自动控制原理第八章 非线性系统的分析

第八章 非线性系统的分析

例8-1非线性系统如图8-1所示。

已知带死区的继电器特性的描述函数()N X 描述函数1()-N X 特性曲线如试图8-2，应用描述函数法分析当1=a 、3=b ，2=K 时系统的稳定性，若系统自振，求自振的振幅和频率。

图8-1

图8-2

解：当1=a 、3=b 时，负倒幅函数为 1

()

-

=N X

由试图10可知，1()-N X 的极值发生在

P X 0.523236 2

π

ππ-=-=-=-??b a

系统线性部分的频率特性为

23

2 2 (j )

j (0.5j 1)(j 1) 1.5j(0.5)

ωωωωωωω==++-+-+G 令Im[(j )]0ω=G ，得

30.50/s ωωω-+=?

2

2 Re[(j )]0.6671.5ωωωω-G

则(j )ωG

曲线与负实轴的交点坐标为(0.667 , j0)-。由于 1 ()

-N X 位于负实轴上0.532-～-∞之间，所以

(j )ωG 与 1 ()

-N X 两条曲线必然相交，在同一个坐标点(0.667 , j0)-上对应着负倒幅函数 1

()-N X 两个不同

的

X 值，由

1 Re[()]()

ωωG j N X

121 1.11 , 2.31.5

-=?==X X

容易判断，当 2.3=X 时系统产生稳定的自持振荡，振荡频率为/s ω 振幅为 2.3=X

例8-2非线性系统方框图如图7-3所示。已知理想继电器特性的描述函数为 4 ()M N X A

π=，若要求系

统自持振荡的角频率为ω，振荡幅值为1A =，求参数T 和M 之值。

图8-3

解：理想继电器的负倒幅特性为14A M N A π-=-()

，当0A =，1/0N A -=()；当A =∞，1/N A -=-∞()，所

以1/N A -()特性为整个负实轴。 系统线性部分的频率特性为

2

2101011(1)G j j j jT T j T ωωωωωωω=

=++-++-()()()(1)

（1

） 令Im 0G j ω=[()]，得/s

ω= 将ω=1），得12

10

10Re 1

(1)T

T G j T T ωωωω=-

=-++[()]

1/G j N A ω=-()()的交点有

1

1Re T

G j N A

ωω=-[()]()

即

1014T A T M

π-=-+ 要求系统自持振荡的角频率为ω

，振荡幅值为1A =，则3T =， 0.147.5M π==?

例8-3 具有饱和非线性的控制系统如图8-4所示，问：（1）试分析系统的稳定性？（2）为了使系统不产

生自持振荡，系统应如何调整？

图

8-4

图8-5 G j ω()曲线与1/N A -()曲线

解：饱和非线性的描述函数为12sin

S K N A π-?

??()=A S ≥()，其中，2K =，1S =，则 1N A -=()

起点1A =时，10.5N A -=-()，当A →∞，1N A -→-∞()，因此1N A -()

曲线位于0.5-～-∞这段负实轴上。

系统线性部分的频率特性为

2420.310.020.110.210.00040.051s j k j k G j s s s ωωωωωωω=---==

++++[()]()()()[]

令Im 0G j ω=[()]，即210.020ω-=，得G j ω()

曲线与负实轴交点的频率为

7.07 rad /s ω=

= 代入Re G j ω[()]，可求得G j ω()曲线与负实轴的交点为

42

7.07

0.30.3Re 0.00040.051k k G j ωωωω=--=++[()]= （1）将15k =代入上式，得Re G j ω[()]=-1。图8-5绘出了15k =时的G j ω()曲线与1/N A -()曲线，两曲线交于（-1，j 0）点。显然，交点对应的是一个稳定的自持振荡，根据交点处幅值相等，即

1=-

求得与交点对应的振幅 2.5A =。因此，当15k =时系统处于自持振荡状态，其振幅 2.5A =

，振荡频率为

7.07rad /s ω=。

（2）欲使系统稳定地工作，不出现自持振荡，由于G s ()极点均在s 平面左半部，故根据推广的乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论，应使G j ω()曲线不包围1

-曲线，即0.30.5 4.5k -≥-，故k 的临界值为k 临界0.5 4.57.50.3

?==。

因此，为了使系统不产生自持振荡而稳定工作，系统的k 值最大调整到7.5。

例8-4含间隙特性的非线性系统的方框图如图8-6所示，其中，间隙特性参数1k =以及线性部分的传递函数为122

1.51G s G s s s =

+()()()，试加线性校正环节c

G s ()，以消除间隙特性系统的自持振荡。

图8-6 含间隙特性的非线性系统的方框图

解：串联校正方案

将曲线12G j G j ωω()

()及1k =的间隙特性的负倒幅特性画在Nichols 图上，如图8-7所示。从图8-7上看出，曲线12G j G j ωω()()与1/N A -()有两个交点1b 及2b ，由乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论可知：1b 为稳定交点，它代表实际存在于系统中的自持振荡，其参数由图中查出 6.25

A ε=及0.84rad /s ω=；2b 为不稳定交点。由此可见，当间隙特性的正弦输入初始振幅大于1.22A ε=时，在间隙特性的输入端将出现振幅 6.25A ε=及角频率0.84rad /s ω=的自持振荡；当初始振幅小于 1.22A ε=时，间隙特性的输入振幅向A ε=收敛。

10

-5

-0

51020152530

110-?90-?

180-?170-?160-?150-?130-?140-?120-?100-?12120l g

20l g d B G j G j N A ωω()()()

()

??( )12

1.51G j G j j j ωωωω=

+2()()()1N A -

()

0.82A

ε=ω= 0.16A

ε=ω=1

2

图8-7 曲线12G j G j ωω()()与1/N A -()

10

-5

-0

51020152530

110-?90-?

180-?170-?160-?150-?130-?140-?120-?100-?120l g

20l g d B G j N A ω()()

()

??( )j ω()

1N A -

()

图8-8 含间隙特性串联校正的Nichols 图

通过加校正环节c G s ()以改变12G s G s ()

()的形状，使其与1/N A -()脱离接触，并使1/N A -()不为12c G j G j G j ωωω()()()曲线所包围，即在12c G j G j G j G j ωωωω=()()()()的上方，从而达到消除自持振荡并确

保系统稳定的目的。为此，初选超前校正环节为10.810.4c s G j s

ω+=+()，这时，校正系统的线性部分频率响应

为12210.81.5

10.41c j G j G j G j G j j j j ωωωωωω

ωω+==++()()()

()()。将曲线G j ω()与1/N A -()画在Nichols 图上，如图8-8所示。从图上看到，由于加校正后系统线性部分的频率特性G j ω()完全置于间隙特性的负倒幅特性1/N A -()之下，故校正后的系统是稳定的，达到了校正的目的。