初中数学十大思想方法-待定系数法

初中数学思想方法——待定系数法

在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。

应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。

比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x23=（1A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。

代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。

消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。

例如：“已知b2

a3

=，求

a b

a b

-

+

的值”，解答此题，只需设定

b2

=k

a3

=，则a=3k b=2k

，，

代入a b

a b

-

+

即可求解。这里的k就是消除的待定参数。

应用待定系数法解题的一般步骤是：

（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；

（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；

（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。

在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。

一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。

典型例题：

例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】

A ．9

B ．－9

C ．±9

D ．±3

【答案】A 。

【考点】待定系数法思想的应用。

【分析】设()22x 6x k=x+A ++，则222x 6x k=x 2Ax A ++++， ∴22A=6A=3k=9A =k ??????

?。故选A 。 练习题：

1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】

A ．64

B ．48

C ．32

D ．16

2.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。

3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

4.（2011湖北荆州3分）将代数式2x 4x 1+-化成2(x p)q ++的形式为【 】

A.2(x 2)3-+

B.2(x 2)4+-

C.2(x 2)5+-

D.2(x 4)4++ 二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。

典型例题：

例：（2012四川凉山4分）已知

b 5a 13=，则a b a b -+的值是【 】 A ．23 B ．32 C ．94 D ．49

【答案】D 。

【考点】比例的性质。

【分析】∵b 5a 13=，∴设b 5k a 13==，则b=5k ， a=13k ，把a ，b 的值代入a b a b

-+，得， a b 13k 5k 8k 4===a b 13k 5k 18k 9

--++。故选D 。 练习题：

1.（2012北京市5分）已知a b =023

≠，求代数式5a 2b (a 2)(a+2b)(a 2b)b ?--－的值。 2.（2011四川巴中3分）若

a 22a

b 3=-，则b a = ▲ 。 三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x 3－6x 2+11x －6，223x 5xy 2y x 9y 4+-++-，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。

典型例题：

例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2x x 2+-＝ ▲ 。

【答案】（x －1）（x ＋2）。

【考点】因式分解。

【分析】设()()2x x 2x A x B +-=++，

∵()()()2x A x B x A B x A B ++=+++?，A B=1A B=2+???-?，解得A=1B=2-???或A=2B=1??-?

， ∴()()2x x 2=x 1x 2+--+。

〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗

例2：分解因式：223x 5xy 2y x 9y 4+-++- ▲ 。

【答案】()()3x y 4x 2y 1-++-。

【考点】因式分解。

【分析】∵()()223x 5xy 2y 3x y x 2y +-=-+，

∴可设()()223x 5xy 2y x 9y 43x y a x 2y b +-++-=-+++。

∵()()()223x y a x 2y b 3x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab -+++=+-+++-+， ∴()22223x 5xy 2y x 9y 43x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab +-++-=+-+++-+。

比较两边系数，得a 3b=12a b=9ab=4+??-??-?

①②③。

联立①，②得a=4，b=－1。代入③式适合。

∴()()

22

3x5xy2y3x y4x2y1

+-=-++-。

练习题：

1.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.求：a和b的值.

2.用待定系数法，求（x+y）5的展开式

3.推导一元三次方程根与系数的关系。

四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，k

y

x

=的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c 为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。

典型例题：

例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于▲ ．

【答案】16。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。

【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，

∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴

k b3

b1

-+=-

?

?

=-

?

，解得

k2

b1

=

?

?

=-

?

。

∴直线l 的解析式为：y=2x －1。

∵Q（m ，n ）是直线l 上的点，∴2m－1=n ，即2m －n=1。

∴(2m－n ＋3)2=（1+3）2=16。

例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣2）．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标．

【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，

∵直线AB 过点A （1，0）、点B （0，﹣2），

∴k b 0b=2+=??-?，解得k 2b=2=??-?

。 ∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣2。

（2）设点C 的坐标为（x ，y ），

∵S △BOC =2，∴12

?2?x=2，解得x=2。 ∴y=2×2﹣2=2。

∴点C 的坐标是（2，2）。

【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，将点A （1，0）、点B （0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB 的解析式。

（2）设点C 的坐标为（x ，y ），根据三角形面积公式以及S △BOC =2求出C 的横坐标，再代入直线即可求出y 的值，从而得到其坐标。

练习题

1. 已知428

6322+-+=++-x b x a x x x . 求a, b 的值.

2. 已知：2)

1(1)2()1(534222++-+-=+-+-x C x B x A x x x x . 求：A ，B ，C 的值. 3. 已知： x 4—6x 3+13x 2－12x+4是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.

4. 已知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除.求证：ad=bc.

5. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.

6. 用x －2的各次幂表示3x 3－10x 2+13.

7. k 取什么值时，kx 2－2xy －y 2+3x －5y+2能分解为两个一次因式..

8. 分解因式：①x 2+3xy+2y 24x+5y+3；

②x 4+1987x 2+1986x+1987.

9. 求下列展开式：

① (x+y)6； ② (a+b+c)3.

10. 多项式x 2y －y 2z+z 2x －x 2z+y 2x+z 2y －2xyz 因式分解的结果是( )

(A) (x+y)(y －z)(x －z) . (B) (x+y)(y+z)(x －z).

(C) (x －y)(y －z)(x+z). (D) (x －y)(y+z)(x+z).

11. 已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3.

则S 等于( )

(A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.

12． 已知：4

310252323-+-++-x x x c bx x ax 的值是恒为常数求：a, b, c 的值. 13. 已知：x 3－9x 2+25x+13=a(x+1)(x －2)(x －3) +b(x －1)(x －2)(x －3) +c(x －1)(x+1)(x

－3) +d(x －1)(x+1)(x －2)，求：a+b+c+d 的值.

参考答案

1. a=－27,b=－2

11 2. A=1,B=2,C=3 3. ± (x 2－3x+2) 4.由 (x 2+p)(ax+

p d )… 6. 3(x －2)3+8(x －2)2－4(x －2)－3 7. 先整理为关于x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。

8. ①(x+y +1)(x+2y+3) ②(x 2+x+1)(x 2－x+1987)

9. ①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.

②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.

10. (A) 11.(C) 12. a=1, b=1.5, c=－2 13. 1