平面向量等和线专题训练
平面向量等和线专题训练
平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
(完整版)平面向量练习题集答案
平面向量练习题集答案 典例精析 题型一向量的有关概念 【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN， 两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确； 因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线， 即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题 【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM = DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3 1 ,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1 2 (a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝1 3OC ， 所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1 3DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56 b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2 3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1 2 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )， 即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1 2(AB ＋AC )， 所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝PC ， 所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0， 所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.
平面向量中三点共线定理探究
平面向量中“三点共线向量定理”探究 三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过 聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在. () 0.a b b a b a b λλ≠=r r r r r r r r 向量共线定理：对平面内的任意两个向量 、 ， // 的充要条件是：存在唯一的 实数 ，使由该定理可以得到平面内三点共线定理： ()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 三点共线定理：已知平面内一组基底 ， 及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1. ()() ()1122121,,1,=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=?-=-?=-+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 证明：如图 ， 三点共线，当且仅当有唯一一个实数 ， ，且使令则 1. ()()()()()() 1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ?-===-+?-=-?=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u ur 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图， 且1征：向量， 的系数点P 的位置是随着令 ， 当点P 在线段AB 内()() ()() ()() 12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110 =1=10 1. λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时 此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时， ，点P 在线段AB 反向延长线上时， ，当点P 与点A ， ，当点P 与点B 重合时， 时此时此时此时，， ，重合时, 111AP PB OP OA OB λλλλ ?==+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则 O 1()
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题 一．填空题。 1． BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）． （1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其扩展应用详解 一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用 一、问题的提出及证明. 1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是： .O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=. 那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明. 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下： 设 O A xOB yOC =+ 且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点 设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n 1 O A m O B n O C =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+ m n OA OB OC λ λ ?=+ m x λ ∴= 、n y λ = 1 m n x y λ λ ++= = （1）1λ> 则 1x y +< 则 11 1 OA OA OA λ = < ∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]） （2）0λ<,则1 01x y λ +=<<，此时OA 与1OA 反向 A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） 图[2] B C A 1 O A O A 1 B C A 图[1]
（3）1o λ<<，则1x y +> 此时 111 OA OA OA λ => ∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]） 图[3] 2、如图[4]过O 作直线平行AB ， 延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区 域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：0001x y x y ??<+??>??<+?? ????-<+
平面向量简单练习题
试卷第1页，总5页 一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+= ，则向量b 与a 的夹角为（ ） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则, a b 的夹角等于（ ） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→→b a （ ） 8．已知()()0,1,2,3-=-=b a ，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a = ，(2,)b y =- ，若向量,a b 共线，则3a b + =（ ） 10．平面向量a 与b 的夹角为60 ，(2,0)a = ，1b = ，则2a b + = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→→?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥ 且，则向量a b 与的夹角为（ ） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ） 15．已知向量AB ＝(cos120°，sin120°)，AC ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--= 则a （ ） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20． 已知向量,a b 满足0,1,2,a b a b ?=== 则2a b -= （ ） 21．设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于 （ ） 23．化简AC - BD + CD - AB = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF （ ）
平面向量四心问题(最全)
近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上 不共线的三个点，动点P 满足： ，则P的轨迹一定通过△ABC 的（ ） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC 的（）.
A．外心 B．内心 C．重 心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外 心 D、内心 解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质 知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
平面向量四心问题(最全)
平面向量四心问题 近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不 共线的三个点，动点P 满足：， 则P的轨迹一定通过△ABC 的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.
例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点 的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。 例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线， （设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。 点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。 例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是 解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。 3、已知点A（1，2），B（2，1），若→ AP=（3，4），则 → BP= 。 4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。 7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。 8、在△ABC中，D为AB边上一点，→ AD = 1 2 → DB， → CD = 2 3 → CA + m → CB，则 m= 。 9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD 上，且→ AP= 2 → PD，则点C的坐标是（）。 二、选择题 1、设向量→ OA=（6，2），→ OB=（-2，4），向量→ OC垂直于向量→ OB，向量 → BC平行于 →OA，若→ OD + → OA= → OC，则 → OD坐标=（）。 A、（11，6） B、（22，12） C、（28，14） D、（14，7） 2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（） A、（4 , 2） B、（3，1） C、（2，1） D、（1，0） 3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）
平面向量中的线性问题专题(附答案)
平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________.
题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( )
向量法证明三点共线的又一方法及应用
向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N
(完整版)高中数学平面向量专题训练
高中数学平面向量专题训练 一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D
(完整版)平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r () D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为 21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标． 4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有： OM =________________，M 点的坐标为_____________． 5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//?≠ρ ρρρb b a ； 坐标形式： _____________)0(//?≠ρ ρρρb b a ．
平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广
平面向量三点共线定理的推论及空间推广 南昌外国语学校 梁懿涛 邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校 电话： 电子信箱： 一．问题的来源 平面向量三点共线定理:对于共面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=． 二．问题的提出 问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论 问题2.x 、y 有什么特定的意义吗 问题3.上述问题可以推广到空间吗 三．问题的解决 推论1. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则 （1）点C 在直线AB 外侧（不含点O 一侧）的充要条件是1x y +>． （2）点C 在直线AB 内侧（含点O 一侧）的充要条件是1x y +<． 证明：（1）必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>u u u r u u u u r ，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=u u u u r u u u r u u u r ，OC x OA y OB λλ''∴=+u u u r u u u r u u u r ，,x x y y λλ''==， ()1x y x y λ''∴+=+>． 充分性：1x y +>Q ，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，C 'Q 在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧． 同理可证（2）． 进一步分析，得： 推论1'. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则 （1）连接AB 得直线1l ，过点O 作平行于1l 的直线2l ，则1l 、2l 将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：1x y +>；（Ⅱ）区：01x y <+<；（Ⅲ）区：0x y +<．特别地，当点C 落在1l 上时，1x y +=；当点C 落在2l 上时，0x y +=． （2）直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：00x y >??>?；（Ⅱ）区：00x y ?；（Ⅲ）区：00x y ??>，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线 上． 证明：OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r Q 且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，xCA yBC =u u u r u u u r ， ||||||||AC y BC x ∴=。当0,0x y >>时，CA u u u r 与BC uuu r 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．
高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！ 2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A ．() a c b c a b c ?-?=-? B ．() () b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<- D ．( )() 22 323294a b a b a b +?-=- 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3 2 OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ．8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
平面向量共线问题
平面向量共线问题的探讨 摘要：平面向量的平行与垂直是高中数学新课程向量部分的重要内容，本文旨在对平面向量平行（即共线）相关定理进行推广，得到两个更加具有一般性的结论，并举例说明它们的应用，使问题的解决更简捷。 关键词：平面向量、共线定理、推广、应用。 平面向量的共线，这部分内容比较重要，在各种考试中也频频出现，教材上就两个向量共线已给出两个定理： （1） 向量()≠与向量共线?存在唯一实数λ，使得a b λ=成 立。 （2） 向量()11,y x a =与向量()22,y x b =，则∥?01221=-y x y x 在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一步探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。对于定理（2）给出的结论，向量，b 的基底是单位正交向量：，j ，下面我们给出的结论中，涉及到的基底不一定是单位正交向量：i ，，而是任意一组基底：1e 与2e ，它更具有一般性。 推论1：若1e ，2e 是不共线的两个向量，2111e y e x a +=，2212e y e x +=，与b 共线 ?01221=-y x y x 证明：与b 共线，当且仅当=λ， ?2111e y e x +() 2212e y e x +=λ ?2111e y e x +2212e y e x λλ+= 由平面向量基本定理得：???==2121y y x x λλ ①2y ?-②2x ?消去λ得：01221=-y x y x ① ②
所以，a 与b 共线?01221=-y x y x 。 上述结论还可以进一步推广为： 推论2：对于任意向量1e ，2e ，若2111e y e x +=，2212e y e x +=，那么与共线 ?1e ∥2e 或01221=-y x y x 证明：分两种情况： 1e 与2e 平行和1e 与2e 不平行 （1）1e 与2e 平行时，结论成立。 （2）1e 与2e 不平行时,a 与共线，当且仅当a =b λ， 有：2111e y e x +() 2212e y e x +=λ 即：2111e y e x +2212e y e x λλ+= 由平面向量基本定理得：???==2121y y x x λλ ①2y ?-②2x ?消去λ得：01221=-y x y x 即：当且仅当01221=-y x y x 时，与b 共线 综合（1）（2）知：与b 共线?1e ∥2e 或01221=-y x y x 上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得比较完备。 在高考、模拟考、联考等一系列考试中，常出现向量共线的问题，下面是两个结论针对一些考题的应用，所有例题都给出多种解法，其中“另解”应用了上述结论，多种解法进行对比后，我们可以看出应用上述结论可以使问题的解决更简捷，从而节省时间。 例1.（2009重庆卷文）已知向量)1,1(=a ，),2(x b = 若b a +与24-平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 解法1：因为)1,1(=a ，),2(x b = ，所以)1,3(+=+x b a ，① ②