2、向量的数量积不满足消去律,即:由a?b=a? c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b ∣=|a|?|b|?sin〈a,b>;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c。 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
高中数学平面向量doc
专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析
本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:
高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量
高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B
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第一部分:平面向量的概念及线性运算 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则 (或几何 运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算 求 a 与 b 的相反向量- b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律: a+ b= b+ a. (2)结合律: (a+ b)+ c= a+ (b+c). a- b= a+ (- b) 法则 求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|= |λ||a|. ;λ(μa)=λμa; 数乘 (2)当λ>0 时,λa 的方向与 a 的方向 运算当λ<0 时,λa 的方向与 a 的方向;当λ (λ+μ)a=λa+μa; =0 时,λa= 0. λ(a+ b)=λa+λb. 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得 b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说, 即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.
怎样求点到平面的距离
怎样求点到平面的距离 徐加生 在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法,供参考。 一 直接法 根据空间图形的特点和性质,找到垂足的位置,直接向平面引垂线,构造可解的直角三角形求解。 例1. (1998年全国高考题)已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直,32AC ,2BC ,90ABC ==?=∠,且C A AA ,C A AA 1111=⊥;(I )求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小;(II )求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小;(III )求顶点C 到侧面11ABB A 的距离。 图1 简析:(I )如图1,取AC 中点D ,易得侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为?=∠45AD A 1。 (II )由于⊥D A 1底面ABC ,过D 作AB DE ⊥于E ,连E A 1,知AB E A 1⊥,则ED A 1∠为所求二面角的平面角。易求得?=∠60ED A 1。 (III )要求C 到平面11ABB A 的距离,可直接作⊥CH 面11ABB A 于H ,CH 的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH 的长。注意到AB BC ⊥,连BH ,则由三垂线定理得AB HB ⊥,即HBC ∠为二面角的平面角。由(II )知HBC ∠?=60,所以360sin BC CH =?=为所求。 注:此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。 二. 找垂面法 找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到 平面的垂线段。 例2. 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2,侧棱长为3,11C A 的中点为D 。(1)求证//BC 1平面D AB 1;(2)求点B 到平面D AB 1的距离。
高中数学平面向量习题及答案
第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)
高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师
一、 知识清单 1. 极化恒等式:如图,+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则: ①2 +②2 得:AC AD BC AB +=+242 2 22 ;①2-②2 得:AC AD BC AB ?=-4422 推广:AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法:?==-+-a b a b a b 4()()22,=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法:如图,由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ,所以PD PB PA PC +=+2222, 速记方法:矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。 推广1:若ABCD 为平行四边形,则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0,且对于边AB 上任一点P ,恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析:D 为BC 中点,由极化恒等式有:?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时,PB ????? ?PC ????? 最小, 所以过D 作AB 垂线,垂足即为P 0,作AB 中点E ,则CE ⊥AB ,即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量,e 是单位向量. ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围? 解析:由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图,===OA a OB b OE e ,, ,构造矩形ACBE ,由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2,则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇 第三讲:极化恒等式与矩形大法 解析:由极化恒等式有:AB 16推广2:若P 为平面外一点,上述性质仍成立。二、典型例题1.(2019浙江模拟卷)在?ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则A B A ? C =_________. 2.(2019山东模拟)在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点,满足P B AB
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3. 1 定义法求点到平面距离 (3) 3. 2 转化法求点到平面距离 (5) 3. 3 等体积法求点到平面距离 (7) 3.4 利用二面角求点到平面距离 (8) 3. 5 向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1.引言 求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一,也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的,本讲将着重介绍了儿何方法(如体积法,二面角法)、代数方法(如向量法、公式法)及常用数学思维方法(如转化法、最值法)等角度等七种较为典型的求解方法,以达到秒杀得分之功效。 2.预备知识 (1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点向平面。引垂线,垂足为P,则点P'叫 做点〃在平面。上的正射影,简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面。的垂线段。
图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。 (3)四面体的体积公式 V=-Sh 3 其中V表示四面体体积,S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面a与平面“所成的二面角,记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。如图在棱/上任取一点。,过点。分别在平面。及平面”上作/的垂线。4、OB,则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角,匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。在很多时候为了简便叙述,也把匕称作a与平面“所成的二面角。 (7)空间向量内积: 代数定义:设两个向量刁=(而,》1,4),/;=(易况,全),则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量。与片的内积,记作沁,依定义有必。二%工2 +凹)‘2 +4弓
(完整版)高中数学平面向量专题训练
高中数学平面向量专题训练 一、选择题: 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ,则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ,那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量,平行的是 A 、(2,3)a =-r ,(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ,(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ,(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ,(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ,则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ,(5,5)b =-r ,则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ,j r 都是单位向量,则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图,在四边形ABCD 中,设AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r , BC c =u u u r r ,则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ,按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ,则向量a r 是 C B A D
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB 几何表示法 AB ,a ;坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ? |a |=0 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?|0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a =大 小相等,方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==,则a +b =AB BC +=AC (1)a a a =+=+00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
(完整版)高中数学平面向量讲义
专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 (1)向量的基本概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行 ③单位向量:模为1个单位长度的向量 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 (2)向量的加法:设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00;②向量加法满足交换律与结合律; AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”. (3)向量的减法: ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量 ②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差, ③作图法:b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点) (4)实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ)a a ; (Ⅱ)当0 时,λa 的方向与a 的方向相同;当0 时,λ a 的方向与a 的方向相反;当0 时,0 a ,方向是任意的 (5)两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a (6)平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示
高中数学经典解题技巧和方法平面向量
高中数学经典解题技巧:平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧:向量的有关概念及运算要注意以下几点: (1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念,如有遗漏,则会出现错误。 (2)正确理解平面向量的运算律,一定要牢固掌握、理解深刻 (3)用已知向量表示另外一些向量,是用向量解题的基础,除了用向量的加减法、实数与向量乘积外,还要充分利用平面几何的一些定理,充分联系其他知识。 例1:(2010·山东高考理科·T12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的a=(m,n),b p,q)= (,令a ⊙b mq np =-,下面说法错误的是( ) A.若a 与b 共线,则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈,有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ,若a 与b 共线,则有a ⊙b 0mq np =-=,故A 正确;因为b ⊙a pn qm =-,,而a ⊙b mq np =-,所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ,故选项B 错误,故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖,信息量大,是近几年高考的热点题型. 2、基本对策:解答这类问题时,要通过联想类比,仔细分析题目中所提供的命题,找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧:与平面向量数量积有关的问题 1.解决垂直问题:121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2.求长度问题:2||a a a =,特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3.求夹角问题:求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2:1.(2010·湖南高考理科·T4)在Rt ABC ?中,C ∠=90°AC=4,则AB AC ?uu u r uuu r 等于( )