八年级上数学复习资料

2010—2011学年度第一学期八年级上数学期末复习讲义

第一章 勾股定理

[复习要求]

(1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；

(2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题； (3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。

格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 的平方=a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289

∵C ＞0 ∴C=17

勾股定理逆定理：如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，

这个三角形是直角三角形。（直角三角形的判别条件）。

[基础训练]

1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．

(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m 2．以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）

(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，10

3．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角

形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．

4．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．

因而 c 2

＝ ＋ ．

化简后即为 c 2

＝ ．

A C

160m

a

b c

图1－1

5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

例1、 如图1－1，在钝角ABC V 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD

的长。

D

C B

A

例2、 如图1－2，AC BD ⊥，垂足为O ，问2

2

AB CD +与2

2

BC AD +相等吗？理由是为

什么？

O

D

C

B

A

勾股定理的验证：

例：如图1－3，将四个全等的直角三角形拼成正方形，直角三角形的两直角边分别为 ,a b ，斜边边长为c ，利用此图验证勾股定理。

b

a b

a

b

a b

a

H

G

F E

D C B

A

图1－3

图1－2

第二章实数

[复习要求]

(1)了解无理数的概念和意义；

(2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律；

(3)能用有理数估计一个无理数的大致范围；

(4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；

(5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算；

(6)能运用实数的运算解决简单的实际问题．

［概念与规律］

事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。

无限不循环小数叫无理数。

无理数：圆周率π=3.14159265……；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。

一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的

算术平方根，读作“根号a”。

0的算术平方根是0

一个正数有2个平方根，0只有一个平方根，它是0本身，负数没有平方根。

格式：因为1的平方=1，所以1的算术平方根是1=1。

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也

叫做二次方根）。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

格式：因为（±8）2=64，所以64的平方根是±8±8。

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。

，读作3次根号a。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。

有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。 实数也可分为正实数、0、负实数。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

（a ≥0，b ≥0）

(a ≥0，b ＞0)。

[基础训练]

1．9的平方根是 ；25的算术平方根是 ． 2．8的立方根是 ；327-＝ ．

3．37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 ． 4．化简18＝ ；

3

1

＝ ． 5．下列计算结果正确的是（ ）

(A)066.043.0≈ (B)30895≈ (C)4.602536≈ (D)969003≈ 6．下列各式中，正确的是（ ）

(A)2)2(2-=- (B) 9)3(2

=- (C)

393

-=- (D) 39±=±

7．把下列各数分别填入相应的集合里：

2

,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,122

3π---?-Λ

有理数集合：｛ ｝；

无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝．

8．已知a ＝2，b ＝4，c ＝－2，且a

ac b b x 242-+-=，求x 的值．

9．如图是一块长方形绿地，如果绿地长AB ＝40米，宽BC ＝20米，那么，中间连接相对两角的小路AC 长约是多少米？（误差小于1米） 10．化简 (1)3

12

27- (2)(3－2)(3＋2)

A

B

C

第三章 图形的平移与旋转

[复习要求]

(1)认识具体实例中的图形的平移和旋转，了解平行四边形是中心对称图形；

(2)理解平移时对应点连线平行且相等，旋转时对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；

(3)能按要求作出简单平面图形平移后的图形，探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)；

(4)能利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用． ［概念与规律］

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。

经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

[基础训练] 1． 在括号内填上图形从甲到乙的变换关系：

2．钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，秒针旋转的角度是 ． 3．下列图形中，不能由图形M 经过一次平移或旋转得到的是 ．

4．如左图经过平移，△ABC 的边AB 移到了

EF ，作出平移后的三角形． 5．在右图中作出“三角旗”绕O

点，按逆时针旋转90°后的图案．

（ ） 甲

乙 甲 乙 乙 甲 （ ） （ ） A B C D

M

C

F

第四章四边形性质探索

[复习要求]

(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系．了解四边形的不稳定性；

(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）．了解中心对称图形及其基本性质；

(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；

(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论；

(5)知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺平面，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；

［概念与规律］

平行四边形定义：两组组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。

平行四边形性质：平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形的对角线互相平分。

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

平行四边形判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

绕中心旋转180度能与原图重合的图形是中心对称图形。

菱形定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形性质：矩形对角线相等，四个角都是直角。

矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形。

三个角都是直角的四边形是矩形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

正方形定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形性质：正方形具有一切平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。

两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

等腰梯形性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

等腰梯形判定：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

多边形定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的

边、顶点、内角和的含义与三角形相同。

同一个顶点引出对角线（n-3）条

同一个顶点引出三角形（n-2）个

在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形。

n变形的内角和等于（n-2）·180o

正n边形的内角（n-2）·180o/n

n边形有1/2n(n-3)条对角线。

多变性内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和。

多边形的外角和等于360o

在平面内，一个图形绕某个顶点旋转180o，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

当n为大于或等于3的偶数时，正n边形为中心对称图形。

[基础训练]

1．在□ABCD中，若∠A＝60°.则∠B＝_______.∠C＝________．

2．若菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则此菱形的周长为__ ___cm，面积为________cm2．

3．正方形的边长为1cm，则它的对角线长为______cm，对角线与一边所夹的角是______°．

4．一个正方形要绕它的中心至少旋转_______°，才能和原来的图形重合．

5．一个多边形的内角和为900°，那么这个多边形的边数为________．

6．下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）.

(A)对角线相等(B)对角线互相平分

(C)对角线平分一组对角(D)对角线互相垂直

7．下列图形中是中心对称图形的是（）.

8．已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝5cm ，DC ＝12cm ，BC ＝13cm ，求AB 的长．

9．在平行四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，这个四边形是菱形吗？说说你的理由．

D C A B

B

C A

D

第五章位置的确定

[复习要求]

(1)能灵活运用不同的方式确定物体的位置；

(2)认识并能画出平面直角坐标系．在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标；

(3)能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；

(4)在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形变换的影响；

［概念与规律］

（1）确定位置的几种方法：①极坐标思想方法；②平面直角坐标系的思想方法；

③区域定位法；④方位定位法。

（2）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，水平的数轴叫称为横轴或X轴，竖直的数轴称为纵轴或Y轴。

（3）平面直角坐标系中的点是用一对有序数对来表示的，所以平面上的点和有序实数对是一一对应的关系。点（,a b）与点（,b a）是不同的两个点。

（4）各象限内点的横、纵坐标的特点：横轴上所有的点的纵坐标均为0，可表示为（,0

x），纵轴上所有点的横坐标均为0，可表示为（0,y）。第一象限横、纵坐标均为正；第二象限的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限的横、纵坐标均为负；第四象限的横坐标为正，纵坐标为负。

（5）对称点坐标特征：①与X轴对称的点的特征为：横纵坐标不变，纵坐标互为相反数。即点P（,a b）关于X轴的对称点是（,a b-）；

②与Y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。即点P（,a b）关于Y轴的对称点是（,a b

-）；与原点对称的点的特征：横坐标与纵坐标均互为相反数。即点P（,a b）关于原点的对称点是（,a b

--）。

（6）图形上点的纵坐标变化与图形变化之间的关系

（1）纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的k倍。

①当1

k>时，原图形被横向拉长为原来的k倍。

②当01

<<时，原图形被横向缩短为原来的K倍。

k

（2）横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的K倍

①当1

k>时，原图形被纵向拉长为原来的k倍。

②当01

<<时，原图形被纵向压缩为原来的K倍。

k

（3）纵坐标保持不变，横坐标分别加K

①当K为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移K个单位长度。

②当K为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移k个单位长度。

（4）横坐标保持不变，横坐标分别加K

①当K为正数时，原图形形状、大小不变，向上平移K个单位长度。

②当K为负数时，原图形形状、大小不变，向下平移k个单位长度。

（5）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于横轴成轴对称。

（6）纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于纵轴成轴对称。

（7）横、纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于原点成中心对称。

（8）横、纵坐标分别变成原来的K倍

①当K＞1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小扩大了K倍。

②当0＜K＜1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小缩小了K倍。

[基础训练]

1．右图是某个小岛的简图，试用数对表示出相关地点的位置．

2．如图，是一台雷达探测器测的结果．图中显示，在A、B、C、D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置．

3．图中点P的坐标是（），点M的坐标是（），点N的坐标是（）．

4．对于边长为6的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，

写出各个顶点的坐标．

5．在直角坐标系中，描出点（1，0），（1，2），（2，1），（1，1），并用线段依此连接起来．⑴纵坐标不变，横坐标分别加上2，所得图案与原图相比有什么变化？

⑵横坐标不变，纵坐标分别乘以－1呢？

⑶横坐标，纵坐标都变成原来的2倍呢？

0°270°

A

B C

第六章 一次函数

[复习要求]

(1)能在具体情境中体会一次函数的意义； (2)能根据所给信息确定一次函数表达式；

(3)会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象和表达式理解其性质； (4)能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题； (5)初步体会方程和函数的关系． ［知识详解］ 1、 函数：（1）一般地，在某个变化过程中，有两个变量X 和Y ，如果给定一个X 值，相应地就确定了一个Y 值，那么我们就称Y 是X 的函数，其中X 是自变量，Y 是因变量。

（2）函数的三种表示方法：①列表法②图象法③解析法 用数学式子表示函数的方法叫做解析法。 2、

一次函数：若两个变量X 、Y 间的关系可以表示成y kx b =+（0k b k ≠、为常数，）的形式，则称Y 是X 的一次函数（X 为自变量，

Y 为因变量）特别地，当0b =时，称Y 是X 的正比例函数。

3、 一次函数的图象 （1） 画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线。 （2） 由于一次函数y kx b =+的图象是一条直线，所以一次函数y kx b =+的图象也称

为直线y kx b =+。

由于两点确定一条直线，因此在画一次函数y kx b =+的图象时，只要描出点

(0,),(,0)b

b k

-两点即可，画正比例函数y kx =的图象时，只要描出点（0，0）

，（1，K ）即可。

（3）k 的正负决定直线的倾斜方向，k 的大小决定直线的倾斜程度，即k 越大，直

线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），k 越小，直线与x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。

（4）b 的正负决定直线与y 轴交点的位置。 ① 当0b >时，直线与Y 轴的交于正半轴上。 ② 当0b <时，直线与Y 轴交于负半轴上。 ③ 当0b =时，直线经过原点，是正比例函数。

（3） 一次函数、正比例函数的图象和性质。

4、 确定一次函数表达式 （1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件 ① 由于正比例函数(0)y kx k =≠中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对,x y 的值或一个点）就可求得k 的值。

② 由于一次函数(0)y kx b k =+≠中有两个待定系数,k b ，需要两个独立的条件确定两个关于,k b 的方程，求得,k b 的值，这两个条件通常是两个点或两对,x y 的值。

（2） 待定系数法 先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。 （3） 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤

① 设函数表达式为y kx b =+。

② 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 ③ 求出k b 与的值，得函数表达式。 [基础训练]

1

2．作出一次函数y ＝2x －1的图象，根据图象回答： (1)图象与x 轴交点坐标是（ ），与y 轴的交点坐标是（ ）；

(2)当x 时，y ＞0，当x 时，y ＜0．

3．写出下图中，直线l

4．一支蜡烛长25cm ，点燃后，每小时耗去5cm ，t 小时后，剩下的长度为S cm ． (1)求S 与t 之间的函数关系式；

(2)多少小时后，蜡烛用完？

5．如图，l 1表示某汽车销售公司一天的销售收入与销售量的关系，l 2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系．根据图象回答：

⑴x ＝1时，销售收入＝ 万元，

销售成本＝ 万元，利润＝ 万元； （利润＝收入－成本）

⑵一天销售 辆时，销售收入等于销售成本． ⑶l 1对应的函数表达式是 ． ⑷你能写出利润与销售量间的函数表达式吗？

第七章 二元一次方程组

[复习要求]

(1)了解二元一次方程的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；

(2)了解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；

(3)会解二元一次方程组；

(4)根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解简单的应用题； (5)了解解二元一次方程组的基本思想是“消元”． [基础训练]

1．已知??

?==5,3y x 是方程ax －2y ＝2的一个解,那么a 的值是 ． 2．已知2x －3y ＝1，用含x 的代数式表示y ，则y ＝ ，当x ＝0时，y ＝ ．

3．二元一次方程组?

??==+x y y x 2,

102的解是( )．

（A ）??

?==;3,4y x （B ）???==;6,3y x （C ）???==;4,2y x （D ）???==.

2,4y x

4．已知y ＝kx ＋b ．如果x ＝4时，y ＝15；x ＝7时，y ＝24，则k ＝ ；b ＝ ．

5．解下列方程组： （1）??

?-=--=-.2354,42y x y x （2）???+=-=+.

76)1(4,

443y x y x

6．用作图象的方法解方程组?

?

?=-=+.52,

02y x y x

7．甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价

40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．甲、乙两种商品原来的单价各是多少？ 8．某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，小的宿舍每间可住5人．该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍．大、小宿舍各有多少间？

第八章 数据的代表

[复习要求]

(1)掌握平均数、中位数和众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数和众数； (2)掌握加权平均数的概念，知道权的差异对加权平均数的影响，并能用加权平均数解释一些现象；

(3)了解平均数、中位数和众数的差别，初步体会它们在不同情境中的应用；

(4)能从条形统计图、扇形统计图中获取信息，并求出相关数据的平均数、中位数和众数；

(5)能利用科学计算器求一组数据的算术平均数； ［概念］

1、算术平均数：一般地，对于n 个数,,,12x x x n L ，我们把1()

12x x x n n

+++L 叫做这n

个数的算术平均数，简称平均数，记为x 。

2、加权平均数：如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现f k 次 （12f f n k f ++=L ），那么这n 个的平均数可表示为1122x f x f x f

k k

x n

++=L ，这样的平均数x

叫加权平均数，其中12,,k f f f L 叫做权。

3、中位数：一般地，n 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

4、众数：一组数据中出现次数最多的那个数叫做这组数据的众数。

[基础训练]

1．数据18，14，20，16，12的平均数是 ．

2．数据1，0，－3，2，3，2，－2的中位数是 ，众数是 ． 3．某电视台举办青年歌手演唱大赛，7位评委给1号选手的评分如下： 9.3 8.9 9.2 9.5 9.2 9.7 9.4

按规定，去掉一个最高分和一个最低分后，将其余得分的平均数作为选手的最后得分．那么，1号选手的最后得分是 分．

4．数学老师布置了10道计算题作为课堂练习，小明将全班同学的解题情况绘成了下面的条形统计图．根据图表，求平均每个学生做对了几道题？

求该公司员工月工资的平均数、中位数和众数．

6．某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．下面是三名候选人

公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试成绩分别赋予权重4、3、2，这三人中谁将被录用？