概率论考题(答案)

2010~2011第一学期《概率论与数理统计》答案

经管类本科

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．对于事件B A ,，下列命题正确的是( D )

)(A 如果B A ,互不相容，则B A ,也互不相容 )(B 如果B A ?，则B A ? )(C 如果B A ?，则B A ? )(D 如果B A ,对立，则B A ,也对立

2．设B A ,为随机事件，且()()0,

1P B P A B >=，则必有( A )

()()()A P A B P A ?= ()()()B P A B P B ?=

()()()C P A B P A ?> ()()()D P A B P B ?>

3．若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则=≤≤)(b X a P （ B ）

)()()(a F b F A - )()()()(a X P a F b F B =+- )()()()(a X P a F b F C =-- )()()()

(b X P a F b F D =+-

4．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3

1,8(~B Y ，且X ，Y 相互独立， 则=--)43(Y X D （ C ）

13)(-A 15)(B 19)(C 23)(D

5. 总体2

~(,)X N μσ， 123,,X X X 为取自总体X 的简单随机样本，在以下总体均值μ的四个无偏估计量中，最有效的是（ D ）

1123111

()236

A X X X μ∧=++ 21311()22

B X X μ∧=+

3123131()555C X X X μ∧

=++ 4123111

()424

D X X X μ∧=++

6. 设12,,

,n X X X ()2n ≥为来自总体()0,1N 的简单随机样本，2S 为样本方差，则下面结论正

确的是（ A ）

()22()(1)~1A n S n χ-- ()22()(1)~B n S n χ- ()22()~1C nS n χ- ()22()~D nS n χ 二、填空题（每题3分，共30分）

1．设B A ,相互独立且都不发生的概率为

9

1

，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A 不发生的概 率相等，则()=

P A 3

2. 2．在时间],0[T 内通过某交通路口的汽车数X 服从泊松分布，且已知3(3)(4)P X P X ===，则 参数=λ 12 .

3.设随机变量X 的概率分布为

)(x F 为其分布函数，则)3(F = 53/56 ．

4. 设随机变量),2(~p B X ，),3(~p B Y ，若(1)≥P X =

9

5

，则(1)≥P Y = 19/27 5. 设随机变量X 的概率密度为)(x f =???≤≤,,

0,

0,242其他c x x ，则常数c = 1/2

6．设随机变量()~1,4,X N )(x Φ为标准正态分布函数,已知Φ(1)=0.8413,Φ(2)=0.9772, 则(3)P X ≤= 0.8185 .

7．设Y X ,为随机变量，已知协方差3),(=Y X Cov ，则=)3,2(Y X Cov 18 8．设随机变量()~0.5,X E ，用切比雪夫不等式估计(23)P X -≥ > 4/9 .

9. 设123,,X X X 为总体X 的样本，3216

1

21kX X X T ++=，已知T 是EX 的无偏估计， 则k = 1/3

10．设n X X X ,,,21 是来自正态总体()3,4,N 的样本，则∑=-n i i X 1

2

)3(41～_)(2n χ_.

三、计算题（共52分）

1．（10分）某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，试求： （1）该顾客取到一台合格冰箱的概率；

（2）顾客开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱来自甲厂的概率是多大？ 解：设事件 A1, A2, A3 分别为甲、乙、丙三厂生产的产品，事件 B 为次品。

19

/619

.006

.0)()1()1|()|1(81.0)(,19.0)3()3|()2()2|()1()1|()(2

.0)3|(,4.0)2|(,1.0)1|(15.0)3(,25.0)2(,6.0)1(===

==++=======B P A P A B P B A P B P A P A B P A P A B P A P A B P B P A B P A B P A B P A P A P A P 随机地取了一台，取到一台合格冰箱的概率为 0.81； 取到不合格冰箱，来自甲厂的概率为 0.3158. 2．（10分）设随机变量X 的概率密度为

??

?<<+=，

x b ax x f 其他,

0,10,)(

且EX =

127

.求：(1)常数,a b ；(2) DX 解：

144

11

127125,

1256141)21(5

.0,1,127

23)(,12)(2

1

221

10=??? ??-=

=+=+====+=+=+=+???D dx x x EX b a b a dx b ax x b a dx b ax

3．（10分）设二维随机向量(),X Y 的联合分布列为:

试求：（1）a 的值；（2）X 与Y 是否独立？为什么？（3）()E X Y +

解：

1，

a

0.4×0.4≠0.1, 故两随机变量不独立。

E (X +Y ) = 1×0.1 + 2×0.5 + 3×0.2 + 4×0.2 = 2.5

4．（10分）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为

(),01,0,x x y f x y α≤≤≤?=?

?其他

求(1) α的值; (2) 计算()1+≤P X Y .

解：

6,16

1

1

0===

=????≤≤≤αα

ααy

y x dx x dy dxdy x

4

1

6612

/10

1

=

=????-≤+x

x

y x dy x dx dxdy x 5．（12分）设总体X 的概率密度为

??

?>=+-,,

0;

1,);()1(其他x x x f θθθ 其中)1(>θθ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自该总体的样本，试求θ的矩估计和最大似然估计. 解：

1

?,1

,

11111-=-=

-=+-==+∞

+-∞

+-?X X

EX EX

x dx x EX θ

θθθθθθθθ

)

ln(?,0)ln()(ln )

ln()1(ln ln ,

)()(212121)1(21n n n n n X X X n

x x x n

L x x x n L x x x L ==-=

'+-==+-θ

θ

θθθθθ