人教版数学高一B版必修4优化练习单位圆与三角函数线

1.2.2 单位圆与三角函数线

5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B

2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段

C.正弦线的长度为不大于1的正数

D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C

3.如图1-1-2，PM ⊥x 轴，AT ⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.

图1-1-2 图1-1-3

解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα

4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.

解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.

正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-

43π＜α＜2

π

-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ）

图1-1-4

A.sinα＜tanα＜cosα

B.tanα＜sinα＜cosα

C.cosα＜sinα＜tanα

D.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-

＜α＜2

π

-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线， |OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .

答案：D

2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（ ）

A.第一象限

B.第一、二象限

C.第三象限

D.第一、三象限

解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D

3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（ ）

A.（

4π，2π）∪（π，45π） B.（4

π

，π）

C.（4π，45π）

D.（4

π

，π）∪（45π，23π）

解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x ∈（

4

π

，4

5π）.

答案：C

4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.

答案：A

5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.

证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.

6.设

4

3π

＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.

解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a ＞b ＞c.

30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.(2006安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（ ）

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不大于0

解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,

2

π

),则sinθ+cosθ的一个可能值是（ ） A.

32 B.7

2π

C.224-

D.1

解析：由θ∈(0，2

π

)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C.

答案:C

3.适合cosα≥

2

1

的角α的集合是（ ） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k ∈Z ） B.［2kπ+3

π

，2kπ+32π］（k ∈Z ）

C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k ∈Z ）

D.［2kπ+3π，2kπ-3

π

］（k ∈Z ）

解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3

π

.

答案：C

4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.

答案：B

5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)

4

π

；(2)32π-.

解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .

(1) (2)

6.利用三角线，求满足sinx≤2

1

的角x 的集合. 解：由图可知，值为

21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6

π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+6

13π

，k ∈Z ｝.

7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤

2

1

，

所以x ∈［2kπ+

3

π

，2kπ+35

π］（k ∈Z ）.

8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范

围.

解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为

???

??>?>+>?,0,0,02

121x x x x 即 ???

??

?

??

?

>-+>->+---.01

sin 22

sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得??

?

?

?

?

???>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或

故

2

1

＜sinα＜23.

利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，

故2kπ+

6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k ∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜

α＜2kπ+3

π

，k ∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k ∈Z }.

9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt △MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，

所以cos 2α+sin 2α=1.

10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.

解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，

2

），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由α=

，

显然S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ，即21·OA ·MP ＜2

1·OA ·＜

2

1

·OA ·AT .化简得MP ＜α＜AT ，所以sinα＜α＜tanα.