指数与指数幂的运算
指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念
()
())
,0(1
010*
Z*n a a
a a a Z n a a a a n n a
n n ∈≠=≠=∈???=-
个
2．运算法则 （1）n
m n
m
a a a +=?；
（2）()
mn n
m
a a =；
（3）()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，；
（4）()m m m
b a ab =.
要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为
n
y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n =. 2．两个等式
（1）当1n >且*
n N ∈时，()
n
n
a
a =；
（2）??
?=)
(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n n
a a =
()m n m m n n
a a a == -1m n m n
a a =
要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a
αβαβ
+?=
(2)();a a αβ
αβ
= (3)();ab a b ααα
=
当a>0，p 为无理数时，a p
是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
244
2)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
14
2)4()4(-≠-.
2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3
＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】 类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）5242
544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()a b π----.
【答案】 -3；10；3π-；0a b b a -??
??-?
（a>b ） （a=b ） （a
【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.
（1）5
5(3)3-=-；
（2）2
4(10)10-=；
（3）4
4(3)|3|3πππ-=-=-；
（4）2
()||0a b a b a b b a -??-=-=??-?
（a>b ） （a=b ） （a
【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，但不是42=±. （2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值：
（1）33(2)-；（2）24(9)-；（3）66(4)π-；（4）8
8(2)a -.
【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)
2(2)a a a a -≥??
-
.
例2.计算：（1）526743642++---； （2）
11
2121
++-. 【答案】22;22．
【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），
则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）526743642++---
=2
2
(3)232(2)+?++2
2
2223(3)-?+-2
2
2222(2)-?+ =2
2
2
(32)(23)(22)++--- =|32+|+|23-|-|22-|
=32++23--（22-） =22
（2）
11
2121
+
+- =
2121
(21)(21)(21)(21)
-++
+--+ =2121-++ =22
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n 次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，
1
21
+的分子、分母中同乘以(21)-.
举一反三：
【变式1】化简：（1）3
4
34322(12)(12)-+-+-； （2）222169(||3)x x x x x -+-++< 【答案】（1）21-；（2）22(
31),4(13).x x x ---<
-≤
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：
（1）2
a a ?；（2）332
a a ?；（3）a a ；（4）
236
3
3y x y x
y
x
． 【答案】 52a ；113a ；34a ；54
y
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可． （1）115222
2
22
;a a a a a
a +
?=?==
（2）221133
3
2
3
3
3
3
a a a a a
a +
?=?==；
（3）1131322
22
4()()a a a a a a =?==； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂
2363
3y x y x y
x =
1
23633()y x y x y x =232
y x y x y x
?
=1
222()y x y x
?
=112
2
2
y xy x ??
?
???
=54
y
解法二：从外向里化为分数指数幂．
2
36
3
3
y x y x y
x =1
23
623
3()y x y x y
x
=1
1
236223
3
[()]
y x y x y
x =1112363223{[()]}y x y x y x =1112
3
6
2
4
12
3y x y x y x ??????
?
? ? ???????
=54
y
【总结升华】 此类问题应熟练应用*(0,,,1)m n
m n
a a a m n N =>∈>且n ．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
举一反三：
■高清课程：指数与指数运算 例1
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1）5
2a a ?；
6
3x
x x
? 【答案】（1）1310
10
2a ；（2）23
x
-．
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）682；（2）(0)a a a >；（3）332b b ?；（4）
5
22
3
1()
x x ．
【答案】7
12
2；34a ；113
b ；35
x
-
【解析】（1）6
82=1177
6
6
3
2
2
122222??
?== ???
；
（2）1331322224
()a a a a a a a =?===； （3）2113323
33
b b b b b ?=?=； （4）
5
22
3
1()
x x =
243
3
2
55
11()
x x x x
=
??
=
35
91393
53
5
5
111()
x x x
x
-
=
=
=．
例4.计算：
(1)11
112
00.253
4
73(0.0081)3()81(3)88-
----???
?-??+????????；
(2)43333339
1
624337+--
(3)2633634
125(36)(4)(3)ππ-+
-+---．
【答案】 3；0；2
【解析】(1)原式=33
1310)3231(31)3.0(2
1
1=-=+---；
(2)原式=033236373333=+--；
(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2； 注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)63425.003
1)32(28)6
7
()
8
1
(?+?+-?-； (2)
3
3
3
23
3
23
134)21(428a a
b b
ab a b a a ?-÷++-. 【答案】 112；a ． 【解析】(1)原式=6
216
3141413)
3
1)(1()3()2(2)2(18
?+?+?--112322
2324
143=?++=+；
(2)原式3
13
13
13
12
313
13
12
313
12)
2(2)()8(a b a a
b b a a b a a ?-?
++-=
a b a b a a
=--=
++3
313
31313131)
2()()
8(.
【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算 例3
30312)26()03.1(2
323)661()41(-?--+++-- 【答案】21+156
4
【解析】原式=16+6+5+26+346=21+
156
4
． 例5.化简下列各式.
(1) 2132
11
11362515
46x y x y x y -
--????-- ?
?????
； (2)1
11222m m m m --+++； (3)10.5
23
3
277(0.027)21259-
??
??+- ? ?????
. 【答案】 1
6
24y ；112
2
m
m -+；0.09
【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
(1)
2
132
1111362515
46x y
x y x y -
--????-- ? ?????
2
1
11
1
()(1)()
3322665(4)5x y
-------??=?-?- ??? 1
10
66
2424x y y ==
(2)2
11
22111
221111
2222
2m m m m m m m m m m -----??+ ?++??==+++ (3)10.5
2
3
3
277(0.027)21259-
????
+- ? ?????
2331252555
=(0.027)-=0.09=0.0927933
++-
举一反三： 【变式1】化简：
233
()xy xy .
【答案】 576
6
x y
【解析】原式=1157113
32
32
3366
22
22[()]()xy x y xy x y x y ?=??=. 注意：当n 为偶数时，(0)
||(0)
n
n a a a a a a ≥?==?-
【变式2】化简
222222223
3
3
3
x y x y x
y
x
y
------
--+--
+-
【答案】 3
2
xy xy
- 【解析】应注意到223
x x --与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式22223
3
3
3
333322223
3
3
3
()()()()x y x y x
y
x
y
-
-
-
-
----+-=
-
+-
222222222
2
2
2
33
3
333
3
3()()[()()]x x
y
y x x y
y -
-
-
--
-
-
-
=-?+-++
23
3
2()
2
xy xy xy
-
=-=-. 【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子：
(1)
33223
+--
(2)4226+
(3)3232x 2x 1x 3x 3x 1+++-+-
【答案】 226+；44182+；2x(x 1)
2(x 1)
≥-??-<-?
【解析】 (1)原式2
2(33)2(33)2(33)
33
2423
2(31)+++=
=
=
-----
22(33)2(1263)2266(33)(33)
++===+-+
(2)
222444444(182)(18)2182(2)+=+?+
24418218223226242260=+?+=++=+>
∴由平方根的定义得：444226182+=+ (3)
3
3233x 3x 3x 1(x 1)x 1-+-=-=-
2x 1(x 1)
x 2x 1|x 1|x 1(x 1)
+≥-?++=+=?
--<-? 3232
2x(x 1)x 2x 1x 3x 3x 12(x 1)≥-?∴+++-+-=?
-<-?
. ■高清课程：指数与指数运算 例4 例6．已知32
12
1=+-x x ，求
2
3
2
22
32
3-+-+--
x x x x 的值． 【答案】
13
【解析】 从已知条件中解出x 的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件32
12
1
=+-
x
x 的联系，进而整体代入求值．
32
12
1=+-
x x ，∴129x x -++=，∴17x x -+= ∴22249x x -++=，∴2245x x -+=
∴2
32
2
232
3-+-+--
x x x x =1112
2
()(1)3
472x x x x -
-+-+-- =
3(71)3151
45453
?--== 【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求3
32
2
x x
-+及22
x x -+的值，然后整体代入．
举一反三： 【变式1】求值： (1)已知112
2
5x x
-+=，求21
x x
+的值； (2)已知a>0， b>0， 且a b
=b a
， b=9a ，求a 的值. 【答案】 23；43
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题. (1)由112
2
5x x
-+=，两边同时平方得x+2+x -1
=25，整理得：x+x -1
=23，则有21
23x x
+=； (2)a>0， b>0， 又∵ a b
=b a
， ∴1119
()()(9)a b a b b b a b a b a a =?=?= ∴ 818
2
4
9
9
933a a a =?=?=.
巩固练习 一、选择题 1.若1
3
x <，则2169x x -+等于（ ） A.31x -
B.13x -
C. 2
(13)x -
D. 非以上答案
2.若33
(3)a π=-，44(2)b π=-，则a b +=（ ）
A.1
B.5
C. -1
D. 25π-
3.计算21
3224
2+-?的结果是（ ）
A.32
B.16
C. 64
D.128
4.化简1111132168421212121212-----???
???????+++++ ??????????
?????????，结果是（ ）
A.1
1
321122--?
?- ???
B.1
13212--??- ??? C.13212-- D.1
321122-??- ???
5.44
366399a a ???? ? ?????
等于（ ）
A.16a
B.8a
C.4a
D.2
a
6.若1,0a b ><，且22b
b
a a -+=，则
b b a a --的值等于（ ）
A.6
B.2±
C.2-
D.2
二、填空题 7.计算(
)
73
73
4
+-= .
8.化简(21)(12)b b b --<<= .
9.2
2
133
1(2)(2)2---??-+-- ? ???= .
10.若3,2
a b <化简22
4(4129)a ab b -+= .
三、解答题 11.计算：
（1）112
2
12
33
112534316-????
??++ ?
?????
?
；
（2）12
32
3
4
10.027500.00164-
????+???
???????
.
12.计算下列各式：
（1）0
114
30.75
3
237(0.064)(2)16|0.01|8---????--+-++- ???
??
；
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-?-
+-。
13. 计算：
23
21113
3
3
3
111
1
1
x x x x
x x x x -+-+
-
+++-
巩固练习 一、选择题
1.化简1111132168421212121212-----???
???????+++++ ??????????
?????????，结果是（ ）
A.1
1
321122--?
?- ???
B.1
13212--??- ??? C.13212-- D.1
321122-??- ???
2. 计算21
3224
2+-?的结果是（ ）
A.32
B.16
C. 64
D.128 3.若1,0a b ><，且22b
b
a a -+=，则
b b a a --的值等于（ ）
A.6
B.2±
C.2-
D.2
4.下列各式中错误的是（ ） A. 2
115
3
15
1(1)a a
a
a --??=>
B. (
)
26
9463
(,0)a b
a b a b ---?=?>
C. 12211133342423424(,0)x y x y x y y x y --??????
--=> ???????????
D.
113324
11
5
3
2
4
153
(,,0)5
25a b c
ac a b c a b c
---=->
5.12
2、13
3、16
6这三个数的大小关系为（ ） A. 16
6< 13
3< 12
2
B. 166<113223<
C. 122<133<166
D. 133<122<16
6
6. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x
f x
g x a a -+=-+
()0,1a a >≠且，若(2)g a =，则(2)f =（ ）
A. 2
B.154
C. 174
D. 2
a 二、填空题 7.=--
2
12]
)2[( . 8.11332
2
3232?
???+- ??? ????
???
= .
9.若0x >，则131311
42422223234()x x x x x -????
+--- ???????
= .
10.已知1
4a a -+=，则1
12
2
a a --= .
三、解答题 11.计算：
（1）112
2
12
33
112534316-????
??++ ?
?????
?
；
（2）1
2
32
34
10.027500.00164-
????+???
????
???
.
12.计算下列各式：
（1）0
114
30.75
3
237(0.064)(2)16|0.01|8---????--+-++- ???
??
；
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-?-
+-．
13. 计算：
23
21113
3
3
3
111
1
1
x x x x
x x x x -+-+
-
+++-
14.已知2212213
3
3
3
3
3
4,3,3a b x a a b y b a b +==+=+.
求证：()()223
3
x y x y ++-为定值.
15.（1）化简：(
)
1113
211143
22
a b c c a
a b
b c
a b
b c
c a
x y x y
x x x ---------????????÷+?? ? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
；
（2）已知)0,0)((21>>+=b a a b
b a x ，求
1
1222---x x x b 的值.
2.1.1指数与指数幂的运算(2)
§2.1.1指数与指数幂的运算（2） 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念； 2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化； 3 掌握有理数指数幂的运算. 预习案 预习课本P 50—P 52 页内容 1．正数a 的正分数指数幂=n m a （),,0*N n m a ∈> 2．正数a 的负分数指数幂=- n m a （),,0*N n m a ∈> 3．s r a a ?= （其中),,0Q s r a ∈> 4．s r a )( = （其中),,0Q s r a ∈> 5．s b a )(?= （其中),0,Q s b a ∈> 预习自测 1. 求下列各式的值： （1）3 28 （2）2 1100- （3）2 39- 2．用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）a a ?2 （2）323a a ? （3）a a 3．计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 3 2b 2 1)(-6a 2 1b 3 1)÷(-3a 6 1b 6 5); （2）(m 4 1n 8 3- )8. 我的疑问
探究案 自主探究一: (1)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a =55 2)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4 =a 2 8; ③4 12 a =44 3)(a =a 3 =a 4 12; ④210a =22 5)(a =a 5 =a 2 10. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗？ 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈+N ,且n>1). (3)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (4)0的正分数指数幂等于多少？0有负指数幂吗？ (5)负整数指数幂的意义是怎样规定的? 合作探究 例1． 已知231 21 1322[()()] a b a b ab a ------==求的值. 变题1：已知31 =+-x x ，求下列各式的值：（1）2 12 1- +x x 例2． 比较63123,11,5的大小.
指数幂与负整数指数幂练习题及答案
零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 2．计算： 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 4．计算：． 5．计算：6．计算：22﹣（﹣1）0+．7．计算：． 8．计算：．
9．（1）计算|﹣2|+（﹣1）0﹣（）﹣1﹣（﹣1）2011 （2）化简． 10．计算： 11．（1）计算：． （2）化简：求值.3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中x=﹣，y=﹣3．12．（1）计算：23+﹣﹣； （2）解方程组：． 13．计算：．14．（2009重庆）计算：|﹣2|+（）﹣1×（π﹣）0﹣+（﹣1）2．
15．计算：﹣12+|﹣2|+（）﹣1﹣5×（2009﹣π）0 16．计算：（﹣2）2+2×（﹣3）+（）﹣1 17．（1）计算：（）﹣1﹣++（﹣1）2009 （2）解方程组： 18．计算：|﹣|+（﹣π）0+（﹣）2×（）﹣2 19．计算﹣22+|4﹣7|+（﹣π）0 20．（1）计算：（）2﹣（﹣3）+20（2）因式分解：a3﹣ab2． 21．计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（π+3）0﹣． 22．计算：+（﹣）0+（﹣1）3﹣|﹣1|．
23．计算：．24．计算：22+（4﹣7）÷+（）0 25．计算： 26．计算：|﹣2|+﹣（）﹣1+（3﹣π）0 27．计算：﹣1+（﹣2）3+|﹣3|﹣ 28．计算：（﹣1）2006+|﹣|﹣（2﹣）0﹣3．29．计算：．30．计算：
零指数幂与负整数指数幂练习题及答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共30小题） 1．计算：． 解答：解：原式=3﹣1+4=6．故答案为6． 2．计算： 解答： 解：， =2+1+4﹣2， =5． 故答案为：5． 3．（1）计算：|﹣3|﹣+（π﹣）0 （2）先化简，再求值：（3+m）（3﹣m）+m（m﹣4）﹣7，其中m= 解答：解：（1）原式=3﹣4+1 =0； （2）原式=9﹣m2+m2﹣4m﹣7 =2﹣4m， 当m=时，原式=2﹣4×=1． 4．计算：． 解答：解：原式=（﹣2）+1+2=1，故答案为1． 5．计算：． 解答：解：原式=2+3+1﹣1 =5． 6．计算：22﹣（﹣1）0+． 解答：解：原式=4﹣1+2=5． 7．计算：． 解答： 解： =1+3﹣1﹣（﹣2） =5． 故答案为5． 8．计算：． 解答： 解：原式= =．
指数与指数幂的运算教案
指数与指数幂的运算 课题：指数与指数幂的运算 课型：新授课 教学方法：讲授法与探究法 教学媒体选择：多媒体教学 学习者分析： 1.需求分析：在研究指数函数前，学生应熟练掌握指数与指数幂的运算，通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数，为学习指数函数打基础. 2.学情分析：在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算，但是这对我们研究指数函数是远远不够的，通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析： 1.教材分析：本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如推广思想，逼近思想，教材充分关注与实际问题的联系，体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明：
1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图： 教学过程设计： 一．新课引入：
（一）本章知识结构介绍 （二）问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系： （1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为 （2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为 （3） 当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为 （4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??
高一数学指数幂及运算练习题及答案
1．若(a －3)14 有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＝3 D ．a ∈R 且a ≠3 【解析】 要使(a －3)14 有意义，∴a －3≥0，∴a ≥3.故选A. 【答案】 A 2．下列各式运算错误的是( ) A ．(－a 2b)2·(－ab 2)3＝－a 7b 8 B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3b 3 C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6b 6 D ．[(a 3)2·(－b 2)3]3＝－a 18b 18 【解析】 对于C ，∵原式左边＝(－1)2·(a 3)2·(－1)3·(b 2)3＝a 6·(－1)·b 6＝－a 6b 6，∴C 不正确． 【答案】 C 3．计算[(－2)2]－12 的结果是________． 【解析】 [(－2)2]－12＝2－12＝1212＝22. 【答案】 22 4．已知x 12＋x －12＝3，求x ＋x －1－3x 2＋x －2－2 . 【解析】 ∵x 12＋x －12 ＝3， ∴(x 12＋x －12 )2＝9，即x ＋x －1＋2＝9. ∴x ＋x － 1＝7. ∴(x ＋x －1)2＝49 ∴x 2＋x －2＝47. ∴原式＝7－347－2＝445.
一、选择题(每小题5分，共20分) 1.????1120－(1－0.5－2)÷????27823 的值为( ) A ．－13 B.13 C.43 D.73 【解析】 原式＝1－(1－22)÷????322＝1－(－3)×49＝73 .故选D. 【答案】 D 2.a a a(a>0)计算正确的是( ) A ．a·a 12a 12＝a 2 B ．(a·a 12·a 14)12＝a 78 C ．a 12a 12a 12＝a 32 D ．a 14a 14a 18＝a 58 【答案】 B 3．化简－a 3 a 的结果是( ) A.－a B. a C ．－－a D ．－ a 【解析】 由题意知a<0 ∴－a 3 a ＝－－a 3a 2 ＝－－a.故选C. 【答案】 C 4．若4|x|－2有意义，则x 的取值范围是( )
指数与指数幂的运算备课教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时） 第一课时根式 教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： （I）复习回顾 引例：填空 m n =(m,n∈Z)； a+
（II ）讲授新课 1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=；又因为n b a )(可看作 m n a a -?，所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)）,这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。由此，可有：
2.n 次方根的定义：（板书） 问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？n a x =是否正确？ 分析过程： 解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为5)2(-=-32，所以-2是-32的5次方根； 因为632a )a (=，所以a 2是a 6的3次方根。 结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的n 次方根可表示为n a x =。 从而有：3273=，2325-=-，236a a = 解：因为4216=，16)2(4=-，所以2和-2是16的4次方根；
整数指数幂练习(含答案)人教版
整数指数幂 一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列计算正确的是( ) A.(－2)0=－1 B.－23=－8 C.－2－(－3)=－5 D.3－ 2=－9 2.填空:(1)a·a 5=__________;(2)a 0·a －3=________;(3)a －1·a － 2=________;(4)a m ·a n =____________. 3.填空:(1)a÷a 4=__________;(2)a 0÷a －2=_____________;(3)a －1÷a － 3=;(4)a m ÷a n =_________. 4.某种细菌的长约为0.000 001 8米，用科学记数法表示为_______________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.下列计算正确的是( ) A.(a 2)3=a 5 B.(a －2)－3=a － 5 C.(31 )－1+(－π+3.14)0=－2 D.a+a －2=a －1 2.(1)(a －1)2=___________(a≠0)；(2)(a －2b)－2=__________(ab≠0)；(3)( b a )－1=________(ab≠0). 3.填空:(1)5－2=_______________；(2)(3a －1b)－1=_______________(ab≠0). 4.计算:(1)( a b )－2·(b a )2; (2)(－3)－5÷33. 5.计算:(1)a －2b 2·(ab －1); (2)(y x )2·(xy)－2÷(x －1y). 6.我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功.经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米?(结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示)
最新指数与指数幂的运算练习题整理
2.1.1指数与指数幂的运算练习题 高一（ ）班 座号： 姓名： 知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂()n n a a a a a n N *=????∈个 ； （2）零指数幂)0(10≠=a a ； （3）负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ （2）()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ （3）()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ 知能点2：无理数指数幂 若a ＞0，P 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中( )* ∈>N n n ,1， n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 2，要注意以下几点： （1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则???<-≥==0 0a a a a a a n n ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： （1）)0,,,1m n a a m n N n * =>∈>； （2）)10,,,1m n m n a a m n N n a -*= = >∈> 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）5 1a = （2）3 4 a = （3）35 a -= （4）32 a - = 2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1） 3 4y x = （2） )0(2>= m m m （3）85 - ?? = （4= （5= ； （6）a a a = ； （7） =?a a 2 （8）=?323a a （9）=a a （10） =35 6 q p 3、求下列各式的值 （1）2 38= ；（2）12 100- = ； （3）3 1()4 -= ；（4）3 416()81-= （5）3 227= ；（6）23)4936(= ；（7）2 3)4 25(-= ；（8）23 25=
高中数学指数与指数幂的运算(一)
课题：指数与指数幂的运算(一) 课 型：新授课 教学目标： 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点：掌握n 次方根的求解. 教学难点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？（2a 、3a ） 2、回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一 个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景： ① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a 万，则x 年后人口数为多少万？ 实例2. 给一张报纸，先实验最多可折多少次（8次） 计算：若报纸长50cm ，宽34cm ，厚0.01mm ，进行对折x 次后，问对折后的面积与厚度？ ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP （国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x 年后GDP 为2000年的多少倍？ 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t 年后 体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2 t P =. 探究该式意义？ ③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算： ① 复习实例蕴含的概念：2(2)4±=,2±就叫4的平方根；3327=，3就叫27的立方根. 探究：4(3)81±=,3±就叫做81的？次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 例如：328=2= ③ 讨论：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？, 例如: 33-, 记：x 当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？ 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记： 强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0= ④ 练习：4b a =,则a 的4次方根为 ； 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ radical ）, 这里n 叫做根指数（radical exponent ）, a 叫做被开方数（radicand ）. ⑥ 计算2→ 探究： n 、n n a 的意义及结果？ （特殊到一般） n a =. 当n 是奇数时，a a n n =；当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?-