数学的思维方法
数学月刊七月号
数学的思维方法
——教师进修（5）
文学、艺术、政治、宗教、科学等是文化的各个部门，而数学也是文化的一个重要部
分，它对其他文化部门的影响十分深远，数学还是人们认识和改造世界的工具。人类对理性的探索有着一个永恒的主题，这就是认识宇宙，也认识人类自己，在这个探索进程中，数学有着特殊重要的作用，它已渗入各门科学，几乎是物理学、化学、生物学、工程学、建筑学、金融学、经济学，甚至生命科学等所不可缺少的伙伴，它是现代一些科学的语言和工具，伴
随着高科技革命出现了技术数学化和数学技术化，所以有人说：“现代科学迅速发展的一个
决定性步骤是使自己数学化。”伟大的科学家爱因斯坦也曾经说：“这个世界可以由音乐的音
符组成，也可以由数学的符号组成。”数学为何能有如此威力？这主要是独特的数学思维和
数学方法在发挥作用。
第一节数学文化哲学思维
数学追求的是一种完全确定、十分可靠的知识，提供许多自然现象的合理结构。从古
至今研究数学最重要的动力是为了解决由商业和金融事务、历法和航海的计算、教堂、桥梁和宫殿的建造、军事武器和作战工事的设计等人类社会需要提出的种种问题，数学能通过思维和方法的研究，对它们提出最完美、最合理的、科学的解决方法。数学的确是一种创造性
地使用哲学思想的活动、是对人类社会物质文明和精神文明的卓越贡献。反过来，社会的发展和需要也促进了数学文化和数学研究的深入，积累了许多数学经验，发展了数学思维和数学方法。数学文化中的哲学思维就是从人类的一般思维中分化出来的一种科学思维，它的活动形式与一般的科学思维活动形式相同，但数学思维另有自己的特性。通常从思维活动整体规律的角度考察，可以分为逻辑思维（又名抽象思维）、形象思维和直觉思维三种类型。
一、数学思维的特性
数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般
思维规律认识数学内容的内在理性活动。它具有一般思维的根本特征，但又有自己的个性。
主要表现在思维活动方面，是按照客观存在的数学规律的表现方式进行的，即具有数学的特点和操作方式，特别是作为思维载体的数学语言的简练、准确和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向。
数学学习或研究应该看成是数学思维过程和数学思维结果这二者的综合，因而可以说
数学知识是数学思维活动的产物，作为数学知识体现的数学成果具有内容和表现形式的抽象
性、结构的精确性、推理和结构的严谨的逻辑性，以及其结果在生产、生活和科研文化领域中应用的广泛性等特征。数学思维的主要特性就是概括性、问题性、相似性。
1．数学思维的概括性
概括是在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联
系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这样事物的普遍概念，这个过程是由个别到一般的过程。
数学思维的概括是由于数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质
物征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。思维的概括性还在于它的迁移性，就是使主体不仅能从部分事物相互联系的事实中推知普遍的与必然的联系，而且能将这种联系推广
到同类现象中去，即应用已知的数学关系去解决有关问题。数学思维的概括性与数学知识的
抽象性是互为表里、互为因果的。概括水平能够反映思维活动的速度、广度、深度、灵活性
迁移的程度及创造程度，因此提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要策略。数
学思维模式的形成，数学思维方法的获得是数学思维概括性的表现。
2．数学思维的问题性
数学思维的问题是与数学知识的问题性相联结的。数学的起源和发展是由问题引起的。
古代结绳计数是为了解决生产与生活用品的多少问题，我国秦汉时期的数学著作《周髀算经》和《九章算术》就是当时的数学家解决实际应用问题成果的汇集。萌芽于古埃及的几何学，
也是从解决尼罗河流域的土地测量问题而产生，以后在古希腊发展起来的。由于数学思维就是解决数学问题的心智活动，数学思维总是指向于问题的变换，表现为不断的提出问题，研究分析问题和解决问题，而使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征的关系结构的目的，进而形成数学文化。因此问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程；
数学问题的推广、引伸和应用过程是新的数学问题发现、解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程，也是数学文化的发展过程。
3．数学思维的相似性
数学思维的相似是思维相似律的数学思维活动中的反映。数学思维的相似性是普遍存
在的一个重要特性，特别是在创造思维活动中发挥着积极促进作用。在数学科学发展史上，
数学知识的发现存在着相似现象，例如我国数学家秦九韶和外国数学家海伦先后独立地发现
了三角形的面积公式，数学家牛顿和莱布尼兹几乎同时独立地发现了微分方法。数学的发展就其思维活动的规律而言，是对各种数学模式的探求。解决数学问题的根本思想在于寻求客
观事物的数学关系和结构的模式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用模式去处理类似问题，并进而形成新模式，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链。数学思维的
相似性是对数学问题以及问题本身的条件与结论之间同与异这些矛盾的分析与转化。
数学思维的三个特性是相互联结的。概括性、相似性寓于问题性之中，概括性是问题性和相似性的基础，相似性是概括和问题性本身及相互间的联系。我们应自觉的对它们加以运用。
（未完，下期待续）
小学数学思维方法有哪些
小学数学思想方法有哪些 《课标》（修订稿）把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 “基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。演绎和归纳不是矛盾的，其教学也不是矛盾的，通过归纳来预测结果，然后通过演绎来验证结果。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但它们是个案，不具有一般性。作为一种思想来掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是大的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。 史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。 借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。 一、什么是小学数学思想方法 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。 所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。 二、小学数学思想方法有哪些？
初中数学思维方法
初中数学思维方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法
数学思维方法有哪些
数学思维方法有哪些 一、形象思维方法 形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具 体形象，并从具体形象展开来的思维过程。 形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以 个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提 示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中 提高自身的思维能力。 1.实物演示法 利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间 的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。 这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。 通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维 方向。再如，在一个圆形(方形)水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果 要好得多。 二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用 三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组 合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。 特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。 所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教(学)具，而且这些教(学)具用过 后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习 成绩。 绩。 2.图示法 借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。
小学数学八大思维方法
小学数学八大思维方法 目录 一、逆向思维方法 二、对应思维方法 三、假设思维方法 四、转化思维方法 五、消元思维方法 六、发散思维方法 七、联想思维方法 八、量不变思维方法 一、逆向思维方法 小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。 逆向思维与顺向思维是训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果，
解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。 列式计算为： 此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨1吨面粉 序是一致的。 如果从逆向思维的角度来分析，可以形成另外两种解法： ①不着眼于先求1吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于1吨小麦可磨多少
列式计算为： 由此，可得出下列算式： 答：（同上） 掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。 二、对应思维方法 对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。对应思维包含一般对应和量率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。 例1 小红有7个三角，小明有5个三角，小红比小明多几个三角？
这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的5个三角，而没有虚线的2个，正是小红比小明多的三角。 一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。 这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。 在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这是因为在较复杂的应用题里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数量与分率（或倍数）的对应关系上，正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。 这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题
最有用的17个数学思维方法
最有用的17个数学“思想方法”比做1千道题更实用 数学基础打得好，对孩子的学习有较大帮助。但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。 1.对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2.假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3.比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4.符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5.类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6.转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7.分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 8.集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采
数学思维方法：化零为整巧解题
数学思维方法：化零为整巧解题 生活中的数学无所不在，如何才能更好的训练孩子的数学思维呢?接下来，跟你分享的6个数学思维方法。 我们在平时学习的知识一般都是分层次、分内容的较零散的知识形式，在解答应用题时，就会将我们学习掌握的知识逐个知识点从储存的大脑中调出来分内使用。但是，有些题若按常规方法来解答不太容易，也比较麻烦，这时我们可以将思维方法转换一下，把问题看作一个整体，这样解题效果特别好。这种解决问题的的思维方法叫做集零为整法，或称为整体思维。 例1、有五个数的平均数是7;如把其中一个数改为9后，这五个数的平均数则为8。改动的那个数原来是多少? [解题思路]： 你可能读了题目之后，想知道五个数各是多少，这显然是没有必要的。这道题的解答应该从整体去考虑，改动后的五个数的总和比原来增加： 8×5-7×5=5 那么，什么数“增加5”后变为9呢?这就太简单了，一年级的小朋友都会做。 解：根据分析，列综合算式为： 9-(8×5-7×5)=4
答：改动后的那个数是4。 例2、设有四个数，其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求这四个数。 [解题思路]： 此题按常规的解题习惯，须分别设四个未知数，然后列出四个方程，这样就出现了很大的难度，我们小学没学过方程组。如把四个数之和作为整体x,则可列出简易方程求解。 解：设四个数之和为x,则四个数为x-22、x-20、x-17、x-25，由题意可得 (x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x 解得x=28 所以，四个数依次为8、3、6、11。 请你试用集零为整的思维方法解答下面的题： 任意调换五位数12345的各位数上数字的位置，所得五位数中质数的个数有多少个? 数学思维方法(2);;巧在变更豁然开朗某山区农民收获了很多花椒，拿到集贸市场去卖，但销路不好，其原因是包装不吸引人。后来他们重新设计了一种漂亮、新颖的包装，很快就打开了销路。 这个例子说明了由于变更了花椒的包装，使得山区农民获得了可观的经济效益。 解数学题也要这样考虑，把问题进行适当的变更来达到化难为易，化繁为简的目的，从而达到顺利解决问题的目的，这种解决问题
小学数学中常见的数学思想方法有哪些.
小学数学中常见的数学思想方法有哪些？ 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化
及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
小学数学的思维方法和教学方法
小学数学的思维方法和教学方法 良好的方法能使我们更好地发挥运用天赋的才能，而拙劣的方法则可能阻碍才能的发挥。------[英]贝尔纳 “数学为其他科学提供了语言、思想和方法”，初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题。对于小学数学的教学，很多老师都会觉得有困难，但这里面其实有许多方法可以适用，下面就让小编给大家分享一些小学数学教学方法知识吧，希望能对你有帮助! 小学数学思维方法 一、形象思维方法 形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。 形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能
力。 1、实物演示法 页 1 第 利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。 这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。再如，在一个圆形(方形)水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果要好得多。 二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。 特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。 所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教(学)具，而且这些教(学)具用过后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习成绩。
常见的数学思想方法
x y 2= 常见的数学思想方法 一、中考考点： 1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。 2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。 3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。 二、基础练习： （一）整体思想 1.如果代数式 1322+-x x 的值为2， 那么代数式x x 322 -的值等于( )A ．2 1 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定 （二）方程思想 的图象在第一象限内的交点， 3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数 点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2 2 C ．2 D ．22 （三）数形结合思想 4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________． 5.函数)0(≠= k x k y 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（ ） （四）化归思想 6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值） 7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ． 8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________． （五）数学建模思想 9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号） （六）函数思想 10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生 产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式； （2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）； （3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大最大利润是多少 （七）统计思想 11．某地区有一条长100千米,宽千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球
如何培养数学思维方式
如何培养数学思维方式 在学习中进行发散性思维的训练，不仅要尽可能多掌握解题方法，更重要的是要培养自己灵活多变的解题思维，思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性。 一、训练自己思维的积极性。 思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的积极性是培养发散思维极其重要的基础。例如：在一年级《乘法初步认识》一课中，可先出示几道连加算式改写为乘法算式。而后，出示3+3+3+3+2，思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢?如3+3+3+3+2=3×5-1=3×4+2=2×7……费时多，但这样的训练却有效地激发了寻求新方法的积极情绪。在学习中还可经常利用“障碍性引入”、“冲突性引入”、“问题性引入”、“趣味性引入”等教学方法，以激发学生对新知识、新方法的探知思维活动，这有利于激发自己的学习动机和求知欲。 二、转换角度思考，训练思维的求异性。 从认知心理学的角度来看，在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已有的思维方向，也就是说个体(乃至于群体)的思维定势往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。所以要培养与发展自己的抽象思维能力，必须十分注意培养思维求异性。例如，四则运算之间是有其内在联系的：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系。当加数相同时，加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法。加减、乘除、加乘之间都有内在的联系。如189-7可以连续减多少个7?应变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道题可以看作189里包含几个7，问题就迎刃而解了。这样的训练，既防止了片面、孤立、静止地看问题，使所学知识有所升华，又进行了求异性思维训练。我们习惯于顺向思维，而不习惯于逆向思维。在应用题教学中，分析题意时，一方面可以从问题入手，推导出解题的思路;另一方面也可以从条件入手，一步一步归纳出解题的方法。 三、一题多解、变式引伸，训练思维的广阔性。 思维的广阔性是发散思维的又一特征。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪思维，开拓解题思路，在此基础上通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。 四、转化思想，训练思维的联想性。 联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志。联想思维的过程是由此及彼，由表及里。通过广阔思维的训练，思维可达到一定广度，而通过联想思维的训练，思维可达到一定深度。例如有些题目，从叙述的事情上看，不是工程问题，但题目特点确与工程问题相同，因此可用工程问题的解题思路去分析、解答。在进行多种解题思路的讨论时，有的解法需要用数学转化思想，才能使解题思路简捷，既达到一题多解的效果，又训练了思路转化的思想。“转化思想”作为一种重要的数学思想，在应用题解题中，用转化方法，迁移
数学思维方法
数学思维方法 第一节数学思维和思维过程 一、数学思维及其类型 1.思维概述 思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。思维是人类所特有的一种高级的心理活动。 2.思维的特征 数学思维的特征主要是概括性、间接性、目的性、问题性和复合性。 （1）概括性。思维能认识事物的本质及其内在规律性，主要来自抽象和概括，即思维是概括的反映，所以思维最显著的特点是概括性。概括是思维活动的速度、灵活迁移程度、广度和深度等智力品质的基础。 （2）间接性。思维是凭借知识经验对客观事物进行的间接的反映。间接性表现在能对没有直接作用于感知的事物的属性或联系加以反映，能对根本不能直接感知的事物及其属性或联系进行反映；能在对现实事物认识的基础上假设、想象等。
（3）目的性。思维具有目的性，是指思维具有解决问题或获得结果的能动性。人只有在客观实践活动中面临新的问题，新的活动要求和新的情况下，才可能进行思维。 思维的特性还包括广阔性、层次性、逻辑性、产生性等。 3.思维的分类 根据思维活动的目的性差异，思维有不同形式的分类。 （1）根据思维的抽象程度。思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象逻辑思维。 （2）根据思维的目的性。思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。上升性思维是依靠比较、分析、抽象等方法，从对事物的个性向共性的认识过程；求解性思维指解决具体问题的思维；决策性思维是以规范未来的实验过程和预测其效果为中心内容的思维活动。三种思维相互联系、彼此渗透，同时又是一个不断深化和发展的过程。 （3）根据思维的智力品质。思维可分为再现性思维和创造性思维。再现性思维是一般的思维活动，它是指对已有知识的再现，或将已有知
初中数学思想方法主要有哪些
初中数学思想方法主要有哪些 初中数学中蕴含的数学思想很多,其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等.基本方法主要指待定系数法、消元法、配方法、换元法、图象法等。由于数学方法在教材中大都有具体陈述,而数学思想却是隐含在知识系统之中,这为强化数学思想方法带来了一定困难。为此,下面我想谈谈转化、分类讨论、数形结合等数学思想在初中数学中的表现。 1、转化思想 所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维 方式。转化思想是数学思想方法的核心,其它数学思想方法都是转化的手段或策略。初中数学中运用转化思想具体表现在以下三个方面:(l)把新问题转化为原来研究过的问题,如有理数减法转化为加法,除法转化为乘法等(2)把复杂的问题转化为简单的问题,新问题用已有的方法不能或难以解决时,建立新的研究方式如引进负数,建立数轴;变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程,等等。 2、分类讨论思想 所谓分类讨论是指对于复杂的对象,为了研究的需要,根据对象本质属性 的相同点和差异性,将对象区分为不同种类,通过研究各类对象的性质,从而 认识整体的性质的思想方式。在分类讨论中要注意标准的同一性,即划分始终 是同一个标准,这个标准必须是科学合理的;分域的互斥性,即所分成的各类 既要互不包含,又要使各类总和等于讨论的全集;分域的逐级性,有的问题分 类后还可在每类中继续分类。运用分类讨论思想指导数学教学,有利于学生归纳、总结所学的数学知识,使之系统化、条理化,并逐步形成一个完整的知识结构网
络,这有利于学生严密、清晰、合理地探索解题思路,提高数学思维能力。在初中数学中需要分类讨沦的问题主要表现三个方面:(1)有的数学概念、定理的论证包含多种情况,这类问题需要分类讨论。如平面几何中三角形的分类、四边形的分类、角的分类、圆周角定理、弦切角定理等的证明,都涉及到分类讨论;(2)解含字母参数或绝对值符号的方程、不等式,讨论二次函数中二次项系数与图象的开口方向等,由于这些参数的取值不同或要去掉绝对值符号就有不同的结果,这类问题就需要分类讨论;(3)有的数学问题,虽结论惟一但导致这结论的前提不尽相同,这类问题也要分类讨论。 3、数形结合思想 所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来,从而实现由抽象向具体转化的一种思维方式。著名数学家华罗庚说过:“数缺形时不直观,形少数时难入微”。有些数最关系,借助于图形的性质,可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化;而图形的一些性质,借助于数量的计算和分析得以严谨化。在初中阶段,数形结合的“形”可以是数轴、函数的图象和几何图形等等,它们都具有形象化的特点。数形结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面:(l)以形助数,帮助学生深刻理解数学概念如教师可以用数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数、绝对值的概念以及比较两个数大小的方法;运用函数图象的性质讨沦一元二次方程的根以及讨论一元一次不等式等等;(2)以数助形,帮助学生简化解题方法。 4、函数与方程思想 函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题.函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映.函数与方程思想的本质是变量之间的对应,即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来,然后用函数的性质进行研究,从而使问题获得解决.如果函数的形式用解析式的方式表示,那么就可以将函数解析式看作方程,并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决,这就是方程思想.
尔雅数学思维方式与创新答案
集合得划分（一)已完成 1 数学得整数集合用什么字母表示？ Ａ、N B、M Ｃ、Z D、W 我得答案:Ｃ 2 时间长河中得所有日记组成得集合与数学整数集合中得数字就是什么对应关系？ A、交叉对应 B、一一对应 C、二一对应 D、一二对应 我得答案:B 3 分析数学中得微积分就是谁创立得？ A、柏拉图 Ｂ、康托 C、笛卡尔 D、牛顿-莱布尼茨 我得答案：D 4 黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有多少条直线与已知直线平行？ A、没有直线 Ｂ、一条 C、至少2条 D、无数条 我得答案：A ５ 最先将微积分发表出来得人就是 A、牛顿 Ｂ、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我得答案:D ６ 最先得出微积分结论得人就是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我得答案:Ａ 7
第一个被提出得非欧几何学就是 Ａ、欧氏几何 B、罗氏几何 C、黎曼几何 Ｄ、解析几何 我得答案:B ８ 代数中五次方程及五次以上方程得解就是可以用求根公式求得得。我得答案:× 9 数学思维方式得五个重要环节：观察—抽象—探索－猜测-论证。我得答案：√ 10 在今天，牛顿与莱布尼茨被誉为发明微积分得两个独立作者. 我得答案:√ 集合得划分(二）已完成 1 星期日用数学集合得方法表示就是什么？ Ａ、{6R|R∈Z} B、｛7R｜R∈Ｎ｝ Ｃ、｛５R｜R∈Z｝ D、{7Ｒ｜R∈Z｝ 我得答案:Ｄ 2 将日期集合里星期一到星期日得七个集合求并集能到什么集合? A、自然数集 B、小数集 C、整数集 D、无理数集 我得答案:C 3 在星期集合得例子中,ａ，ｂ属于同一个子集得充要条件就是什么？ A、a与ｂ被６除以后余数相同 B、a与b被7除以后余数相同 C、a与b被7乘以后积相同 D、ａ与b被整数乘以后积相同 我得答案：B 4 集合得性质不包括 A、确定性 Ｂ、互异性 Ｃ、无序性 D、封闭性 我得答案:D
比较的数学思维方法
比较的数学思维方法 一般说来，人们认识事物是从区分事物开始的，要区分事物，首先要进行比较，有比较才能鉴别．比较是一种判断性的思维活动，是确定所研究的对象的相同和差异的一种逻辑方法．自然界千变万化，各种事物千差万别，千姿百态．但是，自然界的每一事物都是在同其他事物的相互联系中表现出自己的许多属性．在这些属性中，它们既有相同的属性，也有相异的属性，人们只有把握这些相同点和相异点才能对事物有所认识． 在思维活动中，比较这一判断性思维，可分“比”和“较”两个方面．“比”的目的在于划分对象的相同点，即比其相同；而“较”的目的在于找出对象的差异点，即“较”其相异．在抽象思维过程中，这两个方面共同存在着，在“比”的同时，就完成了“较”的任务，进行着抽象的肯定和否定．比较是分析与综合，抽象与概括不可缺少的条件，比较是按一定的步骤进行的，比较的种类很多．本章所讲整式中的同类项的比较，是指内容属一同范畴的对象的比较．比较法作为基本的思维方法之一，在科学研究或教学中都有着广泛的应用．合并同类项正是比较法的一种应用． 怎样认识同类项？数学中规定：字母相同、并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类项．比如3x与－x，3a2b3c与－a2b3c是同类项．其实，这里所说的“字母”，并不仅指单个字母，比如3(p－q)与－(p－q)也可以看作同类项，因为只要把p－q看作一个字母x，那么3(p－q)与－(p－q)就成为3x与－x． 同类项的合并，生活中也有不少类似的事例．例如，数一堆硬币时，人们总是把面值为5分、2分、1分的分别归类，这就是用合并同类项的方法算币值． 如果把合并同类项的过程，逆过来看，比如3a＋5a＝(3＋5)a写成(3＋5)a＝3a＋5a．就可以看出，合并同类项法则是由乘法分配律推导得出的．
初中数学中的主要数学思想方法
初中数学中的主要数学思想方法 初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等． (1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题． 初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．
(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用． 譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度． (3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、
幼儿数学思维训练方法
幼儿数学思维训练方法 本文适合幼儿园大班以上孩子的家长尤其是小学生家长阅读， 数学能力有两个方面，一个是运算能力，一个是思维能力。 运算能力是一种低级能力。强调记忆、熟练度（复杂运算需要一些技巧）， 思维能力是一种高级能力，强调借助抽象的数字符号、概念进行思考与推理。 运算能力对于小学生来说也比较重要，这个话题以后再谈，今天先谈思维能力的培养。 数学思维的基本功是数数。每个数的音、形、义要弄清楚，不是从1数到9就可以了，还要知道每个数字对应的具体数量。 数数这关过后，就可以进入加法的学习。 对成人来说，我们看到“3+5=8”这个等式，结合我们的生活经验，很容易把这个抽象的等式具体化为：三个XX加上五个XX是八个XX 而进一步具体化则会得到： 三个香蕉加上五个香蕉是八个香蕉 ?三匹马加上五匹马是八匹马 ?三只猴子加上五只猴子是八只猴子 如果把数字进行替换，如：5+6=11。便可以生成无数的具体表达。 数学符号的意义就是把无限的具体事物进行高度概括。虽然看起来抽象，来源却是具体的。 而数学思维，就是把各种具体事物及其关系，用抽象的数字符号表达出来。 锻炼孩子的思维其实并不难。孩子们平时做的数学应用题本质就是一种数学思维训练。 家长可根据上述原理，有意识的自编应用题，来训练孩子的数学思维，比如： ?三只猴子加上两只两只猴子，是多少只猴子？ ?笼里有三只猴，又来两只，共几只？（虽没提到“加”这个词，但暗含了这个思维） ?我有两支笔，张阿姨又给了我三只，我现在有几只？ ?蜘蛛有八条腿，蜈蚣有100条腿，一共有多少条腿？ ?我早上走了十分钟，晚上走了二十分钟，一共走了多长时间？
《数学思维方法》题库
小教101班数学思维方法题库 一、选择题： 1、以下说法正确的是：（）见课本P.97~98 A．专注与灵感是创造性思维的主要标志。 B．发散性思维与收敛性思维结合是创造性思维的基本图式。 C．积极的创造是创造性思维的重要环节。 D．创见性与新颖性是创造性思维的重要特点。 答案：B 2、下列关于数学概念之间的关系的说法中错误的是（） A最小的质数与最小的正偶数这两个概念是同一关系 B平行四边形与长方形这两个概念是从属关系 C等腰梯形与直角梯形这两个概念是矛盾关系 D等腰三角形与直角三角形这两个概念是交叉关系 答案：C。（分值：3分） 解释：C选项的说法是错误的，等腰梯形与直角梯形的外延互相排斥，尽管它们都包含于梯形的概念之中，它们是对立关系而不是矛盾关系。A选项正确，最小的质数和最小的正偶数均为2，这两个概念的外延相同，为同一关系；B选项正确，平行四边形包含长方形，长方形属于平行四边形的一种，二者为从属关系；D选项正确，等腰直角三角形就是等腰三角形和直角三角形这两个概念的重合，二者为交叉关系。 3、分析法与综合法的区别在于 A.分析法、综合法——已知到未知 B. 分析法——已知到未知、综合法——未知到已知 C.分析法、综合法——未知到已知 D. 分析法——未知到已知、综合法——已知到未知 答案：D 4、选择题:在△ABC中,求cosA+ cosB+ cosC的最大值( ) A.3 B. 2 C. 1.5 D. 1 参考答案: 解题思路（直觉思维）：可以从三角形内角和与三角函数值的角度直觉的猜得，即A=B=C=60°时可取得最大值1.5。 4x-4 x≤ 1 5、f (x)={ 求与g(x)=log2X的交点数量（） x^2-4x +3 x>1 A. 1 B.2 C. 3 D.4
数学思维方法
第一章数学思想方法概述 1．数学思维方法将思维、数学思维、数学发展中的发现、发明、创新的思维过程作为自己的研究对象。 2．思维是人脑借助于语言对客观事物的本质及其规律的间接与概括的反映。3．思维的特征：方向性，概括性、间接性 4．数学思想方法的两个源头：欧几里得《几何原本》和古代中国《九章算术》5．数学思想方法的发展概述： ①从算术到代数是数学思想方法的一次重大发展。 ②从综合几何到代数几何是数学思想的一次质的飞跃。 ③从常量数学到变量数学是数学思想方法的一次根本变革。 ④从必然数学到或然数学是数学思想方法的一次深刻变革。 ⑤从明晰数学到模糊数学是数学思想方法的一次辩证演变 6．数学思维：人脑在和数学对象交互作用的过程中，运用特殊的数学符号语言以抽象和概括为特点，对客观事物按照数学自身的形式或规律做出的间接概括的反映。 数学思维是由数学对象，并且主要是由数学问题推动发展的。 数学思维的过程就是不断提出问题和解决问题的过程。 7．数学思维简单地分为：具体实践问题的数学化思维，具体数学问题的解题思维8．数学思维的特征：高度抽象性，形式化的严谨性，表现方式的多样性 9．数学思维方法是由数学的符号、概念、语言，按照数学特定的规律、法则，运用数学思维在数学领域中形成的一种方法。 10．数学思维方法分类: ①按照使用范围不同：宏观数学方法,微观数学方法
②按照逻辑形式不同：逻辑思维方法，非逻辑思维方法 ③按照解决问题的方式不同：程式化思维方法，发现性思维方法（带有个人特性， 主观色彩，独立特性） ④按照阶段或数学分支领域的不同，可以分为不同的带有专业特征的思维方法11．数学思维方法的研究和发展与以下三个方面相联系—— ①数学思维方法研究紧紧跟随和运用数学方法论的内容 ②数学思维方法的教学，不仅强调数学方法具有的方法论的意义，还强调说明在 这些数学方法中，数学思维活动的积极意义 ③数学思维方法的教育内容，更应该与非逻辑思维、创造性思维相联系 12．数学思维方法的层次性：哲学，一般方法论，数学某分支，初等数学 13．在现代数学教育中，数学思维的教学有三方面的意义： ①数学思维的教学可以培养人对数学观念、数学思想、数学理论的广泛理解。 ②数学思维的教学可以使人们在处理问题是迅速抓住事物本质，从而找到解决问 题的方法。 ③数学思维的教学可以使人们形成良好的思维习惯，增强人们在处理问题时的应 变能力。 14．在中小学教育中，要通过“数学常识”和“数学思维能力”的组合来培养“数学智力” 15．中小学的数学素养：懂得数学的价值，对自己的数学能力有信心，有解决数学问题的能力，学会数学交流，学会数学的思维方法。 16．从数学教育的角度分析有关数学思维方法的学习，我们应该明确一下三个方面的问题：
数学的思维方法
数学月刊七月号 数学的思维方法 ——教师进修（5） 文学、艺术、政治、宗教、科学等是文化的各个部门，而数学也是文化的一个重要部 分，它对其他文化部门的影响十分深远，数学还是人们认识和改造世界的工具。人类对理性的探索有着一个永恒的主题，这就是认识宇宙，也认识人类自己，在这个探索进程中，数学有着特殊重要的作用，它已渗入各门科学，几乎是物理学、化学、生物学、工程学、建筑学、金融学、经济学，甚至生命科学等所不可缺少的伙伴，它是现代一些科学的语言和工具，伴 随着高科技革命出现了技术数学化和数学技术化，所以有人说：“现代科学迅速发展的一个 决定性步骤是使自己数学化。”伟大的科学家爱因斯坦也曾经说：“这个世界可以由音乐的音 符组成，也可以由数学的符号组成。”数学为何能有如此威力？这主要是独特的数学思维和 数学方法在发挥作用。 第一节数学文化哲学思维 数学追求的是一种完全确定、十分可靠的知识，提供许多自然现象的合理结构。从古 至今研究数学最重要的动力是为了解决由商业和金融事务、历法和航海的计算、教堂、桥梁和宫殿的建造、军事武器和作战工事的设计等人类社会需要提出的种种问题，数学能通过思维和方法的研究，对它们提出最完美、最合理的、科学的解决方法。数学的确是一种创造性 地使用哲学思想的活动、是对人类社会物质文明和精神文明的卓越贡献。反过来，社会的发展和需要也促进了数学文化和数学研究的深入，积累了许多数学经验，发展了数学思维和数学方法。数学文化中的哲学思维就是从人类的一般思维中分化出来的一种科学思维，它的活动形式与一般的科学思维活动形式相同，但数学思维另有自己的特性。通常从思维活动整体规律的角度考察，可以分为逻辑思维（又名抽象思维）、形象思维和直觉思维三种类型。 一、数学思维的特性 数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般 思维规律认识数学内容的内在理性活动。它具有一般思维的根本特征，但又有自己的个性。 主要表现在思维活动方面，是按照客观存在的数学规律的表现方式进行的，即具有数学的特点和操作方式，特别是作为思维载体的数学语言的简练、准确和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向。 数学学习或研究应该看成是数学思维过程和数学思维结果这二者的综合，因而可以说 数学知识是数学思维活动的产物，作为数学知识体现的数学成果具有内容和表现形式的抽象 性、结构的精确性、推理和结构的严谨的逻辑性，以及其结果在生产、生活和科研文化领域中应用的广泛性等特征。数学思维的主要特性就是概括性、问题性、相似性。 1．数学思维的概括性 概括是在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联 系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这样事物的普遍概念，这个过程是由个别到一般的过程。 数学思维的概括是由于数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质 物征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。思维的概括性还在于它的迁移性，就是使主体不仅能从部分事物相互联系的事实中推知普遍的与必然的联系，而且能将这种联系推广 到同类现象中去，即应用已知的数学关系去解决有关问题。数学思维的概括性与数学知识的 抽象性是互为表里、互为因果的。概括水平能够反映思维活动的速度、广度、深度、灵活性 迁移的程度及创造程度，因此提高主体的数学概括水平是发展数学思维能力的重要策略。数