专题03 丰富多彩的函数压轴题第二问通关-备战2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透(原卷版)

专题03 丰富多彩的函数压轴题第二问通关

一、利用导数证明不等式

1．已知()()2

1x

f x ax e x =-+．

（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；

（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2

ln 11f x ax x x ≥-+++．

【思路引导】（1）由题意1a =时，得()()2

1x

f x x e x =-+，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函

数的零点个数；（2）求得函数的导数()()12x

f x e

ax a x -'=++，由0x =是()f x 的极值点，得1a =，

得到函数的解析式，令1x t -=，转化为证明1ln 2t te t t +≥++，设()()ln 20x

h x ex e x x x =?--->， 根据导数得到()h x 的单调性和最小值，证得()0h x ≥，即可作出证明．

2．已知函数()()2

2x

f x e ax x a R =--∈．

（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的最小值； （Ⅱ）当12e a <

-时，证明：不等式()12

e

f x >-在()0,+∞上恒成立． 【思路引导】（1）()2x

f x e x =-， ()2x

f x e '=-，由单调区间及极值可求得最小值。（2） 由导函数()22x

f x e ax =--'，及12e a <

-，

()12222102e f e a e ??

=-->---= ???

， ()010f '=-<，由根的存在性定理可知存在()00,1x ∈使得()00f x '=，只需证()f x 最小值

()()002

0000022x x f x e ax x e x ax =--=-+>12

e -，由隐零点0

0220x e ax --=回代，即证

()12t t g t e t ??

=-- ???

12e >-。

3．已知函数()ln f x x =，()()1g x a x =-

（Ⅰ）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；

（Ⅱ）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）若数列{}n a 满足11n n a a +=+， 33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：

()ln 1234...n n S ?????<．

【思路引导】（Ⅰ）求出()h x '，在定义域内，分别令()'0h x >求得x 的范围，可得函数()h x 增区间， ()'0h x <求得x 的范围，可得函数()h x 的减区间；

（Ⅱ）当0a ≤时，因为1x >，所以()1ln 0a x x -->显然不成立，先证明因此1a ≥时， ()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，再证明当01a <<时不满足题意，

从而可得结果；（III ）先求出等差数列的前n 项和为()12

n n n S +=

，结合（II ）可得

ln22,ln33,ln44,,ln n n <<

4．已知函数()sin x

f x e x ax =-．

（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()

0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 在0,

4π??

????

上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）当1a ≤时，求证：对于任意的x ∈ 30,

4π??

????

，均有()0f x ≥． 【思路引导】（1）求出()1x

x

f x e sinx e cosx '=+-，由()0f 的值可得切点坐标，由()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程；（2）函数()f x 在[0,

4

π

]上单调递增

? ()f x '在[0,

4

π

]上恒有()0f x '≥．即2sin x

e （4

x π

+

）a ≥恒成立，令()2sin x

g x e =（4

x π

+

），

只需求出()g x 的最小值即可得结果；（3）先证明当x ∈ [0,

2

π

]时， ()()0f x g x a '=-≥， ()f x 递增，

有()()()min 00f x f x f ≥==成立，再讨论两种情况若0a ≤，不等式恒成立，只需分两种情况证明a ∈（0,1]时也恒成立即可．

5．已知函数()2

ln f x a x =+且()f x a x ≤．

（1）求实数a 的值；

（2）令()()xf x g x x a

=-在(),a +∞上的最小值为m ，求证： ()67f m <<．

6．已知函数()1ln x

f x x ax

-=

+（其中0a >， e 2.7≈）

． （1）当1a =时，求函数()f x 在()()

1,1f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围; （3）求证：对于任意大于1的正整数n ，都有11

1ln 23

n n

>+++

． 【思路引导】（1）()21

x f x x

=

'-， ()10f '=， ()10f =，可求得切线方程。（2）即()f x '在区间[)2,+∞上()0f x '≥恒成立。（3）由（1）得()1ln x f x x x -=+ 0≥在[)1,+∞上恒成立，

即1ln x x x -≥。令1

n

x n =-，得()1

ln ln 1n n n

--≥， 2,3,....n =，不等式同向相加可得。

二、利用导数研究不等式恒成立问题

1．设函数()()f x mx n =+ ln x ．若曲线()y f x =在点()()

,P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）．学科！网 （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若关于x 的不等式()()

21f x x λ≤-恒成立，求实数λ的取值范围．

【思路引导】（1）先根据导数几何意义得()2f e '=，再由()f e e =，解得1,0m n ==．最后求出导函数零点，列表分析导函数符号变号规律，进而确定单调区间，（2）先分离ln 12x x λ+≤，

再求函数()ln 1

x r x x

+=最大值，即得实数λ的取值范围．

2．已知函数()()

2x f x ax x a e -=++ ()a R ∈． （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为

5

e

，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤， ()()ln 1f x b x ≤+，在[

)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围．

【思路引导】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最

后根据绝对值求实数a 的值；（2）先求0a ≤， ()f x 最大值，再变量分离得()

ln 1x

xe b x -≥+ ，最后根据导

数研究函数()

ln 1x

xe y x -=+最大值，即得实数b 的取值范围．

3．已知函数()1ln ,f x ax x a =--∈ R ．

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程; （2）讨论函数()f x 的单调区间;

（3）求证：若函数()f x 在1x =处取得极值，则对()()0,,2x f x bx ?∈+∞≥-恒成立． 【思路引导】（1）求出()1

2f x x

'=-

，，求出()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程；（2）分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间， ()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）由()10f '=，计算得出1a =，取经检验满足条件， ()()0,,2x f x bx ?∈+∞≥-，则

1ln x x

b x

+-≥，令()1ln ,x x g x x +-=

利用导数求出()g x 的最小值即可得结果．

4．已知函数()()

2211ln 22f x x a a x x a ?

?=

---≤ ??

?． （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处取得极值，求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程; （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性;

（Ⅲ）设()2

2

ln ,g x a x x =-若()()f x g x >对1x ?>恒成立，求a 的取值范围．

【思路引导】（Ⅰ）求导，先利用()20f '=求得a 值，再利用导数的几何意义求其切线方程；（Ⅱ）求导，通过讨论二次方程的两根的大小关系进行求解；（Ⅲ）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再通过求导进行处理．

5．已知函数()2

f x x ax =-， ()ln

g x mx n x =+，函数()f x 的图象在点()()

1,1f 处的切线的斜率为1，

函数()g x 在2x =处取得极小值22ln2-． （1）求函数()f x ， ()g x 的解析式；

（2）已知不等式()()()2

1f x g x x x λ+≥--对任意的(]0,1x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．

【思路引导】（1）由已知有()'11f =求出1a =，由()()'20,222ln2g g ==-求得1,2m n ==-，所以()2f x x x =-， ()2ln g x x x =-；（2）令()()()h x f x g x =+，将问题转化为()0h x ≥对任意的(]0,1x ∈恒成立， ()2

'x h x x

λ-= ，对实数λ分情况讨论，得出单调性，求出最小值，从而得出λ的范围。

6．已知函数()()32+1,0{ ,ln ,0

x

x x x f x g x x ax m e ax x -+<==-+-≥． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若不等式()()f x g x >对任意的正实数x 都成立，求实数m 的最大整数；

（3）当0a >时，若存在实数[]

,0,2m n ∈且1m n -≥，使得()()f m f n =，求证： 21e a e e -≤≤-．

【思路引导】（1）当3a =时，()321,0{ 3,0

x x x x f x e x x -++<=-≥，通过求导得出函数的单调性；

（2）由()()f x g x >可得ln x e ax x ax m ->-+对任意的正实数都成立，

等价于ln x e x m ->对任意的正实数都成立，设()ln (0)x

h x e x x =->，求出()min h x ，即可求出实数m 的最大整数；（3）由题意()x

f x e a '=-，

（ 0x ≥），得出()f x 在()0,ln a 上为减函数，在()ln ,a +∞上为增函数，若存在实数[]

,0,2m n ∈， ()()f m f n =，则ln a 介于,m n 之间，根据函数单调性列出不等式组，即可求证．

三、利用导数研究能成立问题

1．已知函数()()()2

21ln 1f x mx m x x m m R =-++---∈．

(1)若函数()()1g x f x x =-+有一个极小值点和一个极大值点，求m 的取值范围； (2)设1

2

m ≤

，若存在()1,2n ∈，使得当(]0,x n ∈时， ()f x 的值域是())[, f n +∞，求m 的取值范围． 【思路引导】（1）求出函数()g x 的导数，由函数()g x 有两个极值点，得到关于m 的不等式组，求得实数