第43讲相似三角形及其应用

第43讲相似三角形及其应用一、知识梳理

相似图形的有关概念

比例线段

对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线

段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即

____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，

简称比例线段

的黄金分割点，割点有______个

平行线分线段成比例定理

相似三角形的判定么这两个三角形相似

相似三角形及相似多边形的性质

位似

互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心

(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于_

相似三角形的应用

二、题型、技巧归纳

考点一：比例线段

例1已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝( )

A．7 B．7.5 C．8 D．8.5

技巧归纳：本题考查的是平行线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键

考点2相似三角形的性质及其应用

例2 如图△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长H G是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.

(1)求证：AM HG

AD BC

(2)求这个矩形EFGH的周长．

技巧归纳：

1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；

2. 利用相似三角形性质探求比值关系．

考点3三角形相似的判定方法及其应用

例3、如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)求EF的长．

技巧归纳：判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．

考点4位似

例4 如图正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( )

A、1

6 B、1

C、1

D、2

技巧归纳：本题考查位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键根据已知条件求得两个正方形的边长。

三、随堂检测

1、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__ __m.

2、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC 的长为．

3、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．

第43讲 相似三角形及其应用