥有五千年的灿烂文化！我们中华民族曾经为人类的发展做出过不可磨灭的贡献，然而我们的祖国也有过屈辱的历史。

从香港澳门相继割让到日寇一举侵略我华夏河山，难道我们伟大的祖国受到的创伤还不多吗？为什么，我们只能看着先辈花百年筑成的圆明园被洋人践踏而无济于事？为什么，我们以往的旧中国就只能被洋人踩在脚下？为什么，我们只是洋人口中的东亚病夫？答案只有两个字：

懦弱。比如说圆明园吧：

它是中国伟大的建筑，竟在我们的眼前沦落，这一座花了三百多年的世界巨作竟在三天内就消失了，这是为什么？不是我们中国人没有能力，是我们中国人自私！在那时，平时作威作福所谓的“清官”又去哪儿了呢？他们正在用我们鲜血换来的昧心钱去花前月下了，别忘了，当时我们的中国，有数亿爱国的同胞啊，我们手拉手，就可以筑成一道牢不可破的长城，我们一起为国呐喊，就可以引得山崩地裂，乱石奔云，可是，在那时候又有几个人站出来，寥寥无几！那时的父母，只想托关系走后门，把孩子弄成一个大官，可以免受屠杀，但结果是什么？就是有真材实料、有心报国的人惨死，昏庸无能、苟且偷生之辈把持大局，笑话，我们堂堂正正、以往的东方雄狮——中国，就要在一群昏官手中沦落了！

我们那时需要的，是一个团结一心，永垂不朽的中国！而不是一个为了自己的利益和性命而自相残杀的中国！你们心中只想着自己，为了自己的性命，你们心甘情愿抛弃我们的国家，可，难道没有想过

吗，等到我们祖国沦陷了，我们，又能呆在那里？面对后代，你们只能低头指着一堆废墟说：

“这是我们的祖国！”不如，我们挺起腰板，举起拳头，用行动向世界宣告：

我们中国人不是东亚病夫！我们中国站起来了！让我们对后代自豪地说：

看，这就是我们的中华！这就是我们美丽的祖国！”

现在，虽让我们处于和平年代，但是，我们仍然不能忘记我们祖国过去的耻辱，圆明园的毁灭，不灭的耻辱，在我门心头留下永远的创伤，一道永远不灭的印痕，只有不忘记国耻，我们才能更爱我们的祖国，现在，我们要认真学习，学好新本领，只有这样，我们才能建设我们的祖国，所以，我们现在要把一颗爱国的心用在学习上，用我们学好的本领为我们的国家建设，这样，我们伟大的中国才能永远的屹立在东方，新中国，现在得靠我们来发扬光大，中国，加油！

第二篇：

勿忘国耻振兴中华

勿忘国耻振兴中华

在我们中国的历史上，有着辉煌的文化，还有些伟大的发明，比如四大发明里的火药、指南针、造纸术和印刷术，还有举世文明的皇家园林——圆明园。可是在新中国成立以前，我国经历了一个百年噩梦……

例如南京大屠杀，屠杀的规模、死伤人数等都没有世界共同认可的数字，死亡人数至少有30万。这杀掉了我们多少南京同胞呀！死亡人数超过了30万，是一个惊人的数字！

现在，我们的祖国强大了，在1949年10月1日，我国新中国成立了，终于振兴了中华。在新中国成立以后，我们的科学也有了很大的发展，航天事业取得了一个又一个的新突破，比如在1970年发射了人造卫星“东方红一号”，“神州五号”在201X年10月15日发射成功，还有探月卫星“嫦娥三号”就在前不久发射成功等都是中国航天事业的新突破，也是我们全中国人民的骄傲。我们一定要鼓起勇气，做一个勇敢的人，我们也一定要好好学习，天天向上，长大也要为祖国做出贡献，为航天事业取得一个又一个的新突破，也要为科学发展做出杰出的贡献。

第三篇：

勿忘国耻,振兴中华

广州市天河区泰安小学林泽敏

同学们:

早上好!昨天是什么日子呢——

对,昨天是农历八月十五,是我国的传统节日——中秋节.大家都一定和自己的家人在一起高高兴兴,团团圆圆地吃月饼赏花灯吧.同学们,昨天,也是阳历9月18日,请大家牢牢记住这个日子——九·一八事变74周年纪念日,昨天,我国共有一百多个城市拉响了防空警报,或举行纪念活动,以此表示勿忘国耻,振兴中华.是啊,当我们过着幸福的日子的同时,我们不要忘记在74年前的1931年9月18日这一天,日本侵略者在我国东北的沈阳,自己炸毁了一段铁路,然后借口是中国人干的,发动了骇人听闻的九·一八事变,打响了侵略中国的第一枪.从此,成千上万的中国人家破人亡,流离失所,到处尸横遍野,血流成河,惨不忍睹.有一首歌是这样唱的: 九·一八,九·一八,从那个悲惨的时候,告

别了我的家乡——,流浪,流浪,哪年哪月才能回到我那可爱的家乡——这首歌曲描写了当时的中国人民在日本帝国主义的铁蹄践踏下,家破人亡,国家危难而发出悲愤心声.从这一天开始,日本侵略者几乎每天都在中国大地上奸淫烧杀,横行扫荡,从这一天开始,中国人民进行了长达14年之久的抗日战争,死难者多达三千五百万人.

同学们,前事不忘后事之师,让我们记住九·一八这个日子,记住这个日子,是让我们牢记历史,不忘过去,珍爱和平,开拓未来;让我们懂得今天的幸福生活来之不易,更加珍惜今天的生活,好好学习,不断努力.为振兴中华,建设我们强大的国家而贡献自己的力量.同学们,让我们在九·一八的歌声中结束今天的国旗下讲话.

201X年9月19日

第四篇：

勿忘国耻振兴中华

勿忘国耻振兴中华

铜梁中学高201X级30班简咏豪

尊敬的各位老师，亲爱的同学们：

历史老人孤零零地守望着岁月的变迁，当年的硝烟弥漫化作了今

日的静默无言。

9月18日，是一个令中华儿女痛彻心扉的日子。日本关东军炮轰东北军驻地北大营，发动了对我国东北的大规模的武装进攻，策划并

制造了震惊中外的“九一八”事变。在南京国民政府的绝对不抵抗政

策下，短短三个月，日军就侵占了我国东北全境。从此3000万东北同胞在此后的14年里过着饱受凌辱的亡国奴生活。

1931年的“九一八事变”和1937年的“七七事变”，把中华民族推到了亡国的边缘。怎能忘记，丧尽天良的日寇在南京制造的惨绝人寰的大屠杀；怎能忘记，灭绝人性的日寇对我东北同胞的活体实验；怎能忘记，关内关外，大江南北，日军铁蹄所至，生灵涂炭，屠刀所向，尸骨成山在民族存亡的生死关头，中国共产党吹响了抗击外敌的第一声号角。全体中华儿女，同仇敌忾，共赴国难，取得了抗日战争的最终胜利。

今天，站在这鲜艳的五星红旗下，高唱着《义勇军进行曲》，纪念“九一八”事变80周年，是为了不能忘却曾经的屈辱。为了民族的崛起，为了让历史不再重演，让我们勿忘国耻，以振兴中华为己任。牢记“天下兴亡，匹夫有责”，必须牢记“落后就要挨打”的历史教训，更要牢记，我们是祖国的未来，我们肩负着强大祖国的责任！

今天，我们纪念这段历史，就是为了不要忘记那些曾经为民族牺牲的先烈。今天，我们纪念这段历史，也是为了不要忘记那些发动战争的恶魔。今天，我们纪念这段历史，就是要让我们不要做胸无大志、庸庸碌碌混日子的学生。我们要居安思危，把我们浓浓的爱国情深深地融入到平时的生活学习中去，把对国家的爱渗透到每一个人的实际行动中。积极参加国家建设，努力干好本职工作，珍惜今天，奋发图强，努力学习。我们更要学会面对现实，更加努力地提高个人的素质，加强自身修养，做高素质的中学生。我们更要热爱自己学校，热爱老师和同学。只有先做一个合格铜中人，才能做一个有内涵的中国人。梁启超在《少年中国说》中写道：

故今日之责任，不在他人，而全在我少年。少年强则国强，少年雄于地球，则国雄于地球。

愿先辈们用热血和信念点燃的民族复兴之火，永远照亮我们！

谢谢大家！

第五篇：

勿忘国耻振兴中华

勿忘国耻振兴中华

亲爱的同学，敬爱的老师，大家好！

今天我给大家讲一个关于中国被耻辱的故事。

这个故事的名字叫海兰泡大屠杀，一九〇〇年七月，沙俄在积极策划和参加八国联军进犯我国京津一带，屠杀义和团群众的同时，又集结十七万侵华俄军，分兵六路进犯我国东北，其中海兰泡的俄军是重要一支。为消除后顾之优，为掠夺中国和平居民的财产，七月十七日，沙俄海兰泡当局一手制造震惊中外的“海兰泡大屠杀”事件，仅几天时间，就屠杀了手无寸铁的中国居民七千多人。

有一个叫李老四的人，他是在一九〇〇年“跑反”时，被俄国兵赶下大江水过来的。他曾对说：

那次眼他一起被圈到江边的中国人有

五、六百口。其中有个中国人拿出一碗金子送给两个俄国兵，求他们放条活命。这两个俄国兵收下了金子后，开枪把他打死了。李老四一看事情不好，就把裤子脱下来，扎上裤管充上气，骑上“水牛”下江了。接着有很多人也跟着往江里跑。俄国人一看有会水的，就对泅水的人开了枪，很多人没等到岸就被他们开枪打死在江里，大多数不会水的都淹死了，李老四说他算命大，没被打中，活着过来了。听了我说的故事，大家是不是觉得俄军很可恶，所以，我们要努力学习，为国家做贡献，将来打倒俄军！

五年级:伍富强请阅读以下