最新抽样调查教案-6系统抽样

抽样调查教案-6系统

抽样

第6章 系统抽样

§6.1 引言

6.1.1定义

定义6.1 /6.2系统抽样（systematic sampling ）又称为等距抽样、机械抽样。按照这种抽样方法，从总体中抽取第一个样本点（随机起点），然后按某种固定的顺序和规律依次抽取其余的样本点，最终构成样本。这种抽样被称为系统抽样是因为这种抽样的第一个样本点虽然随机，但其余样本点的抽取看起来好像不再随机，因而是系统的。“牵一发而动全身”。比如要对居民用户抽样，可按户口册每隔多少户抽一户；工厂为检查产品质量，在连续的生产线上每隔20分钟抽选一个或若干个样品进行检查；农业上为估计农作物产量或病虫危害，对一大片农田每隔一定距离抽取一块进行实际测量或调查，等等。 本章只作简单方法介绍。更多内容参见文献2、文献3。 6.1.2系统抽样的一般方法 定义6.3 直线等距抽样

假设总体单元数为N ，样本容量为n ，N 为n 的整数倍。把总体单元排列成一直线。先计算出系统抽样间隔n N k ，（当N 不是n 的整数倍时，可令k 等

于最接近的整数）。然后在第一阶段1～k 个单元中随机抽取一个单元，假设为r ，然后每隔k 个单元抽取一个单元，即分别为：r +k ，r +2k ，…….，直至抽取了n 个单元。抽取的样本编号为：r+(j-1)k (j=1，2，…，n )。 1 2 … r ……k k +1 k +2 … k +r ……2k 2k +1 2k +2 … 2k +r ……3k … … … … …… …

例如某学院有200个学生，要抽取10个学生作为样本。首先计算n

N

k =＝20，然后在1～20中随机抽取一个数字，假设抽中排列中第3位的学生，则其它入样单元依次为23，43，63，83，103，123，143，163，183。 定义6.4 圆形等距抽样（Lahiri ）

这种方法主要适用于n N k =不为整数时。因为当k 不为整数，取其最接近的

整数时，实际样本容量可能与n 相差1，而且每个单元入样的概率不等，这时用直线等距抽样可能产生偏倚。

例：设总体N ＝10，其标志值分别为1210,,

,Y Y Y ，总体均值为

10

1

110i Y Y =∑。若要求样本容量为n ＝3，采用直线等距抽样，验证样本均值是否

为总体均值的无偏估计？

解：先计算间距n N k =＝10/3＝3.33….，取k ＝3，在1～3中取一个随机

起点，然后每隔3个单元抽取1个单元可得下列的可能样本：

三个可能的系统抽样样本均值分别为：

()114710/4sy y Y Y Y Y =+++，()2258/3sy y Y Y Y =++，()3369/3sy y Y Y Y =++

k k k

k +r 2k +r (n -1)k +r

r k

(k 为抽取间隔)

所有()sy E y ＝()1231

3

sy sy sy y y y ++Y ≠，因此样本均值不是总体均值的无偏估计。

在这种情况下，样本均值将不等于总体均值，因而估计不是无偏的。为了使得样本均值是总体均值无偏估计，将N 个总体单元排成首尾相接的一个圆。抽样间距k 取最接近n N 的整数，从1——N 中随机抽取一个随机起点作为起

始单元，然后每隔k 个抽取一个，直到抽取n 个为止。如果序号大于N 时，将其减去N 得到的在1——N 中的号码入选。

正是因为排列为圆形而非直线且随机起点在1～N 中而非在1～[k ](或[k ]+1)中，导致了该抽样下的每个样本严格等概率地被抽中，因而估计是无偏的。

若是圆形等距抽样，则在1～10中抽取一个随机起点，假设为7，然后每隔3个单元取一个，它们的序号是7、10、13。事实上是7Y 、10Y 、3Y 入样。 考虑到实际问题中，n 通常比较大（大于等与50），多一个少一个并无关宏旨，因此可以不必考虑N /n 不是整数的影响，故通常我们都假定N 是n 的整数倍。

3 不等概率抽样法

不等概率抽样中每个单元入样的概率不相等。最简单也是最常用的是PS π系统抽样，即入样的概率i π与单元规模大小i M 成比例的系统抽样。令

∑=N

i M M 1

0表示所有单元规模大小总和，则0

M M n

i

i =π（包含概率，见不放回不等概率抽样）。

在实际中，不等概率的实施常采用代码法。如下所示：

先将单元规模i M （不失一般性，设其为整数）值累加，欲从总体中抽取容量为n 的样本，取最接近

n

M 0

的整数k 为抽样间距，从[1，k ]中随机抽取一个整数r 作为起点，则代码r ，r +k ，…，r +(n -1)k 所对应的单元入样。

例7.1 设总体由10个行政村组成，N ＝10，每个行政村人数为i M ，见表7.1。利用PS π系统抽样抽取n ＝3个行政村样本。

表7.1 用PS π系统抽样抽取行政村

0/623k M n ==，从1～623中抽取一整数，例如是100r =，则100r =，

723r k +=，21346r k +=所对应的行政村入样，其序号分别为1、4、8。 这种方法，当所有单元规模k M i <时，每个单元不可能重复，是一种不重复抽样；当k M k i 2<<时（超过抽样间隔），第i 个单元为必然被抽中单元，且有可能重复抽中；当k M i 2>，第i 个单元为必然被重复抽中。实际中应尽量避免这种重复抽中现象。一种简单的方法就是把这种大规模单元作为必然调查

单元，不再列入抽样总体，另一种方法是将大规模单元划分为几个小规模单元。

6.1.3总体单元排序

1 按无关标志排序，如调查学生视力，按学号排列，显然视力与学号没有关系

2 按有关标志排序调查身高时，按入校体检的身高顺序排列

3 介于以上两者之间

6.1.4系统抽样的优缺点

优点：系统抽样是实际中常用的一种抽样方法，

1其简单易行，只要确定起点和间距，便于推广

2便于利用已知信息，系统抽样的误差大小与总体单元的排列顺序有关，因此当对总体的结构有一定的认识了解，并有相关的标志可以利用时，可以运用已知的信息先对总体单元进行排列，再采用系统抽样，就能提高系统抽样的效率。

但缺点也很明显：

1 方差复杂，难以估计

2 如果单元排列存在周期性，而抽样者缺乏对此了解，则很容易抽取出的样本代表性很差。例如，要调查70路每天的客流量，采用系统抽样，每周取一天，即每隔7天抽取一次。不管取了星期一到星期五，还是星期六到星期日中的哪天作为起点，样本代表性都很差。

6.1.5系统抽样与整群抽样和分层抽样的关系

系统抽样可以看作特殊的整群抽样和分层抽样

表6-1 系统抽样的总体单元

见下表6-1，如果将每一行单元视为一个群，则总体由k 个群组成，每个群规模大小都为n 。系统抽样从11Y ，21Y ，…，1k Y 中任选一个，被选中的单元所在行的所有单元就构成系统抽样的样本。显然每个群都是可能的样本。因此系统抽样可以看成从k 个群中随机抽取1个群的整群抽样。

同样将每一列视为一层，则总体由n 个层组成，每个层大小都为k 。系统抽样可以看作从每个层中抽取一个单元的分层抽样，但由于样本单元在各层位置相同，因此系统抽样不同与分层抽样。

表6-2系统抽样总体单元重新编号

§6.2 等概率系统抽样估计量