洛伦兹变换式.

第三节 洛伦兹变换式

教学内容：

1. 洛伦兹变换式的推导；

2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：

狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求：

1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；

2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；

3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导

()()?????

???

???--='='='--='

222

11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()?

????

???

??

?

-'+'='='=-'+'=2

22

11c v c x v t t z z y y c v t v x x

据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。 1. 时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，

x '=-v t '，即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。 同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）

根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。

2. 由光速不变原理可求出常数k

设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：

t t c x x '='2

()()()()

t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22

()

222v c t t k -'=

由由此此得得到

到

()22211

c v v c c k -=

-=。

这样，就得到

()

2

1c v t v x x -'+'=

，

()

2

1c v vt x x --=

'。由上面二式，消去x '

得到()

2

21c v c vx t t --=

'；若消去x 得到

()

2

21c v c x v t t -'+'=

，综合以上结果，

就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换

()()?????

???

???--='='='--='

222

11c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()?????

???

???

-'+'='='=-+'=222

11c v c x v t t z z y y c v vt x x

可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3. 讨论

（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式

洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y

x

u u

u ,,，

()

z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变

换式可得：

()()()()()2

22111c v dt

v u c v dt v dt dx c v vdt

dx x d x --=--=--=

'

()

()

()

2

2

2

2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=

--=

' 因此：

()()

()

()

2

2

2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=

''，即：

2

1c vu v

u u x x x --='

因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则

()

()

22

11c v c vu dt dy

t d y d x --=''，即

()2

2

11c vu c v u u x y y --=

'。同理：()

2

2

11c vu c v u u x z z --='

因此得相对论的速度变换公式：

2

1c vu v

u u x x x --=

'、

()2

2

11c vu c v u u x y y --=

'、

()2

2

11c vu c v u u x z z --='

其逆变换为：

21c u v v u u x x x '++'=、()2

211c u v c v u u x y y '+-'=、

()2

2

11c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论

（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转

化为伽利略速度变换式v u u x x

-='。

（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。

证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者

测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=2

1，即光信号在S 系和S '系中都相同。

第四节 狭义相对论的时空观

一、 一、 同时的相对性

1. 概念

狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。

例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。

如图设S '系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。当灯

发出闪光时：

S '系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A 、B 两

端；

S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v 、c 反向），B 与光同向运动，所以光先到达A 再到达B ，不同时到达。

结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。 假设两个事件P 1和P 2，在S 系和

S '系中测得其时空坐标为：

()()

()()2222111122221111t z y x t z y x S t z y x t z y x S '''''''''，，，，，，，：，，，，，，，：

由洛伦兹变换得：

()

()

2

2222

2

2111

11c v c x v t t c v c vx t t --='--='，

在S 系和

S '系中测得的时间间隔为()12t t '-'和（t 2-t 1

），它们之间的关系为：

()()()2

2

121212

1c v c x x v t t t t ----='-'

可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。

2. 讨论

（1）在S 系中同时发生：t 2=t 1，但在不同地点发生，

12x x ≠，则有：

()()

2

2

2

1121c v c

x

x v t t --=

'-'

这就是同时的相对性。

（2）在S 系中同时发生：t 2=t 1，而且在相同地点发生，

12x x =，则有：

()()()12

2

2

121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='?，

()()()12

2

12121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，

即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S ’系中也同时同地点发生。

（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后

假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过

t ?时间后到达x x ?+处，则由：

()

2

21c v c v x t t --=

'

得到

()(

)()?

?? ????=--?=

-?-?=

'?t x u c v c v u t c v c v x t t 11122

22

因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δt '与Δt 同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

（4）上述情况是相对的。同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件，在S 系看来同

样也是不同时的。

（5）当

c v ??时，t t ?≈'?，回到牛顿力学。

二、长度收缩（洛伦兹收缩）

假设一刚性棒A B 静止于S ’系中12

x x l '-'='，在S 系中同时()t t t ==21测量得

12x x l -=。由洛伦兹坐标变换式：

()

()

2

222

2

111

11c v vt x x c v vt x x --='--='，

得：

()()()()

2

122

121212

11c v x x c v t t v x x x x --=----='-'

即 ()21c v l l -'=

1. 固有长度

观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。即

()

2

01c v l l -=

2. 洛伦兹收缩（长度缩短）

观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的

()

2

1c v -倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。

讨论：

（1）长度缩短效应具有相对性。若在S 系中有一静止物体，那么在

S '系中观察者将

同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有

()

2

1c v l l -='

即看人家运动着的尺子变短了。

（2）当v <

l l '≈

三、时间膨胀（时间延缓）

由洛伦兹变换得()()()2

21212

121c v c x x v t t t t -'-'+'-'=

-，事件P 1

、P 2

在S 系

中的时间间隔为

12t t t -=?，事件P 1

、P 2

在S ’系中的时间间隔为12

t t t '-'='?。如果在S ’系中两事件同地点发生，即

12

x x '='，则有： ()

()

2

2

121211c v t c v t t t t t -'?=

-'-'=

-=?

1. 固有时间（原时）的概念

在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用

0τ表示，且：

()

2

1c v t -=

?τ。

2. 时间膨胀

在S 系看来：

0τ??t ，称为时间膨胀。

3. 讨论

（1）时间膨胀效应具有相对性。若在S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为Δt

（称为原时），则同理有

()

2

1c v t t -?=

'?就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。

（2）当v ＜＜c 时，有t t '

?≈? （3）实验已证实

μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。

例1: 在惯性系S 中，有两个事件同时发生，在

x x '轴上相距

m .31001?处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距m 3100.2?。

问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？

解：由题意知，在S 系中，

，12t t =，即0

12=-=?t t t ，

m x x 312100.1?=-。。而而在在S S ’’系系看看来来，，时时间间间间隔隔为

为12t t t '-'='?，，空空间间间

间

隔为

m x x 312

100.2?='-'。。

由洛伦兹坐标变换式得：

()()()

()

()

1112

122

121212

c v x x c v t t v x x x x --=

----='-'

()()

()2

1221212

1c v x x c v

t t t t t ----='-'='?()()

()()

2121

22212

x x c v c v x x c v

'-'=--=

由（1）式得()()c c x x x x v 2341112

12

12122

12=??? ??-=??????'-'--=

代入（2）式得 ()s c t 6

3

3

31077.510310310223-?=??=??='?

例2: 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16

103.4?m 。

设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999

c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，

往返一次的时间又为多少？

解：以地球上的时钟计算：

816

103999.0103.42????=

=?v s t a 91087.28=?=（a 为a n n u a l 之首字母）；

若以飞船上的时钟计算：（原时），因为

()

2

1c v t t -'

?=?

所以得

()2

82

999.011087.21-??=-?='?c v t t

()a s 4.01028.17=?=