(完整版)切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
相交弦定 C
OO 中，AB 为直径，CDLABPC = PA- PB.
理的推论
/
于P.
|（特殊情况）|
127
用相交弦定理
切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］ 1. 切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线 上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 （PA 长）
2. 切线长定理
对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等； （2）若已知两条切
线平行，则圆上两个切点的连线为直径；
（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得
4.弦切角定理： 弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。
5. 弄清和圆有关的角： 圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定
7. 与圆有关的比例线段 定理 已知
结论
证法
OO 中，AB CD 为弦，交 PA- PB= PC- PD. 连 结 AC 、 BD ,证： 于 P.
△ APCo A DPB.
到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角 互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
直线AB 切OO 于P , PC PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）
相交弦定
8. 圆幕定理：过一定点P向OO作任一直线，交OO于两
点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数］L「一厂| （R为圆半径），因为--「叫做点对于OO的幕，所
以将上述定理统称为
圆幕定理。
解：由切线长定理知：AF= AB= 1, EF= CE 设CE为x，在Rt △ ADE中，由勾股定理
+巴“丄
A
1_3「
￡)5 = 1--恥二1 + —二一
4=4 4 4
3- = 3
：
5
P T2=PA- PB
PBPD为OO的两条割线，PA- PB= PC- PD
交OO于A C
OO 中，割线PB交OO 于P'C - P'D = r2
A, CD为弦OP'2
PA- PB= OP—r2
r为OO的半径
连结TA、TB ,证：
△PTB^A PAT
过P作PT切OO于T,用
两次切割线定理
（记忆的方法方法）
延长P'O交OO于M延长
OP'交OO于N,用相交弦
定理证；过P作切线用切
割线定理勾股定理证
OO中，PT切OO于T,
割线PB交OO于A
【典型例题】
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线，切点为F,
交CD于E,求DE AE的值。
图
1
44
例2. OO中的两条弦AB与CD相交于E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE=
cm。Array解：由相交弦定理，得
AE- BE= CE- DE
■/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,
DE=CD-CE =1-CE
.6冥2=強(7?6)
… ,
即亡费+12 = 0
/? CE= 3cm或CE= 4cm。
故应填3或4。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则*小:AC2 = $氏
解：???/ P=ZP
/ PAC=Z B,
???△PAC^A PBA
AB _ PB
...疋二7Z,
又??? PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得
M 二刃，FC
AB2_ 阳_ FS
? ^^ _ 円■花-丽
… ,
即乂炉：Q=PC
故应填PCo
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论。
例4.如图3, P是OO外一点，PC切OO于点C, PAB是OO的割线，交OO于A B两点，如果PA: PB= 1 : 4, PC= 12cm OO的半径为10cm 则圆心o到AB的距离是_______________ cm。
解：?/ PC是OO的切线，PAB是OO的割线，且PA: PB= 1 : 4
??? PB= 4PA
又??? PC= 12cm
由切割线定理，得?，-'： _
...1一
???二一二：
?PB= 4X 6= 24 (cm)
?AB= 24 —6 = 18 (cm)
设圆心O到AB距离为d cm,
由勾股定理，得
故应填J」。
例5.如图4, AB为OO的直径，过B点作OO的切线BC, OC交OO于点E, AE的延长线交BC于点D,( 1)求证：占—JU ； (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的长。
证明：（1）连结BE
ED是?0的切线=>Z J4=Z.CBE
OA = OB = Z^= Z10EA 乙
QEA =S EC
FF CB
点悟：要证
HUEDS心EE=> ——=——=> 窗=CB * CD
CD CS
?=> 丄ABD = 90° -
血二2 n O 吕二1 U g = 用门
胆是0沏线 应为直径 (2)
BC = 2
OS = A
又-'-
??? 厘米。
点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。
例6.如图5，AB 为OO 的直径，弦
证明：连结BD, ?/AE 切OO 于 A
???/ EAD=Z ABD
?/ AE! AB 又 AB// CD ? AE! CD
? AB 为OO 的直径
???/ ADB= 90° ???/ E =Z ADB= 90° ? △ AD 0A
BAD
AD DE
药二75 AD 2
= AB* DE
? CD// AB
c n
AD= BC
? AD= BC,
EC 2 = AS* DS
E 。
点悟：由结论
AD- BC= CD- AB 得… --，显然要证厶PAB A PBA 和厶PC SA PBC
证明：?/ PA 切OO 于A ,
???/ PAD=Z PBA 又/ APD=Z BPA ? △ PAD^A PBA ￡ 旳
.? . I ：-： J '
同理可证厶PCD^A PBC
CD PD
? _ / 一一
?/ PA PC 分别切OO 于A 、C ? PA= PC
M
CD
,
=1^p
」
，
? .l< 『I
? AD- BC= DC- AB 求证：BC = 2OE
点悟：由要证结论易想到应证 。丘是厶ABC 的中位线。而 OA= OB 只须证AE = CE, 证明：连结OD ?/ ACL AB AB 为直径
? AC 为OO 的切线，又 DE 切OO 于D ? EA= ED, ODL DE ?/ OB= OD ?/ B =Z ODB 在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°—/B
???/ ODE= 90° 厶DO9IT - ￡ODB ? / C =Z EDC
? ED= EC ? AE = EC
例7.如图6, PA PC 切OO 于A 、C ,
CD- AB
例8.如图7,在直角三角形 ABC 中，/ A = 90°，以 AB 边为直径作O O,交斜边 BC 于点D,过D 点 作OO 的切线交AC 于 E 。
图7