初三数学经典例题

《二元一次方程》

【1】若厶ABC的边长为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ ABC的形状是( )

A.等腰三角形 B ?等边三角形 C ?任意三角形 D ?不能确定

考点：因式分解的应用.

分析：利用完全平方公式进行局部因式分解，再根据非负数的性质进行分析.

解答：解：T a2+b2+c2=ab+bc+ca ,

??? 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0 ,

(a-b ) 2+ ( a-c ) 2+ (b-c ) 2=0,

?a=b=c,

???三角形是等边三角形.

故选B.

点评：此题考查了完全平方公式的运用和非负数的性质，即几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0.

【2】用配方法证明代数式2x2-4x+5的值恒大于零.

考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方.

分析：把含x的项提取2后，配方，整理为与原来的代数式相等的形式即可.

解答：解：2x2-4x+5 ,

=2 (x2-2x+1 ) +3,

=2 (x-1 ) 2+3,

??? 2 (x-1 ) 2为非负数，

? 2 (x-1 ) 2+3 为正数，

?2x2-4x+5的值恒大于零.

点评：考查配方法的应用；若证明一个代数式的值为非负数，需把这个代数式整理为一个完

全平方式与一个正数的和的形式.

【3】如果关于x的方程(m+2 x2-2 (m+1) x+m=0有且只有一个实数根，那么关于x的方程(m+2 x2-2mx+m-1=0 的根为( )

A. 34 B . 1 或3 C . -1 或3 D . 1 或-3

考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法.

分析：由关于x的方程(m+2 x2-2 (m+1 x+m=0有且只有一个实数根，有m+2=Q即m=-2, 然后把m=-2代入关于x的方程(m+2) x2-2mx+m-1=0，得到4x-3=0，解方程即可.

解答：解：?关于x的方程(m+2 x2-2 ( m+1 x+m=0有且只有一个实数根，

/? m+2=0,即m=-2,

把m=-2代入关于x的方程(m+2 x2-2mx+m-仁0,得到4x-3=0 ,

解得x=3 4 .

故选A.

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0, a, b, c为常数)和一元一次方程的定

义.

【4】如果关于x的方程x2-2 (1-k ) x+k2=0有实数根a, 3,那么a + B的取值范围____________ .

考点：根与系数的关系；根的判别式.

分析：先根据方程有实数根，求出k的取值范围，再根据根与系数的关系求出a +3的取值

范围.

解答：解：T关于x的方程x2-2 (1-k ) x+k2=0有实数根a,3,

???△ =[-2 (1-k ) ]2-4 X 1 X k2 >0,

解得k v 1 2 ,

T'a,3是二次函数的两个根，

? a +3 =2 ( 1-k ) =2-2k ,

又??? k v 1 2 ,

? a + 3》1 .

点评：此题主要考查了根与学生的关系，将根与系数的关系与不等式变形相结合解题是一种

经常使用的解题方法.

《图形的旋转》

【1】如图，分别以正方形ABCD勺边AB BC为直径画半圆，若正

方形的边长为a，则阴影部分面积为 _______ .

考点：相交两圆的性质.

分析：根据两段半圆的交点即为正方形的对称中心，连接AC BD将两个弓形分别进行旋转，即可将所求的阴影部分的面积转化为半个正方形的面积，即可得出答案.

解答：解：因为两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为0,连

接AC,则AC必过点0,连接0B

将弓形OmB绕点0旋转并与弓形OaA重合；

同理将弓形OnB绕点0旋转并与弓形ObC重合，

此时阴影部分的面积正好是△ ADC的面积，即正方形面积的一半；因为

正方形的边长为a,

所以正方形的面积为为a2,

所以阴影部分的面积为：？ a2 ;

故答案为：？ a2 .

点评：此题考查了相交两圆的性质，此题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，难度适中，关键是将所求的阴影部分的面积转化为半个正方形的面积.

【2】如图，已知△ ABC中，AB=8 AC=6 AD是BC边的中线，贝U AD的

范围是________ ,

考点：三角形三边关系分析：延长AD到点E,使DE=AD连接BE,易证明△

ADC^^ BDE得到BE=AC

在厶ABE中，根据三角形三边关系，得2V AE< 14,即2v 2AD< 14,所以AD的范围是K AD

V 7 ；

解答：解：延长AD到点E,使DE=AD连接BE.

?/ BD=CD DE=AD Z ADC=/ EDB =

???△ADC^A BDE

??? BE=AC

在厶ABE中，根据三角形三边关，得2< AE V 14, 即2< 2AD< 14,所以AD的范围是1V AD< 7;

点评：本题考查了三角形的三边关系及全等三角形的判定；通过作辅助线--倍长中线，把要

求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系求解是正确解答本题的

关键.

《圆》

【1】B是O O的直径P是AB上一点（不与A、B重合）,C是O上一点，试问线段PA,PC,PB 三者之间有怎样的数量关系？考点：圆的半径；三角形三边关系

分析：连接O C。根据三角形两边之和大于第三边及同圆内半径都相等进行进一步解题，即可求出答案。

解答：解：连接O C，

可知：AO=CO=B（半径）

根据三角形两边之和大于第三边，可知：PC+PO>CO,PC

而CO=AO=BO=AP+PO,CO+PO=PO+BO=PB

??? PC+PO>AP+PO,PC

??? AP

【2】(2004?本溪)已知点

弦长可能取到的整数值为(

P 是半径为5的圆O 内一定点，且 OP-4则过点P 的所有弦中, ) A . 5, 4, 3

B C . 10, 9, 8, 7, 6

.10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 D . 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6 考点：垂径定理；勾股定理.

6，因此过点P 的所有弦中整数值是 6、7、8 9、 10五个值.

解答：解：点P 是圆内的定点，所以过点

P 最长的弦是直径等于 10, 最短的弦是垂直于 0P 的弦，如图示，OPL AB,

??? AP=BP

由题意知，0A=5 0P=4

在 Rt △ AOP 中, AP= 52 -4 2 =3 ,

? AB=6,即过点P 的最短的弦长为6,

所以过P 的所有弦中整数值是 6、7、& 9、10.

故选C.

点评：解决与弦有关的问题时， 往往需构造以半径、 弦心距和弦长的一半为三边的直角三角

形，若设圆的半径为 r ，弦长为a ，这条弦的弦心距为 d ,则有等式r 2 =d2 + (a/2 ) 2成 立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个. 分析：由于点P 是圆内的定点，所以过点

P 最长的弦是10，最短的弦是垂直于 0P 的弦，利 用垂径定理和勾股定理求出最短的弦长为

【3】（2010?芜湖）如图所示，在圆O O内有折线OABC其中OA=8

AB=12 / A=Z B=60°,贝U BC的长为（）

A. 19 B . 16 C . 18 D . 20

考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质.

分析：延长AO交BC于D,根据/ A / B的度数易证得△ ABD是等边三角形，由此可求出OD BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E;在Rt △ ODE中，根据OD的长及/ ODE勺度数易求得DE 的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE由此得解.

解答：解：延长AO交BC于D,作OEL BC于E; ???/ A=Z B=60°,A Z

ADB=60 ;

???△ADB为等边三角形；

??? BD=AD=AB=12

?OD=4 又I/ ADB=60 ,

?DE=1 2 OD=2；

?BE=10;

?BC=2BE=20

故选D.

点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用.

【4】（2010?德州）已知三角形的三边长分别为：3, 4, 5,则它的边与半径为1的圆的公

共点个数所有可能的情况是（）

A. 0，1，2，3 B . 0, 1, 2, 4 C . 0, 1, 2, 3, 4 D . 0, 1, 2, 4, 5

考点：直线与圆的位置关系.

分析：根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个.

解答：解：32+42=25, 52=25,

???三角形为直角三角形，

设内切圆半径为r，则

1/2 （3+4+5）r=1/2 X 3 X 4,

解得r=1 ,

所以应分为五种情况：

当一条边与圆相离时，有0个交点，

当一条边与圆相切时，有1个交点，

当一条边与圆相交时，有2个交点，

当圆与三角形内切圆时，有3个交点，

当两条边与圆同时相交时，有4个交点，

故公共点个数可能为0、1、2、3、4个.

故选C.

点评：本题考查线段与圆的交点的情况，需要考虑所有的可能情况，先求出内切圆半径是解题的关键.