抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明

概念

焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；

焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.

性质及证明

过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=

+

=p p x AF ；②焦半径α

cos 12||2+=+=p

p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2

p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α

2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90︒)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝α

sin 22

p .

证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p

2

，

| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p

如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝

| RF |1－cos θ＝p

1－cos θ

同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p

1＋cos θ

∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝

p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p

sin 2θ

.

S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p

2·(| y 1

|＋| y 1 |)

∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |

∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2

＝p 2

2sin θ

.

2.

求证：①2124p x x =；②2

12y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .

当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==，

成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛

⎫

=-

⎪⎝⎭

.代入抛物线方程： 2

222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=

∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12

24

k x x ⋅=.

(

1221112

12111111

222x x p p p

p AF BF AA BB x x x x +++=+=+=

+++()()12122212122

2424

x x p x x p p p p p p x x p x x ++++=

==

+++++

. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.

先证明：∠AMB ＝Rt ∠

【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则

△ADM ≌△ECM ，

∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |

∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则

| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝1

2| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |

∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.

【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 2

2

).

∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2

y 1)

y 2

1＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝p

y 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2

－p 2＝－1

∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.

【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p

2，y 1)，由此得M (－

p 2，y 1＋y 2

2

). ∴MA →

＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)

∴MA →·MB →

＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4

＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)2

4

＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 2

2－2y 1y 24

＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 2

2

＝0 ∴MA →⊥MB →

，故∠AMB ＝Rt ∠.

【证法五】由下面证得∠DFC ＝90 ，连结FM ，则FM ＝DM .

又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4