系统传递函数的测试方法

系统传递函数的测试方法

实验报告

系统传递函数的测试方法实验报告

摘要

本论文主要研究分析系统受随机信号激励后的响应及系统传递函数的测量方法，阐述实验原理并且分析，了解实验步骤、设计思路，并且使用MATLAB 编写相关程序，最后对实验进行仿真，对实验中出现的问题进行逐个击破。首先通过matlab仿真产生理想高斯白噪声，通过被测系统后的理想高斯白噪声信号与理想高斯白噪声信号进行互相关运算后产生一个信号a（t）。用matlab模拟低

通滤波器和微分器，使a(t)通过该滤波器，获得线性系统单位冲击响应h(t)，分析该信号的均值、方差、相关函数、概率密度、频谱密度等数字特征。

通过这次试验，我们了解随机信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等的概念和特性，以及系统传递函数的测量方法。掌握了一定matlab技巧，直观地看到了随机信号以及高斯白噪声的特点及信号的变换，并体会到matlab的便利与强大。加深了对随机信号的认识，对以后的学习大有帮助。

关键词:互相关函数低通滤波器带通滤波器微分器matlab

一、实验内容简介

目的：研究分析电子系统受随机信号激励后的响应及测量方法。了解随机信号的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab仿真。

内容：根据选题的内容和要求查阅相关的文献资料，设计具体的实现程序流程；用matlab仿真；按设计指标测试电路；分析实验结果与理论设计的误差，根据随机信号的特征，分析误差信号对信号和系统的影响。

2.1实验原理

利用互相关算法可以求取线性时不变系统的冲击响应。通过被测系统后的理想高斯白噪声信号与理想高斯白噪声进行互相关运算，产生相应的输出通过一个低通滤波器，获得线性系统单位冲激响应h(t)。其原理框图如图4-1所示：

图2-1 利用互相关测量线性系统单位冲击响应

2.2实验任务与要求

(1) 实验要求掌握白噪声的特性，以及探讨这种测试方法的意义，重点在于系统测试与分析。

(2)要求测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图。分析实验结果，搞清楚均值、均方值、方差，自相关函数、频谱及功率谱密度的物理意义。例：均值除了表示信号的平均值，它还表示信号中有了什么成分。相关函数当τ=0时为什么会有一个冲击，表示什么，它又等于什么。信号的时域波形有哪些特征，频域又有哪些特征。频谱及功率谱密度有什么差异，什么噪声是白噪声，这个噪声符合白噪声的定义吗等等。 (3)被测系统：

① 被测系统是一个低通滤波器。低通滤波器的通带为0KHz-1KHz 、通带衰减小于1db 、阻带衰减大于35db 。

② 被测系统是一个带通滤波器。带通滤波器的通带为1KHz-2KHz 、通带衰减小于1db 、阻带衰减大于35db 。 ③ 被测系统是一个微分器。

(4)要求：绘制低通滤波器、带通滤波器、微分器的频谱特性、冲激响应。计算x(t)、a(t)、y(t)信号的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。

二、实验原理分析及实现

2.2实验原理分析

通常情况下，当随机信号与被测系统带宽的比值比较大时，利用输入信号和输出信号之间的互相关函数可以测出被测系统的冲击响应。我们只需在满足带宽比的要求时得出互相关函数，并得出互相关函数与冲击响应之间的关系，从而求出冲击响应。

理想白噪声(高斯白噪声)的服从均值0X m =，方差2()D X σ=一维正态分布，其概率密度函数为：

2

2

())

2

x

f x

σ

=-

白噪声的功率谱密度为：

()

2

n

N

S f=

其中

N为单边功率谱密度。

白噪声的自相关函数：

()()

2

N

Rτδτ

=

白噪声的自相关函数是位于0

τ=处，强度为0

2

N

的冲击函数。这表明白噪声在任何两个不同的瞬间的取值是不相关的。同时也意味着白噪声能随时间无限快的变化，因为它含一切频率分量而无限宽的带宽。

高斯白噪声是通信系统中最常见的一种随机信号，其双边功率谱密度为一恒定常数，自相关函数表现为冲击函数，当进行频域分析时比较容易，因此得到广泛的应用，本实验中也采用高斯白噪声信号作为系统输入。

根据随机信号分析相应的知识，输入白噪声信号n(t)和白噪声通过被测系统后得到输出信号x(t)之间的互相关函数：

通过上式可以看出，被测系统的冲击相应和该互相关函数存在着线性关系，对上式变形得到，

所以我们可以通过测量互相关函数的方法间接得到被测系统的冲击响应。

三、仿真过程及结果分析

3.1高斯白噪声的产生

00

nx

R()()*()()*()()

22

n

N N

R h h h

τττδτττ

===

nx

2

()R()

h

N

ττ

=

x_mean = 0.0048

x_var =1.0136

x_msv =1.0136

3.2通过系统

3.2.1系统为低通滤波器x(t)

y_mean =0.0065

y_var = 0.2134

y_msv = 0.2135

3.2.1系统为带通滤波器x(t)

y_mean =2.3016e-004

y_var = 0.1612

y_msv =0.1612

3.2.2系统为微分器x(t)

y_mean =-1.1662e-017 -4.9512e-018i

y_var = 0.6422

y_msv = 0.6422

3.3通过被测系统后的信号与理想高斯白噪声进行互相关，3.3.1低通滤波器a(t)

a0_mean =1.3327e+003 a0_var 5.2621e+012

a0_msv = 5.2621e+012 3.3.2带通滤波器a(t)

a0_mean = 0.0075

a0_var =136.0901

a0_msv =136.0902

3.3.3微分器a(t)

a0_mean =-4.1755e-017 -3.4288e-016i

a0_var = 695.3044

a0_msv = 6.9530e+002 +2.8634e-032i

3.4并通过低通滤波器得输出信号y(t) 3.

4.1低通滤波器y(t)

x3_mean =1.2995e+003 +8.9970e-012i

x3_var = 1.1141e+012

x3_msv = 1.1141e+012 +2.3384e-

3.4.2带通滤波器y(t)

x3_mean = 0.0060 - 0.0000i x3_var = 53.7463

x3_msv = 53.7463 - 0.0000i 3.4.3微分器y(t)

x3_mean = 6.8951e-017 -1.5712e-016i x3_var = 105.7989

x3_msv = 1.0580e+002 -2.1667e-032i

3.3仿真结果分析

3.3.1白噪声分析

实验中绘制出白噪声的自相关函数的图像，发现在=0τ处，自相关函数是一个δ脉冲，说明只有在同一时刻它们才相关。对应于功率谱，从图中可以发现高斯白噪声的功率谱无限宽，从而印证了理论的推导。

均值代表信号的平均值，均方值2[]E X 代表着平均功率，均值的平方2X m 代表直流功率，方差2σ代表交流功率。 3.3.2高斯白噪声通过低通滤波器

高斯白噪声通过低通滤波器后，滤除掉了高频分量，只剩下低频分量。

低通带限白噪声功率谱密度为：0

x S ()0

S w W w ?≤?=?

??其它

低通带限白噪声的自相关函数：

001R ()()21()2sin jw X X W jw W

S w e dw S w e dw WS W W τττππτπτ+∞

--∞

--===

??

实验中绘制出白噪声通过低通滤波器自相关函数的图像符合表达式。

同理，通过带通滤波器后，只保留了通频带内的频率分量。

带通带限白噪声功率谱密度为：0

00x S ()220W W

S

w w w w ?-≤≤+?=???

其它

带通带限白噪声的自相关函数：

()00sin /2R ()cos /2

X W WS w W τττ

πτ=

通过滤波器之后，噪声的功率谱密度已经不是无限宽了，我们知道功率谱密

度图像的面积代表着功率，此时功率可以计算出来，而且平均功率与滤波器的带宽成正比，从而噪声变成了能量有限的信号。在通过滤波器之后，信号的均方值、方差均变小，与上面它们所代表的物理意义相对应，说明信号的平均功率和交流功率都变小。这也与信号通过滤波器的性质相吻合。

低通滤波器和带通滤波器都属于线性系统，高斯白噪声通过线性系统后，器输出的分布仍然服从高斯分布，这一点我们可以由三幅概率密度图形来得出。

四、实验总结

根据仿真结果图可以看出，进过测试，测试低通滤波器、带通滤波器、微分器，系统输出y(t)的时域波形近似符合带他们的时域特性曲线。测试低通滤波器，频谱在较低频率处有着比较强的幅值相应，即对较低频谱的信号有着较为良好的滤波特性，基本符合低通滤波器的滤波要求；测试带通滤波器频谱在某些频段之间有着比较强的幅值相应，即对某些频段频谱的信号有着较为良好的滤波特性，基本符合带通滤波器的滤波要求；测试微分器，频谱在某些频段之间有着比较强的幅值相应，即对某些频段频谱的信号有着较为良好的滤波特性，基本符合带通滤波器的滤波要求。综上所述，无论从理论上，还是模拟验证都得到了理想的结果，所以该系统能够满足利用线性系统测试系统冲击函数的要求。

通过这次试验，我们了解了随机信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等的概念和特性，以及系统传递函数的测量方法。掌握了一定matlab技巧，直观地看到了随机信号以及高斯白噪声的特点及信号的变换，并体会到了matlab的便利与强大。加深了对随机信号的认识，对以后的学习大有帮助。

五、实验内容及方法应用

互相关技术在实际工程定位、测距等方面应用广泛，本文主要介绍互相关技术在激光测距中应用。

远程激光测距在军事、大地勘测等方面有着越来越重要的作用, 而单脉冲激光测距技术在远程激光测距的应用中存在一定的局限性,本文提出了一种基于发射脉冲串与回波脉冲串互相关的方法,旨在提高远程激光测距中对于弱回波

信号的探测能力。本文提出了一种脉冲串互相关激光测距方法,并设计和实施了相应的验证实验系统。该系统包括基于FPGA控制的半导体激光器的脉冲串激光发射系统、基于PIN管的光电接收系统以及基于高速ADC和FPGA的数据采集和数字信号处理系统,旨在探究脉冲串互相关方法对于远程激光测距中弱回波信号探测能力的提升作用。实验中,将多个激光脉冲信号作为一个信号连续发射,由PIN管接收后,将发射脉冲串信号和回波脉冲串信号同时数字化接收后作互相关处理。选择不同激光发射功率来模拟不同目标反射强度、不同距离的激光测距回波,通过处理不同信噪比的回波信号,来探究本方法对于回波信号信噪比的提升能力以及对于尖峰噪声的抑制能力。实验结果表明,该方法能够有效提高回波信号的信噪比,初始信噪比为0.11的弱回波信号经过处理后信噪比能提升到5.92, 从而扩展了激光测距系统的测程,有效降低了探测系统的探测虚警率,提高了远程激光测距系统的弱回波探测能力。（参考《远程激光测距中的脉冲串互相关技术研究》）。

六、附录

参考文献

[1]随机信号分析与应用马文平李冰冰等科学出版社

[2] 高西全、丁玉美．数字信号处理西安：西安电子科技大学出版社2006．

[3] 王凤瑛、张丽丽.功率谱估计及其MATLAB仿真 [J] 仿真技术：2006．3．

[4] MATLAB7辅助信号处理技术与应用电子工业出版社

[5]胡凯.远程激光测距中的脉冲串互相关技术研究[J]

matlab代码

程序1：高斯白噪声

Fs=10000;Ns=1024; %产生高斯白噪声

x=randn(Ns,1);

t=0:Ns-1;

figure(1)

plot(t,x);

grid on

title('高斯白噪声波形')

xlabel('t')

ylabel('幅值（V）')

x_mean=mean(x) %均值

x_std=std(x) ; %标准差

x_var=x_std.^2 %方差

x_msv=x_var+x_mean.^2 %均方值

%计算高斯白噪声的相关函数

[x_c,lags]=xcorr(x,200,'unbiased');%相关函数figure(2)

plot(lags,x_c);%画出相关函数的图形

title('白噪声的自相关函数')

xlabel('时间：t');

grid on

% 利用pwelch函数计算功率谱

nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1);

k=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(x_c));

[Pxx,f]=pwelch(x_c,window,0,nfft,Fs);

x_Px=Pxx(index+1);

figure(3)

plot(k,x_Px);

grid on

title('白噪声的功率谱')

ylabel(' 幅值（ W / Hz） ');

xlabel('f / Hz')

%求高斯白噪声的一维概率密度

[x_pdf,x1]=ksdensity(x);

figure(4)

plot(x1,x_pdf);%画出高斯白噪声的一维概率密度grid on

xlabel('x')

ylabel('f(x)')

title('白噪声的一维概率密度')

%求高斯白噪声的频谱

f=(0:Ns-1)/Ns*Fs;

X=fft(x);%对高斯白噪声进行傅里叶变换

mag=abs(X); %取信号X的幅度

figure(5)

plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2));%画出白噪声的频谱

grid on

title('白噪声频谱');

ylabel('幅值（V）')

xlabel('f / Hz');

程序2：低通滤波器

%利用双极性Z变换设计0-1kHz低通滤波器

fp=1000;fs=2200;

rp=0.5;rs=50;

wp=2*pi*fp/Fs;

ws=2*pi*fs/Fs;

wap=tan(wp/2);

was=tan(ws/2);

Fs=1;

[N,Wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');%估计所需滤波器的阶数[z,p,k]=buttap(N);

[bp,ap]=zp2tf(z,p,k);

[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wap);

[bz,az]=bilinear(bs,as,Fs/2);

[H,w]=freqz(bz,az,512,Fs*10000);%计算数字滤波器的频率响应figure(6)

plot(w,abs(H));%低通滤波器的频谱

title('低通滤波器的幅频响应')

xlabel('f / Hz')

ylabel('H（w）')

grid on

%白噪声通过滤波器以及通过后y相关参数

y=filter(bz,az,x);%白噪声通过滤波器

y_mean=mean(y) %y的均值

y_std=std(y); %标准差

y_var=y_std.^2 %方差

y_msv=y_var+y_mean.^2

[y_pdf,y1]=ksdensity(y);

figure(7)

plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度

grid on

title('白噪声通过低通滤波器的一维概率密度函数图像');

[y_c,lags1]=xcorr(y,200,'unbiased');%计算y的相关函数figure(8)

plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形

axis([-50,50, -0.1,0.5 ]);

title('白噪声通过低通滤波器的自相关函数') grid on

%计算y的频谱

Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换

magY=abs(Y);

figure(9)

plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2));%画出y的频谱grid on

title('白噪声通过低通滤波器的频谱'); ylabel('幅值（V）')

xlabel('f / Hz');

%y的功率谱

nfft=1024;Fs=10000;

index=0:round(nfft/2-1);

ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(y_c));

[Pyy,fy]=pwelch(y_c,window,0,nfft,Fs);

y_Py=Pyy(index+1);

figure(10)

plot(ky,y_Py);

grid on

title('白噪声通过低通滤波器后的功率谱') ylabel('幅值（W / Hz）')

Xlabel('f /Hz')

程序3：带通滤波器

%产生一个十阶IIR带通滤波器

%通带为1KHz--2KHz，并得到其幅频响应

Fs=100000

[b,a]=ellip(10,0.5,50,[10000,20000]*2/Fs); [H,w]=freqz(b,a,512);

figure(16)

plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

title('带通滤波幅频响应');

% set(gcf,'color','white')

xlabel('f / Hz');

ylabel( 'H(w)');

grid on

%白噪声通过带通滤波器以及通过后y相关参数

y=filter(b,a,x);%白噪声通过带通滤波器

y_mean=mean(y) %y的均值

y_std=std(y); %标准差

y_var=y_std.^2 %方差

y_msv=y_var+y_mean.^2

[y_pdf,y1]=ksdensity(y);

figure(17)

plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度

grid on

title('白噪声通过带通滤波器后一维概率密度函数图像'); [y_c,lags1]=xcorr(y,200,'unbiased');%计算y的相关函数figure(18)

plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形

title('白噪声通过带通滤波器后自相关函数')

grid on

%计算y的频谱

Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换

magY=abs(Y);

figure(19)

plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2));%画出y的频谱

grid on

title('白噪声通过带通滤波器的频谱');

ylabel('幅值（ V ）')

xlabel('f / Hz');

%y的功率谱

nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1);

ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(y_c));

[Pyy,fy]=pwelch(y_c,window,0,nfft,Fs);

y_Py=Pyy(index+1);

figure(20)

plot(ky,y_Py);

grid on

title('白噪声通过带通滤波器后的功率谱')

Xlabel('f / Hz')

ylabel('幅值（W / Hz）')

程序4：微分器

Fs=20000;fp=1000;rp=0.1;fs=5000;rs=30;

wp=2*fp/Fs;ws=2*fs/Fs;

[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);

[Bz,Az]=ellip(N,rp,rs,wpo,'high');

wk=0:pi/512:pi;

[H,w]=freqz(Bz,Az,wk);

Hx=angle(Hz);

figure;

plot(wk,abs(Hz));%grid on;

xlabel('f');ylabel('幅值');

title('系统的频谱');

grid on

h=ifft(H);

x2=conv(h,x);%通过卷积得到x(t)

X2=fft(x2);

cmo=abs(X2);

f2=(0:length(X2)-1)*10000/length(X2);

figure;

plot(f2(1:length(f2)/2),cmo(1:length(f2)/2),'-b'); title('x(t)的频谱');

x2_mean=mean(x2) %均值

x2_std=std(x2); %标准差

x2_var= x2_std.^2 %方差

x2_msv=x2_mean.^2+x2_var %均方值

[a,b]=xcorr(x2,'unbiased'); %计算自相关函数figure;

plot(b,a)

title('x(t)的自相关函数');

grid on;

[n_pdf,n1]=ksdensity(x2); %y的一维概率密度

figure;

plot(n1,n_pdf);

title('x(t)概率密度分布');

grid on;

nfft=1024; %y的功率谱

index=0:round(nfft/2-1);

ky=index.*10000./nfft;

window=boxcar(length(a));

[Pyy,fy]=pwelch(a,window,0,nfft,10000);

y_Py=Pyy(index+1);

figure;

plot(ky,y_Py);

grid on