几个非线性偏微分方程的近似解

目录

1绪论 (1)

1.1研究背景 (1)

1.2本文的主要内容 (4)

2预备知识 (6)

2.1同伦分析法的基本思想 (6)

2.1.1同伦的概念 (6)

2.1.2同伦分析法的介绍 (6)

2.1.3相关定理 (8)

2.1.4基本原则 (8)

2.2同伦摄动法的基本思想 (9)

2.3傅里叶变换 (9)

3Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的近似解 (11)

3.1三角函数形式解 (11)

3.2指数函数形式解 (16)

3.3数值模拟和误差估计 (16)

3.4小结 (18)

4Boussinesq方程的近似解 (19)

4.1广义Boussinesq方程的近似解 (19)

4.2变系数Boussinesq方程的近似解 (23)

4.3小结 (26)

5变系数KdV-Burgers方程的近似解 (27)

6总结和展望 (30)

参考文献 (31)

致谢 (34)

读研期间发表的论文情况 (35)

III 万方数据

1

1绪论

1.1研究背景

在现实世界中，绝大多数的自然现象和社会问题究其本质是非线性的，可以用非线性方程来表述。因此，非线性方程已经成为表示自然、工程、经济等模型的一种有用的工具。例如：Lotka Volterra -模型：

111222()()[()()]()()[()()]dx t x t x t y t dt dy t y t x t y t dt

αβγαβγ?=++????=++??可以表示被捕食和捕食两个种群系统，其中()x t 和()y t 是被捕食和捕食种群的数量，i α，i β,i γ(1,2)i =是常数，1β与2γ是两个种群的密度作用系数；1γ和2β表示两种群种间作用因素；1α和2α分别是两个种群的内部增长率。

非线性Schrodinger 方程：

2

t xx iu u u u ++=能够描述光纤中的光孤立子，固体中的热脉冲传播，等离子体中的Langnui 波，激光中原子的Bose Einstein -凝聚效应以及超导电子在电磁场中的运动等。

著名的KdV 方程：0

t x xxx u auu bu ++=是1895年由荷兰科学家科特韦格和德弗里斯提出的，用来描述小振幅长波运动时的一种单向运动的浅水波。

这样的非线性方程还有很多，它们遍及各个不同的领域。很多科学家为了更深层次地研究各种工程问题及自然现象，他们会从多个不同角度对数学模型进行研究。大多数情况中，可以通过解的性质和图像来说明现象或是分析原因。因此，如何求解非线性偏微分方程已经成为学者们研究的重要内容，很多行之有效的求解非线性偏微分方程的方法被提出：

(1)Backlund 变换[1]：早在1875年，瑞典数学家Backlund 在研究Sine-Gordon 方程

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