【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么
1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；
2. 会平移二次函数y ax2(a 0)的图象得到二次函数y a(x h)2 k 的图象；
了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
3. 根据交点求解解析式．
知识点梳理
2
1、顶点式： y a x h k 的图像与性质
2、交点式： y a(x x 1)(x x 2) 的图像与性质
x 1 、x 2分别是二次函数与 x
轴的两个交点坐标， 如果二次函数与 x
轴的交点坐标已知，
则我们可以设解析式为 y a(x x 1)(x x 2 ) ，然后再根据条件求出 a 即可；
2
3、一般式 y ax 2 bx c 的性质
对于一般式： 2
y ax 2 bx c(a 0) ，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标
呢？
将一般式配方成顶点式：
1． 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为直线
2
b ，4a
c b 2a 4a
当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x b 时， y 随 x 的增大而增大；
2 a
2a
b
2． 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为直线 x b ，顶点坐标为
2a
b ，4a
c b 2 2a 4a
当 x 2b a 时， y 随x 的增大而增大；当 x 2b a 时， y 随x 的增大而减小；
典型例题分析
1、 二次函数一般式；
2
y ax
=a(x 2
bx c=
a(x 2 b x c )=a(x 2 b
x aa
b b 2 c
b 2
x ( ) ) ( ) a 2 a a 2a
22
b b c
) 22
a
4 a 4a a
= a x b
2a
b 2 4 ac
4a 2
所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线 b
x 2b a ；顶点坐标为
b ，4a
c b 2 2a 4a
x b ，顶点坐标为
2a
例1、抛物线y 2x2 4x 1 的对称轴是直线．
【答案：x 1 】
例2、抛物线y 2x 2 4 x 3 的顶点坐标是．
【答案：（1,1）】
例3、二次函数y x2 2x 3，当y 0时，自变量x 的取值范围是．
【答案：根据一般式，画出图像，求出与x轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是y 0； 1 x 3 】
例4、已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图，则a、b 、c的正负性分别是．
【答案：a 0；b 0；c 0】
例5、如果A（2，y1），B（1，y 2）为二次函数y x2 4x 1的图像上的两点，试判断y1 与y2 的大小为．
答案：y2 y1 】
例6、若二次函数y m 1 x2 m2 2m 3的图象经过原点，则m 的值为
【答案：3 】
22
例7、二次函数y ax2 bx c的图像如图所示，那么abc, b2 4ac,2a b,a b c
值为正数的有个．
【答案：2】
例8、已知二次函数y ax2 bx c 的图象与x 轴交于点( 2,0) 、( x1,0)
且1 x1 2 ，与y 轴的正半轴的交点在(0, 2) 的下方．下列结论：
① 4a 2b c 0 ；② a b c 0；③ a b c 0 ；④ a b 0．其中正确结论的是．
【答案：①正确，将x 2即可；②正确，将x 1 代入得：a b c 0；③错误，将x 1代入得：a b c 0 ；
④正确，将x 2代入得：4a 2b c 0 ，将x 1代入得：a b c 0，所以(4a 2b c) (a b c)
0 ，整理得：3a 3b 0】
例9、已知二次函数y 2x2 3x 1的顶点是A ，与x轴的两个交点为B、C( B点在C 点的左侧)与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．
3 1 1 9
【答案：A(4,8)；B( 1,0) ； C ( 2,0) ；D(0,1) ；面积为32】
2、二次函数顶点式；
12
例10、把二次函数y x 2的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得
2
图像的解析式为：．
1 2 1 2 7
【答案：y ( x 1)2 3或y x2 x 】
2 2 2
例11、如果抛物线y x2mx m 3的顶点在x 轴上，那么m ．
【答案：m 6或m 2】
2
例12、抛物线y ax 2 1 上有一点P(2, 2) ，平移该抛物线，使其顶点落在点
A (1 ,1 ) A(1,1) 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为．
【答案：Q (3, 4) ，原函数顶点坐标是(0, 1) 】
22
例13、将函数y 2x2 8x 7 写成y a x m k 的形式为____________________________ ．【答案：y 2( x 2)2 1】
例14、已知函数y m 2 x m2 m 4是关于x 的二次函数，求：
(1)满足条件的m 的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增
大而增大；
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大
而减小？
答案：( 1) m 3 或m 2 ；
2)m 2 ，(0,0) ；当x 0时，y有最小值为0，当x 0 ，y随x的增大而增大
3)m 3，(0,0) ；当x 0时，y有最大值为0，当x 0，y随x的增大而减
小】例15、（1）若抛物线y x2 mx 2m的顶点在y 轴右侧，求m的取值范围；（2）已知抛物线y x2 2（k 1）x 16 的顶点在x轴上，求k 的值；（3）若抛物线y x2 2（k 1）x 16 的顶点在y 轴，求k 的值．
【答案：（1）m 0；（2）k 3或k 5；（3）k 1】
3、二次函数交点式；
例16、抛物线y x2 bx c经过点（0, 3）和（ 1,0），那么抛物线的解析式是．
2
【答案：y x2 2x 3】
例17、二次函数的图像经过点（ 1,0），（3,0），且最大值是3，求二次函数的解析式．
3 2 3 9
【答案：y x2x 】
4 2 4
例18、已知抛物线y ax2 bx c（a 0）与x轴的两交点的横坐标分别是1和3，
3
与y 轴交点的纵坐标是；（ 1 ）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线
2
的开口方向，对称轴和顶点坐标．
1 2 3
【答案：（1）y x x ；（2）开口向上；对称轴：直线x 1 ；顶点坐标（1,2）】
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课后练习
练1．抛物线y x2 6x 5 的顶点坐标为．
【答案：(3, 4) 】
练2．已知一元二次方程x2bx 3 0的一根为3 ，在二次函数y x2 bx 3 的
451
图象上有三点( ,y1)、( ,y2)、( ,y3)，y1、y2、y3 的大小关系是．546
【答案：y1 y2 y3 】
练3．已知函数y (k－3)x2 2x 1的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是．【答案：k 4 】
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练4．若二次函数y x2x c图象的顶点在x 轴上，则c ．
2
9
【答案：c 】
16
练5．抛物线y ax2 bx c在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y轴交点的纵坐标
为8 ，则它的解析式为．
【答案：y x2 6x 8 】
练6．已知抛物线y ax2 bx c经过(1,2) 、(3,0) 两点，它在x轴上截得线段的长为6 ．求此抛物线的函数解析式．
答案：1 2 3 27 1 2 9
【答案：y x x 或y x 】
8 2 8 4 4