初中数学竞赛专项训练--找规律题

观察——归纳—猜想——找规律

给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题

的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论；

（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题.

一、数字类

基本技巧

·

（一）标出序列号：

例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2

n -1 （二）公因式法：

每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。 ?

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2

)12(-n ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以

此类推。

（三）增副

A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3

+1

B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n

2

（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， %

序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12

-n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12

-n 的基础上加2，得到原数列第n 项12

+n

（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。

例 ： 4，16，36，64，，144，196，… （第一百个数）

同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2

，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2

，则求出第一百个数为4*1002

=40000 (一)等差数列

例题：2，5，8，( )。

例题5： 12，15，18，( )，24，27。

.21 C

，

(二)等比数列

例题1：2，1，1/2，( )。

4 C.1/8

例题2：2，8，32，128，( )。

(三)平方数列

1、完全平方数列：

正序：1，4，9，16，25

逆序：100，81，64，49，36

`

2、一个数的平方是第二个数。

1)直接得出：2，4，16，( 256 )

解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。

2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：

1，2，5，26，(677) 前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。

3、隐含完全平方数列：

1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0，3，8，15，24，( 35 )

前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35

【

2)相隔加减，得到一个平方数列：

例：65，35，17，( 3 )，1

.13 C

解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3，答案是D。

* (四)立方数列

立方数列与平方数列类似。

例题1：1，8，27，64，( 125 )

解析：数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。

-

例题2：0，7，26，63 ，( 124 )

解析：前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。

(五)、加法数列

数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3

例题1：1，1，2，3，5，( 8 )。

A8 B7 C9 D10

解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3 +5=8答案为A。

例题2：4，5，( 9 )，14，23，37

)

A 6

B 7

C 8

D 9

解析：与例一相同答案为D

例题3：22，35，56，90，( 145 ) 99年考题

A 162

B 156

C 148

D 145

解析：22 +35-1=56，35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案为D

(六)、减法数列

前两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3 例题1：6，3，3，( 0 )，3，-3 。

A 0

B 1

C 2

D 3

解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A 。(提醒您别忘了：“空缺项在中间，从两边找规律”) (七)、乘法数列

1、前两个数的乘积等于第三个数

例题1：1，2，2，4，8，32，( 256 )

前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。 例题2：2，12，36，80，( ) (2007年考题) .125 C ,

解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一项应该为6×25＝150 选C ，此题还可以变形为：

212?，322

?，432?，245?…..,以此类推，得出)1(2

+?n n

2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。 例题2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海关考题) A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9 解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×=1/16 答案是 A 。 (八)、除法数列

与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式： 1、两数相除等于第三数。

-

2、两数相除的商呈现规律：顺序，等差，等比，平方等。 (九)、质数数列

由质数从小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19… (十)、循环数列

几个数按一定的次序循环出现的数列。 例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4

以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。 1、二级数列 ;

这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。 例1：2 6 12 20 30 ( 42 ) .42 C

解析：后一个数与前个数的差分别为：4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B 。 例2：20 22 25 30 37 ( ) .45 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C 。

例3：2 5 11 20 32 ( 47 ) )

.45 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。

例4：4 5 7 1l 19 ( 35 )

.31 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，2，4，8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。

例5：3 4 7 16 ( 43 )

.27 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，3，9这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16的差应该是27，所以答案应该是D。

！

例6：32 27 23 20 18 ( 17 )

.15 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5，-4，-3，-2这显然是一个等差数列，因而要选的答案与18的差应该是-1，所以答案应该是D。

例7：1，4，8，13，16，20，( 25 )

.25 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4，5，3，4这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是B。

例8：1，3，7，15，31，( 63 )

.62 C

/

解析：后一个数与前一个数的差分别为：2，4，8，16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与31的差应该是32，所以答案应该是C。

例9：( 69 )，36，19，10，5，2

.69 C

解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5，9，17这个数列中前一个数的2倍减1得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33，因而33+36=69答案应该是B。

例10：1，2，6，15，31，( 56 )

.56 C

解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，9，16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25，所以答案应该是B。

例11：1，3，18，216，( 5184 )

,

.1892 C

解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是D：216*24=5184。

例12：-2 1 7 16 ( 28 ) 43

B.28

C.3l

解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的差值应该是12，所以答案应该是B。

例13：1 3 6 10 15 ( )

.21 C

解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，则15+=36=62呢，答案应该是B。

…

例14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）

解析：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则48后面的数应为-96，132-96=36，再看-96后面应是96X2=192，192+36=228。

二、设计类

【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a 所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

—

三、动态类

【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。则第10圈的长为。

【例4】已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1，第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2，第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3，第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,……。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P所在位置P11的坐标是。

解析：【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1，第2圈的长为2+3+4+4+2，第三圈的长为3+5+6+6+3，第四圈的长为4+7+8+8+4，……归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10＝79。

【例4】（－3，－4）

四、计算类

!

【例10】观察下列等式：

，…… 则第n个等式可以表示为。

解析：【例10】

【例11】观察下列各式：，，

，……根据前面的规律，得：。（其中n为正整数）

解析：【例11】

【例12】观察下列等式：观察下列等式：4－1=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，……这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示了自然数，用关于n的等式表示这个规律为。

解析：【例12】（n≥1，n表示了自然数）

五、图形类

^

【例13】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共有个。

解析：【例13】第一个正方形的整点数为2×4-4＝4，第二个正方形的正点数有3×4－4＝8，第三个正方形的整点数为4×4－4＝12个，……故第10个正方形的整点数为11×4-4＝40，

【例14】“”代表甲种植物，“”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此规律，第六个图案中应种植乙种植物株。

【例14】第一个图案中以乙中植物有2×2＝4个，第二个图案中以乙中植物有3×3＝9个，第三个图

#

练习

一、数字排列规律题

1、观察下列各算式：

!

1+3=4=221+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42

按此规律

（1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值

（2）推广：1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少

2、下面数列后两位应该填上什么数字呢2 3 5 8 12 17 __ __

3、请填出下面横线上的数字。

1 1

2

3 5 8 ____ 21

4、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、

5、4、5、

6、……聪明的你猜猜第100个数是什么

/

5、有一串数字3 6 10 15 21 ___ 第6个是什么数

6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是（）.

A．1 B．2 C．3 D．4

7、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为_________个．

二、几何图形变化规律题

1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个．

》

2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是 （填图形名称）. 三、数、式计算规律题 1、已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62；

④ 13＋23＋33＋43＝102 ；

由此规律知，第⑤个等式是 ． )

2、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9，

1+2+3+4+3+2+1=16，

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…

根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.

3、1+2+3+…+100＝经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()12

1

+=n n n ，其中ｎ是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝

[

观察下面三个特殊的等式

()21032131

21??-??=

? ()32143231

32??-??=?

()4325433

1

43??-??=?

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝205433

1=??? 读完这段材料，请你思考后回答：

⑴=?++?+?1011003221

⑵()()=++++??+??21432321n n n ⑶()()=++++??+??21432321n n n

4、，，，，已知：

245

52455154415448338333223222222?=+?=+?=+?=+ =+?=+b a b

b 则符合前面式子的规律，，若 (21010)

参考答案:

一、1、（1）10042（2）(n+1)2

2、23 30。数列中每两个相邻数字间的差分别是1，2，3，4，5，6，7。

3、13。这一数列后面一个数是前面相邻两个数的和。

4、34 。考虑时，可以从第一个数开始，每3个数加一个括号（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），……一共加了33个括号，剩下的一个必是第100个。每个括号的第一个数分别是1，2，3，……因此第100个数必然是34。

5、28。3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28, 所以第6个是28。其实一般这类的规律题无非就是在数的基础上加减乘除，有些麻烦点的就是一个数乘上倍数后在加1或减1。

6、A

7、33 二、 1、602 2、圆

三、1、2

3

3

3

3

3

1554321=++++ 2、10000

3、 ⑴343400 或10210110031??? ⑵()()2131++n n n ⑶()()()3214

1

+++n n n n 4、109.